II lista zadan (na 23.11)

Zestaw zadań II*
11 października 2016
1. Rozważmy galaź
, wytwarzajac
, a, jednorodny produkt, skladajac
, a, sie, z dwóch firm. Popyt dany jest
przez Q = S(1 − p), gdzie S jest wielkościa, rynku, zaś Q laczn
a, wielkościa, produkcji. Firmy maja,
,
zerowe koszty jednostkowe produkcji, natomiast ponosza, koszty stale k ∈ (0, S/9), jeśli sa, aktywne.
Gra sklada sie, z dwóch etapów: najpierw firmy decyduja,, czy wejda, na rynek, czy nie (czyli, czy
bed
etapie); potem konkuruja, na rynku produktu. Rozważmy trzy rodzaje
, a, aktywne w nastepnym
,
konkurencji na rynku produktu: (i) Cournot, (ii) Bertrand, (iii) firmy dzialaja, w kartelu, ustalaja,
swoje ceny (lub wielkości produkcji) tak, aby zmaksymalizować laczn
a, wielkość produkcji. Skupmy
,
uwage, na równowagach w strategiach czystych i znajdźmy wielkości równowagi doskonalej w podgrach
(SPE), jeśli chodzi o produkcje,
, ceny, zyski, nadwyżke, konsumenta i dobrobyt, dla każdego z tych
trzech przypadków. Prosze, pokazać, że jeśli koszty stale sa, wystarczajaco
niskie, to konkurencja typu
,
Cournota zapewnia wyższy poziom dobrobytu niż typu Bertranda, oraz, że monopol (kartel) zawsze
daje najniższy poziom dobrobytu w stanie równowagi.
2. Rozważmy rynek produktu, na którym moga, dzialać dwie firmy, istnieje także firma trzecia, która nie
wytwarza produktu na ten rynek, jednak dokonala innowacji, która może obniżyć jednostkowe koszty
produkcji z c̄ do c < c̄. Innowacja ta ma zapewniona, nieskończona, ochrone, patentowa, i jest wystawiona
na aukcje,
, w której biora, udzial obie produkcyjne firmy. Przed aukcja, firma 1 jest monopolista, na rynku
produktu z kosztem jednostkowym na poziomie c̄, oznaczmy jej zysk jako Πm (c̄). Firma druga może
wejść na rynek, jednak w danej chwili nie produkuje, wiec
, jej koszt jednostkowy można przedstawić
jako nieskończony. Niech Πd (c̄, c) i Πd (c, c̄) oznaczaja, zyski odpowiednio firm 1 i 2, jeśli tylko druga
firma zastosuje nowa, technologie.
,
(a) Prosze, znaleźć wartość innowacji (czyli różnice, w zysku firmy, jeśli wygra aukcje, i jeśli ja, przegra)
dla firmy 1 (V 1 ) i dla firmy 2 (V 2 ).
(b) Prosze, pokazać, że Πm (c) ­ Πd (c̄, c) + Πd (c, c̄) jest warunkiem wystarczajacym
na to, aby V 1 ­
,
2
V .
(c) Prosze, rozważyć przypadek drastycznej innowacji, pm (c) < c̄. Jaka jest wartość innowacji dla firm
1 i 2 w takim przypadku?
3. Rozważmy sektor Y, w którym dwie firmy sprzedaja, homogeniczny produkt, przy jednostkowym koszcie
produkcji c. Maja, taki sam czynnik dyskontujacy
δ. Firmy te konkuruja, cenowo, w grze dynamicznej
,
o nieskończonym horyzoncie czasowym. Popyt rynkowy dany jest przez D(p). Jeśli cena podana przez
obie firmy jest taka sama, jedna z firm ma udzial w rynku równy λ, druga zaś 1 − λ, gdzie 1/2 < λ < 1.
Obie firmy maja, nastepuj
ac
,
, a, strategie, zapadki: w pierwszym okresie podaja, cene, p̄, taka,
, że p̄ > c. W
nastepnych
okresach
podaj
a
p̄,
pod
warunkiem,
że
w
poprzednim
okresie
obie
poda
ly
p̄.
