VI. Funkcje uwikłane

VI. Funkcje uwik÷
ane
Weźmy pod uwage¾ równania:
1)
2x
y+4=0
2)
2x
y2 + 1 = 0
3)
x2 + y 2 + 2 = 0
Pierwsze z nich określa w zbiorze liczb rzeczywistych dok÷adnie jedna¾funkcje¾
y (x) zmiennej x, dla której
2x
y (x) + 4 + 0 .
Jest to funkcja
y (x) = 2x + 4 .
Drugie równanie określa dok÷
adnie dwie funkcje ciag÷
¾ e y (x) zmiennej x
takie, z·e
2
2x (y (x)) + 1 = 0 .
Sa¾ to funkcje
y (x) =
oraz
y (x) =
p
2x + 1
p
2x + 1 ,
obie określone dla x 2 [ 2; +1).
Trzecie z równań nie określa z·adnej funkcji.
Funkcje y (x) określone powyz·ej sa¾ funkcjami uwik÷
anymi wyznaczonymi
przez odpowiednie równania.
Zauwaz·my jeszcze, z·e drugie z rozwaz·anych równań jest spe÷
nione przez
nieskończenie wiele funkcji nieciag÷
¾ ych postaci
p
dla x 2 [ 2; a)
p2x + 1
y (x) =
2x + 1 dla x 2 [a; +1)
Niech F bedzie
¾
funkcja¾ dwóch zmiennych określona¾ na pewnym obszarze D.
Kaz·da¾ funkcje¾ y = y (x) ciag÷
¾ a¾ na pewnym przedziale I, taka¾ z·e dla dowolnego
x2I
F (x; y (x)) = 0
1
nazywamy funkcja¾ uwik÷
ana¾ określona¾ równaniem F (x; y) = 0.
Twierdzenie 6.1. (o istnieniu funkcji uwik÷
anej) Jez·eli funkcja F ma
ciag÷
¾ e pochodne czastkowe
¾
na pewnym otoczeniu punktu (x0 ; y0 ) oraz
F (x0 ; y0 ) = 0 i Fy0 (x0 ; y0 ) 6= 0,
to na pewnym otoczeniu punktu x0 istnieje dok÷adnie jedna funkcja uwik÷ana
y = y (x) określona równaniem F (x; y) = 0 spe÷niajaca
¾ warunek y (x0 ) = y0 ,
przy czym funkcja ta ma ciag÷
¾ a¾ pochodna¾ określona¾ wzorem
y 0 (x) =
Fx0 (x; y (x))
.
Fy0 (x; y (x))
Jeśli funkcja F ma ciag÷
¾ e pochodne czastkowe
¾
drugiego rzedu,
¾
to y = y (x) ma
druga¾ pochodna¾ oraz
y 00 (x) =
00
Fy2
Fxx
00
00
Fx2
Fx Fy + Fyy
2Fxy
Fy0
3
.
co moz·na tez· równowaz·nie zapisać w postaci
00
y (x) =
00
Fxx
2
00
00 0
(y 0 )
y + Fyy
2Fxy
Fy0
Twierdzenie 6.2 (o ekstremach lokalnych funkcji uwik÷
anej). Jez·eli
funkcja F ma ciag÷
¾ e pochodne czastkowe
¾
drugiego rzedu
¾ na pewnym otoczeniu
punktu (x0 ; y0 ) i
F (x0 ; y0 ) = 0, Fx0 (x0 ; y0 ) = 0 i Fy0 (x0 ; y0 ) 6= 0
oraz
I (x0 ; y0 ) =
00
(x0 ; y0 )
Fxx
6= 0
Fy0 (x0 ; y0 )
to funkcja uwik÷
ana y = y (x) określona równaniem F (x; y) = 0 i spe÷niajaca
¾
warunek y (x0 ) = y0 , ma ekstremum lokalne w punkcie x0 równe y0 , przy czym
jest to maksimum, gdy I (x0 ; y0 ) < 0 oraz minimum, gdy I (x0 ; y0 ) > 0.
2