16 Wypukłość

16
Wypukłość
Załóżmy, że przestrzeń afiniczna (E, V, −
→) jest rzeczywista, to znaczy V jest
przestrzenią liniową nad ciałem R
Definicja 16.1 Odcinkiem o końcach p, q ∈ E nazywamy zbiór
pq = {ap + bq; a + b = 1, a, b ­ 0}.
Otoczką wypukłą zbioru A ⊂ E nazywamy zbiór conv(A) wszystkich
środków ciężkości układów punktów ze zbioru A o nieujemnych wagach.
Stwierdzenie 16.2 Jeżeli p, q ∈ E, to
1. pq ⊂ af(p, q).
2. pq = conv(p, q).
→
3. pq = {p + a−
pq; a ∈ [0, 1]}.
Definicja 16.3 Podzbiór A ⊂ E nazywamy zbiorem wypukłym, jeżeli dla
dowolnych p, q ∈ A odcinek pq zawiera się w A.
Przykład 16.4 Zbiorami wypukłymi są odcinki i wszystkie podprzestrzenie afiniczne, w szczególności proste i płaszczyzny.
Twierdzenie 16.5 Jeżeli A ⊂ E, to conv(A) jest najmniejszym zbiorem
wypukłym zawierającym zbiór A.
Dowód: Wykażemy najpierw, że conv(A) jest zbiorem wypukłym. Niech
r1 , r2 ∈ conv(A). Wówczas istnieją takie punkty p0 , . . . , pm , q0 , . . . , ql ∈ A
oraz układy nieujemnych wag (a0 , . . . , am ), (b0 , . . . , bl ), że
r1 =
m
X
ai pi ,
r2 =
i=0
l
X
bj q j .
j=0
Niech r ∈ pq, r = (1 − a)r1 + ar2 , gdzie a ∈ [0, 1]. Wtedy
r = ((1 − a)a0 )p0 + . . . + ((1 − a)am )pm + (ab0 )q0 + . . . + (abl )ql ∈ conv(A),
bo liczby (1 − a)a0 , . . . , (1 − a)am , ab0 , . . . , abl są nieujemne oraz
(1−a)a0 +. . .+(1−a)am +ab0 +. . .+abl = (1−a)
m
X
i=0
ai +a
l
X
bj = (1−a)+a = 1.
j=0
Załóżmy teraz, że B ⊂ E jest zbiorem wypukłym zawierającym A. Wykażemy indukcyjnie, że dla dowolnego m ∈ N środek ciężkości dowolnego
1
układu m + 1 punktów ze zbioru A o nieujemnych wagach należy do B, z
czego będzie wynikała inkluzja conv(A) ⊂ B.
Dla m = 0 stwierdzenie jest oczywiste, bo jedynym środkiem ciężkości
układu jednopunktowego (p0 ) jest 1p0 = p0 .
Przypuśćmy, że dla pewnego m ­ 0 środek ciężkości dowolnego układu o
co najwyżej m + 1 punktach ze zbioru A o nieujemnych wagach należy do B.
Niech p0 , . . . , pm , pm+1 ∈ A oraz a0 , . . . , am , am+1 ­ 0, a0 +. . .+am +am+1 =
1. Jedna z wag aj 6= 1 (bo m + 2 6= 1), więc liczby
d
a0
aj
am+1
,...,
,...,
1 − aj
1 − aj
1 − aj
tworzą układ m + 1 nieujemnych wag. Z założenia indukcyjnego mamy, że
m+1
X
i=0,i6=j
ai
pi ∈ B,
1 − aj
co wraz z wypukłością zbioru B daje ostatecznie
m+1
X
ai pi = aj pj + (1 − aj )
i=0
m+1
X
i=0,i6=j
ai
pi ∈ B
1 − aj
kończąc indukcję.
Twierdzenie 16.6 Niech H będzie hiperpłaszczyzną (kowymiaru 1) przestrzeni afinicznej E. Zbiór E \H można jednoznacznie przedstawić w postaci
sumy mnogościowej zbiorów wypukłych W1 i W2 .
Ponadto zbiory W1 ∩ W2 = ∅ oraz zbiory W1 ∪ H i W2 ∪ H są wypukłe.
Dowód: Niech p0 ∈ H oraz q ∈ E \ H. Ponieważ wektor −
p→
0 q nie należy
do S(H) oraz kowymiar H jest równy 1, więc V = S(H) ⊕ lin(−
p→
0 q). Zatem
każdy punkt p ∈ E można jednoznacznie przedstawić w postaci
p = p0 + a −
p→
0 q + v,
gdzie a ∈ R oraz v ∈ S(H).
Niech
W1 = {p0 +a−
p→
0 q+v; v ∈ S(H), a < 0},
W2 = {p0 +a−
p→
0 q+v; v ∈ S(H), a > 0}.
Oczywiście W1 ∩ W2 = ∅ i W1 ∪ W2 = E \ H, gdyż H = {p0 + v; v ∈ S(H)}.