W
przeciwnym
,
,
razie obie bed
a
już
zawsze
podawać
cen
e
na
poziomie
kosztu
krańcowego.
, ,
,
(a) Prosze, znaleźć warunek, który musi być spelniony, aby ta strategia byla, strategia, równowagi.
(b) Praktycy twierdza,, że symetria wśród firm przyczynia sie, do umocnienia zmowy, czy ten prosty
model to potwierdza?
* Prosze przygotować rozwiazania na zajecia 23 listopada.
,
,
,
1
(c) Pod jakim warunkiem ta strategia może prowadzić do pelnej zmowy w stanie równowagi, takiej
że firmy podaja, cene, pm maksymalizujac
zysk w każdym okresie?
, a, laczny
,
4. Rozważmy dwie firmy produkujace
, jednolite dobro i wybierajace
, wielkości produkcji w każdym okresie,
przez nieskończona, ilość okresów. Popyt w tej galezi
dany
jest
przez p = 1 − Q, gdzie Q oznacza laczny
,
,
produkt. Firmy sa, symetryczne: maja, zerowe koszty jednostkowe i taki sam czynnik dyskontujacy
δ.
,
Rozważmy strategie, zapadki: każda z firm produkuje q ∈ [1/4, 1/3] na poczatku
gry
i
dalej,
aż
do
,
cn
momentu, gdy druga firma odstapi
, od tej strategii. Gdy to sie, stanie, obie firmy b ed
, a, produkować q ,
wielkość ta jest wielkościa, równowagi Nasha w grze jednorazowej.
(a) Prosze, podać warunek zmowy.
(b) Prosze, pokazać, że im mniejsze q (czyli im bardziej wielkość produkcji sprzyja rywalowi), tym
mniej prawdopodobne jest, że strategia zapadki bedzie
strategia, równowagi.
,
5. Rozważmy n firm produkujacych
homogeniczny produkt i wybierajacych
wielkości produkcji w grze
,
,
dynamicznej o nieskończonym horyzoncie czasu. Popyt w tej galezi
jest
dany
przez p = 1 − Q, gdzie Q
,
jest laczn
a
wielkości
a
produkcji.
Wszystkie
firmy
s
a
identyczne,
maj
a
sta
le
jednostkowe
koszty produkcji
,
,
,
,
,
c < 1 i czynnik dyskontujacy
δ.
Rozważmy
nast
epuj
ac
a
strategi
e
zapadki:
każda
z
firm
wybiera q m ,
,
,
, ,
,
która maksymalizuje laczny
zysk, na poczatku
gry, i postepuje
tak co okres, aż do momentu, gdy któraś
,
,
,
cn
z firm odstapi
od
zmowy.
Wtedy
aż
do
końca
gry
wszystkie
firmy
bed
,
, a, produkować wielkość q , która
jest wielkościa, równowagi w grze jednorazowej.
(a) Jaki warunek musi być spelniony, żeby zmowa byla strategia, równowagi w tej grze?
(b) W jaki sposób liczba firm wplywa na prawdopodobieństwo osiagni
ecia
zmowy w tej galezi?
,
,
,
6. Rozważmy n firm, które produkuja, homogeniczny produkt przy stalym koszcie jednostkowym c. Popyt
rynkowy jest dany przez p = a−Q, gdzie Q oznacza laczn
a, wielkość produkcji w galezi.
Firmy konkuruja,
,
,
ilościowo.
(a) Prosze, znaleźć wielkości produkcji i zyski w równowadze, gdy firmy pozostaja, niezależne.
(b) Rozważmy fuzje, pomiedzy
m + 1 firmami. Prosze, znaleźć wielkość produkcji i zyski firm w rów,
nowadze.
(c) Prosze, pokazać, że firmy, które nie braly udzialu w fuzji, zyskuja, na niej.
(d) Prosze, pokazać, że fuzja obejmujaca
wszystkie firmy na rynku jest zawsze korzystna dla firm.
,
(e) Niech n = 10, prosze, pokazać, że fuzja jest korzystna tylko jeśli m + 1 ­ 9.
