Funkcje wygładzające

Rozdział 4 – A n al iza
w idm ow a
4. 1 5 . O k n a ( f u n k c j e
w y g ładzaj ą c e )
Przetwarzanie i
A nal iza S y g nał ó w
1 1 6
4.15. OKNA (FUNKCJE WYGŁADZAJĄCE)
Jak walczyć z przeciekiem ?
• wydłużyć czas obserwacji do nieskończoności
T→∞
• brać pod uwagę całkowitą liczbę cykli sygnału
T = k ⋅ Ts
• modyfikować sygnał w celu usunięcia nieciągłości na
skrajach przedziału określoności (skrajach okna obserwacji)
⇓
zastosowanie okna (funkcji wygładzającej)
1
lgX
ωs
t
2
lgX
ωs
t
Rozdział 4 – A n al iza
w idm ow a
4. 1 5 . O k n a ( f u n k c j e
w y g ładzaj ą c e )
Przetwarzanie i
A nal iza S y g nał ó w
1 1 7
zastosowane okna:
1
w(t)
1
0
T
2
w(t)
1
t
0
T
t
warunki, jakie powinny spełniać funkcje wygładzające:
• równość wartości iloczynu x∞(t)⋅w(t) na skrajach przedziału
określoności
[x∞ (t ) ⋅ w(t )]t =0 = [x∞ (t ) ⋅ w(t )]t =T
(4.92)
• równość wartości co najmniej pierwszych pochodnych
iloczynu x∞(t)⋅w(t) na skrajach przedziału określoności
{x∞ (t ) ⋅ w(t )}t' = 0 = {x∞ (t ) ⋅ w(t )}t' =T
(4.93)
• brak wpływu na energię sygnału
∫x
T
0
2
(t ) dt = ∫ [x∞ (t ) ⋅ w(t )]2 dt
T
0
(4.94)
⇓
1T 2
w (t ) dt = 1
T 0∫
(4.95)
w przeciwnym wypadku wynikowe spektrum musi być
skorygowane (okno 2 z przykładu powyżej nie spełnia tego
warunku)
Rozdział 4 – A n al iza
w idm ow a
4. 1 5 . O k n a ( f u n k c j e
w y g ładzaj ą c e )
Przetwarzanie i
A nal iza S y g nał ó w
1 1 8
popularne okna w dziedzinie czasu
w = 1 dla t∈ <0;T>
extended
cosine bell
w = 1 dla t∈ <0.1T;0.9T>
w = 0.5(1-cos(10πt/T))
dla t∈ <0.1T;0.9T>
Blackman
w = 1-0.42–0.5cos(2πt/T)+
-0.08cos(4πt/T)
dla t∈ <0;T>
w = 0.08+0.46(1-cos(2πt/T))
dla t∈ <0;T>
Hamming
w = 0.5(1-cos(2πt/T))
dla t∈ <0;T>
cosine (Hann)
w = 2t/T dla t∈ <0;0.5T>
w = -2t/T+2 dla t∈ <0.5T;T>
triangle
(Barttlet)
w = sin3(πt/T) dla t∈ <0;T>
half cycle sine
Parzen
0
T
time t
w = 1-6(2t/T-1)2+6|2t/T-1|3
dla t∈ <0.25T;0.75T>
w = 2(1-|2t/T-1|)3
dla t∈ <0;0.25T> ∩ <0.75T;T>
Rozdział 4 – A n al iza
w idm ow a
4. 1 5 . O k n a ( f u n k c j e
w y g ładzaj ą c e )
Przetwarzanie i
A nal iza S y g nał ó w
w praktyce przeważnie stosuje się funkcje wygładzające bez
spełnienia warunku (4.95)
funkcja wygładzająca
współczynnik korekcyjny
rectangular (brak okna)
extended cosine bell
Blackman
Hamming
cosine (Hann)
triangle (Barttlet)
half cycle sine
Parzen
1.000
1.146
2.152
2.516
2.667
3.009
3.200
3.709
wybrane okna w dziedzinie częstotliwości
W(ω)
T/2π
rectangular window
Barttlet window
Parzen window
1 . T/2π
2
3 . T/2π
8
0
2π
T
4π
T
6π
T
ω
1 1 9
Przetwarzanie i
A nal iza S y g nał ó w
Rozdział 4 – A n al iza
w idm ow a
4. 1 5 . O k n a ( f u n k c j e
w y g ładzaj ą c e )
1 2 0
zastosowanie okien innych niż prostokątne:
• zmniejszone listki główne (z powodu obniżonej energii
wygładzonego sygnału)
• zredukowane listki boczne (side-lobe fall-off)
• przeciek pojawia się również dla całkowitej liczby
okresów sygnału w oknie obserwacji → okno zniekształca
oryginalny sygnał (rozwiązanie niedoskonałe)
W(ω)
0.00
rectangular window
Barttlet window
Parzen window
[dB]
-20.00
-40.00
-60.00
-80.00
-100.00
-120.00
0
4π
T
8π
T
12π
T
ω