Pokażemy, że W1 jest zbiorem wypukłym. Niech p, q ∈ W1 , czyli
p = p0 + a1 −
p→
0 q + v1 ,
q = p0 + a2 −
p→
0 q + v2 ,
gdzie v1 , v2 ∈ S(H) oraz a1 , a2 > 0.
2
Dla a ∈ [0, 1] otrzymujemy
→
−→
p + a−
pq =p0 + a1 −
p→
0 q + v1 + a ((a2 − a1 )p0 q + v2 − v1 )
=p0 + ((1 − a)a1 + aa2 ) −
p→
0 q + ((1 − a)v1 + av2 ) ,
→
skąd z uwagi na (1 − a)a1 + aa2 > 0 otrzymujemy, że p + a−
pq ∈ W1 . To
implikuje wypukłość zbioru W1 .
Analogicznie dowodzimy wypukłości zbiorów W2 , W1 ∪ H, W2 ∪ H.
Pokażemy teraz, że jeżeli U1 ∪U2 = E \H oraz zbiory U1 I U2 są wypukłe,
to U1 = W1 i U2 = W2 lub U1 = W2 i U2 = W1 .
Przypuśćmy przeciwnie; istnieją wtedy punkty p1 ∈ W1 , p2 ∈ W2 należące do jednego ze zbiorów Ui (np. U1 ). Mamy zatem, że
p1 = p0 + a1 −
p→
0 q + v1 ,
p2 = p0 + a2 −
p→
0 q + v2 ,
gdzie a1 < 0 i a2 > 0.
1
i zauważmy, że a ∈ (0, 1). Z wypukłości U1 dostajemy
Połóżmy a = a1a−a
2
→
p1 p2 ⊂ U1 , a więc p1 + a−
p−
1 p2 ∈ U1 ⊂ E \ H. Z drugiej strony
→
−→
p1 + a−
p−
1 p2 =p1 + a ((a2 − a1 )p0 q + v2 − v1 )
a1
(v2 − v1 )
=p1 − a1 −
p→
0q +
a1 − a2
a1
a2
a1
=p0 + v1 +
(v2 − v1 ) = p0 −
v1 +
v2 ∈ H,
a1 − a2
a1 − a2
a1 − a2
sprzeczność.
Definicja 16.7 Dla hiperpłaszczyzny H przestrzeni afinicznej E każdą z
dwóch składowych wypukłych zbioru E\H nazywamy półprzestrzenią otwartą, a sumę półprzestrzeni otwartej i wyznaczającej ją hiperpłaszczyzny —
półprzestrzenią. Pólprzestrzeń wymiaru 1 (pochodzącą od hiperpłaszczyzny
wymiaru 0 — punktu) nazywamy półprostą, a półprzestrzeń wymiaru 2 (wyznaczoną przez prostą) — półpłaszczyzną.
Przykład 16.8 Jeżeli w przestrzeni En hiperpłaszczyzna H jest dana (na
podstawie uwagi 13) równaniem
a1 x1 + . . . an xn = b,
to każda z półprzestrzeni jest opisana jedną z nierówności
a1 x1 + . . . an xn ¬ b,
a1 x1 + . . . an xn ­ b,
a każda z nierówności
a1 x1 + . . . an xn < b,
a1 x1 + . . . an xn > b
opisuje półprzestrzeń otwartą.
3
Definicja 16.9 Załóżmy, że punkty p0 , . . . , pk są w położeniu ogólnym.
Zbiór
∆(p0 , . . . , pn ) = conv (p0 , . . . , pn )
nazywamy sympleksem k–wymiarowym o wierzchołkach p0 , . . . , pk .
Definicja 16.10 Załóżmy, że ∆ = ∆(p0 , . . . , pk−1 ) jest sympleksem (k−1)–
wymiarowym. Niech ponadto wektor v ∈ V \ S(af (p0 , . . . , pk−1 )). Zbiór
Q(∆; v) = ∪0¬α¬1 (∆ + αv) = {p + αv ; p ∈ ∆, α ∈ [0, 1]}
nazywamy k–wymiarową pryzmą o podstawie ∆ i wektorze krawędzi bocznej
v.
Definicja 16.11 Załóżmy, że p0 ∈ E oraz wektory v1 , . . . , vk ∈ V są liniowo
niezależne. Zbiór
P(p0 ; v1 , . . . , vk ) = {p0 + a1 v1 + . . . ak vk ; a1 , . . . , ak ∈ [0, 1]}
nazywamy k–wymiarowym równoległościanem zaczepionym w punkcie p0 i
rozpiętym na wektorach v1 , . . . , vk .
Przykład 16.12
1. Sympleksem 1–wymiarowym jest odcinek, 2–wymiarowym
— trójkąt, a 3–wymiarowym — czworościan.
2. Pryzmą 1–wymiarową jest odcinek, 2–wymiarową — równoległobok,
a 3–wymiarową — graniastosłup trójkątny.
3. Równoległościanem 1–wymiarowym jest odcinek, 2–wymiarowym —
równoległobok, a 3–wymiarowym — równoległościan.
4