Zjawisko Dopplera - Open AGH e

Zjawisko Dopplera
Autorzy: Zbigniew Kąkol, Bartek Wiendlocha
Zjawisko Dopplera polega na pozornej zmianie częstotliwości fali z powodu ruchu obserwatora lub źródła fali.
W pracy z 1842 r. Christian Doppler zwrócił uwagę, że barwa świecącego ciała (częstotliwość wysyłanego promieniowania) musi
się zmieniać z powodu ruchu względnego obserwatora lub źródła. Zjawisko Dopplera występuje dla wszystkich fal; my
szczegółowo rozważymy je dla fal dźwiękowych. Ograniczymy się do przypadku ruchu źródła i obserwatora wzdłuż łączącej ich
prostej.
Rozpatrzmy sytuację, gdy źródło dźwięku spoczywa, a obserwator porusza się w kierunku źródła z prędkością vo (względem
ośrodka). Jeżeli fale o długości λ rozchodzą się z prędkością v to w czasie t dociera do nieruchomego obserwatora vt/λ fal.
Jeżeli obserwator porusza się w kierunku źródła (wychodzi falom na przeciw), to odbiera jeszcze dodatkowo vo t/λ fal. W
związku z tym częstotliwość f ′ słyszana przez obserwatora
f′=
vt
λ
+
vot
λ
=
v+vo
λ
f′=f
v+vo
v
t
=
v+vo
(1)
v
f
Ostatecznie
(2)
Obserwator rejestruje wyższą częstotliwość niż częstotliwość źródła. Kiedy obserwator oddala się od źródła należy w powyższych
wzorach zmienić znak (na minus) prędkości obserwatora vo . W tym przypadku częstotliwość zmniejsza się.
Analogicznie możemy przestudiować przypadek źródła poruszającego się z prędkością vz względem nieruchomego obserwatora
(i względem ośrodka). Otrzymujemy wtedy zależność
f′=f
v
v−vz
(3)
dla przypadku źródła zbliżającego się do obserwatora. Obserwator rejestruje wyższą częstotliwość niż częstotliwość źródła. Gdy
źródło oddala się to w powyższym wzorze zmieniamy znak prędkości źródła vz . Ta sytuacja jest przedstawiona na Rys. 1, gdzie
pokazane są powierzchnie falowe dla fal wysłanych ze źródła Z poruszającego się z prędkością vz w stronę obserwatora O
(rysunek a) w porównaniu do powierzchni falowych dla fal wysłanych znieruchomego źródła (rysunek b). Widzimy, że w przypadku
(a) obserwator rejestruje podwyższoną częstotliwość.
Rysunek 1: Fale wysyłane przez źródło Z: (a) poruszające się zprędkością vz w stronę obserwatora O; (b) przez nieruchome źródło
Zwróćmy uwagę, że zmiany częstotliwości zależą od tego czy porusza się źródło czy obserwator. Wzory ( 2 ) i ( 3 ) dają inny wynik
dla jednakowych prędkości obserwatora i źródła.
W sytuacji kiedy porusza się zarówno źródło, jak i obserwator, otrzymujemy zależność będącą połączeniem wcześniejszych
wzorów.
o
f ′ = f( v±v
)
v∓v
z
(4)
Znaki "górne" w liczniku i mianowniku odpowiadają zbliżaniu się źródła i obserwatora, a znaki "dolne" ich oddalaniu się. Powyższe
wzory są słuszne, gdy prędkości źródła i obserwatora są mniejsze od prędkości dźwięku.
ZADANIE
Zadanie 1: Klakson samochodu
Treść zadania:
Typowym przykładem efektu Dopplera jest zmiana częstotliwości dźwięku klaksonu samochodu przejeżdżającego koło nas.