7. Rozważmy galaź
, z trzema identycznymi firmami, każda z nich sprzedaje homogeniczny produkt i wytwarza przy jednostkowym koszcie równym c > 0. Popyt jest dany przez p = 1−Q, firmy zaś konkuruja,
ilościowo.
(a) Prosze, znaleźć wielkości produkcji, cene, i zyski w równowadze.
(b) Rozważmy fuzje, pomiedzy
dwoma z trzech firm, w rezultacie której rynek przybiera strukture,
,
duopolu. Fuzja ta może prowadzić do wzrostu efektywności, w tym sensie, że firma powstala na
skutek fuzji produkuje przy koszcie ec, gdzie e < 1. Prosze, znaleźć wielkości produkcji, cene, i
zyski w równowadze po fuzji.
(c) Jaki warunek musi być spelniony, żeby fuzja doprowadzila do zmniejszenia ceny?
(d) Jaki warunek jest koniczny do tego, żeby fuzja byla korzystna dla lacz
sie, firm?
, acych
,
8. Niech U oznacza firme, sektora produkcyjnego, która jest monopolista., Nie sprzedaje ona swojego
produktu bezpośrednio, lecz za pośrednictwem firm z sektora sprzedaży, których jest n, oznaczamy
je Di , i = 1, 2.., n. Firma U ma cala, sile, przetargowa,, czyli oferuje swój produkt firmom w sektorze
sprzedaży na zasadzie ”take-it-or-leave-it”. Popyt konsumentów jest dany przez q = a − p, gdzie a > 0,
q oznacza wielość sprzedaży, zaś p cene, zaoferowana, konsumentom.
Page 2
Jednostkowy koszt produkcji U wynosi c < a, zaś jednostkowy koszt firmy Di oznaczany w jest cena,
jaka, Di placi U za jednostke, produktu.
Firmy w sektorze sprzedaży konkuruja, ilościowo i maja, jednostkowy koszt dystrybucji d, w dodatku
do ceny hurtowej w. Prosze, pokazać, że
(a) Zachodzi zjawisko podwójnej marginalizacji,
(b) Zanika ono, jeśli n → ∞.
9. Rozważmy ten sam model co w zadaniu 8, lecz niech firmy sektora sprzedaży konkuruja, cenowo. Prosze,
pokazać, że problem podwójnej marginalizacji zanika, jeśli n ­ 2. Prosze, wyjaśnić, dlaczego tak sie,
dzieje.
10. Rozważmy rynek homogenicznego dobra, z popytem określonym p = 1 − q, na którym mamy firme, 1,
która jest monopolista, i rozważa możliwość wejścia na ten rynek firmy 2. Rozważmy dwa przypadki.
(a) Na pierwszym etapie gry firmy jednocześnie decyduja,, ile zainwestować w technologie, redukujac
, a,
koszty. Jeśli nie ma innowacji firma 1 produkuje przy koszcie jednostkowym c, inwestujac
F
(x
)
=
i
,
koszt
jej
produkcji
jest
dany
przez
C(x
,
q
)
=
(c
−
x
)q.
x2i staje sie, bardziej efektywna, laczny
i
i
i
,
Na tym etapie firma 2 decyduje też, czy wejść na ten rynek. Jeśli zdecyduje sie, na wejście musi
zaplacić koszt utopiony wysokości F . Na etapie drugim aktywne firmy obserwuja, inwestycje B&R
i podaja, wielkości produkcji.
(b) Inwestycje zachodza, sekwencyjnie, najpierw firma 1, zaś w kolejnym etapie firma 2 (po zaobserwowaniu inwestycji firmy 1). Na tym etapie firma 2 podejmuje też decyzje, o wejściu (zwiazan
a, z
,
kosztem F ), Na trzecim etapie aktywne firmy konkuruja, ilościowo na rynku produktu.
Prosze, znaleźć inwestycje równowagi optymalnej w podgrach i pokazać, że jest zakres parametrów
utopionego kosztu F , taki że odstraszanie jest zyskowne, w tym sensie, że firma 1 preferuje inwestycje
wieksze
niż gdyby uznala wejście firmy 2 za nieuniknione.
,
Page 3