Słyszymy, że klakson ma wyższy ton, gdy samochód zbliża się do nas, a niższy, gdy się oddala. Załóżmy, że podczas mijania
nas przez samochód rejestrujemy obniżenie częstotliwości klaksonu o 15%. Na podstawie tej informacji sprawdź czy
samochód nie przekroczył dozwolonej, poza obszarem zabudowanym, prędkości 90 km/h. Prędkość dźwięku przyjmij równą
340 m/s.
ROZWIĄZANIE:
Dane: prędkość dźwięku v = 340 m/s, względna zmiana częstotliwości przy mijaniu wynosi 15%.
v
Podczas zbliżania się samochodu rejestrujemy dźwięk o częstotliwości f1 = f v−v
, a podczas jego oddalania się o
z
v
częstotliwości f2 = f v+v , gdzie v jest prędkością dźwięku, a v z prędkością źródła czyli samochodu.
z
Względna zmiana częstotliwości wynosi 15% więc
f1 −f2
f1
= 0.15.
Podstawiając do tego równania podane zależności na f1 i f2 , a następnie przekształcając je otrzymujemy
2vz
v+vz
= 0.15
Obliczona z tego równania wartość prędkości źródła dźwięku (samochodu) wynosi v z = 27.57 m/s = 99 km/h
Zjawisko Dopplera dla fal na wodzie ilustruje poniższy film:
http://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-video.php?id=27
Film ilustrujący zjawisko Dopplera
(5)
Zjawisko Dopplera obserwujemy również w przypadku fal elektromagnetycznych, a więc i świetlnych. Opis tego zjawiska dla
światła jest inny niż dla fal dźwiękowych. Dla fal dźwiękowych otrzymaliśmy dwa wyrażenia ( 2 ) i ( 3 ) na zmianę częstotliwości
fali w zależności od tego czy to źródło, czy też obserwator poruszają się względem ośrodka przenoszącego drgania (powietrza).
Zjawisko Dopplera dla dźwięku ilustruje poniższy film:
http://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-video.php?id=36
Film ilustrujący zjawisko Dopplera
Do rozchodzenia się światła nie jest potrzebny ośrodek (światło może rozchodzić się w próżni) ponadto, zgodnie ze szczególną
teorią względności Einsteina, prędkość światła nie zależy od układu odniesienia i dlatego częstotliwość fali świetlnej odbieranej
przez obserwatora zależy tylko od prędkości względnej źródła światła i obserwatora. Jeżeli źródło i obserwator poruszają się
wzdłuż łączącej ich prostej to
−
−−
1−β
f ′ ≈ f √ 1+β
(6)
gdzie β = u/c. W tej zależności u jest prędkością względną źródła względem odbiornika, a c prędkością światła. Dla małych
wartości prędkości względnej |u| ≪ c powyższy wzór przyjmuje postać
f ′ ≈ f(1 ± uc )
(7)
Znak "+" odnosi się do wzajemnego zbliżania się źródła i obserwatora, a znak "-" do ich wzajemnego oddalania się. Zbliżaniu
towarzyszy więc wzrost częstotliwości (dla światła oznacza to przesunięcie w stronę fioletu), a oddalaniu się obniżenie
częstotliwości (dla światła oznacza to przesunięcie w stronę czerwieni).
Zjawisko to ma liczne zastosowania: na przykład w astronomii służy do określenia prędkości odległych świecących ciał
niebieskich. Porównujemy długości fal światła wysyłanego przez pierwiastki tych obiektów z długościami fal światła wysyłanego
przez takie same pierwiastki znajdujące się na Ziemi. To właśnie szczegółowe badania przesunięć ku czerwieni w widmach
odległych galaktyk wykazały, że Wszechświat rozszerza się.
http://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-simulation.php?fileId=1390
Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne
prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod
warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko
na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie
http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.
Czas generacji dokumentu: 2015-07-22 08:28:25
Oryginalny dokument dostępny pod adresem: http://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php?
link=5cf0110d10ade82ac71eebef1eeb5d5b
Autor: Zbigniew Kąkol, Bartek Wiendlocha