docSlajdy do wykładu prof. Chełmińskiego
download 
Reklamacja Transkrypt
Slajdy do wykładu prof. Chełmińskiego
MiNI Akademia Matematyki na Politechnice Warszawskiej Krzysztof CheÃlmiński W geometrii odpowiedni rysunek to poÃlowa sukcesu MiNI PW, 10.04.2010 Kilka lÃatwych ale pożytecznych zadań 1. Wykaż, że kat styczna, i cieciw a, jest równy katowi wpisanemu opartemu na tej cieciwie. , pomiedzy , , , , 2. W trójkacie ABC zachodzi AB 6= AC. Wykaż, że dwusieczna kata przy wierzchoÃlku A przecina , , sie, z symetralna boku BC na okregu opisanym na trójkacie ABC. , , 3. Wykaż,ż dwusieczne katów wewnetrznych trójkata ABC sa, wysokościami trójkata o wierzchoÃlkach , , , , bed punktami przeciecia dwusiecznych z okregiem opisanym na trójkacie ABC. , , , acych , , 4. Niech AB i CD bed sie, cieciwami w pewnym okregu. Znajdź kat , , pomiedzy , a, nieprzecinajacymi , , , prostymi AC i BD. 2 Kilka nieco trudnieszych zadań 5. Trójkat Wykaż, że odlegÃlość środka lÃuku BC, który nie zawiera , ABC jest wpisany w okrag. , punktu A, od środków okregu wpisanego w trójkat ABC i stycznego , ABC i dopisanego do trójkata , , do boku BC jest taka sama. 6. Dwa okregi styczne wewnetrznie w punkcie P . Cieciwa AB wiekszego z nich jest styczna do , , , mniejszego okregu w punkcie Q. Wykaż, że katy ∠AP Q i ∠QP B sa, równe. , , 7. Dwa okregi o1 i o2 sa, styczne wewnetrznie do okregu o w punktach P i Q. Cieciwa okregu o nie , , , , , przecina odcinka lÃacz środki o1 i o2 i jest styczna do o1 i o2 w punktach A i B. Wykaż, że proste , acego , proste P A i QB przecinaja, sie, na okregu o. , 3 PrzykÃladowe zadania olimpijskie 8. Cieciwy AC i BD sa, prostopadÃle i przecinaja, sie, w punkcie I. Oznaczamy przez P ,Q,R rzuty , prostokatne I na AB, BC i CD oraz prez N środek AD. Wykaż, że punkty N, P, Q, R leża, na , jednym okregu. , 9. (50 OM) Punkt D leży na boku BC trójkata ABC przy czym AD > BC. Punkt E leży na boku , AC i speÃlnia AE/EC = BD/(AD − BC). Wykaż, że AD > BE. 10. (49 OM) Punkty D, E leża, na boku AB trójkata ABC i speÃlniaja, AD/DB · AE/EB = , (AC/CB)2. Wykaż że katy ∠ACD i ∠BCE sa, równe. , 11. (57 OM) Punkt C jest środkiem odcinka AB. Okrag przez A i C przecina , o1 przechodzacy , okrag przez B i C w punktach C i D. Punkt P jest środkiem lÃuku AD okregu o1 , , o2 przechodzacy , , który nie zawiera C. Q jest środkiem Ãluku BD okregu o2, który nie zawiera C. Wykaż, że P Q i CD , sa, prostopadÃle. 12. Na bokach trojkata ABC zbudowano prostokaty ABB1A1, BB2C1C i CC2A2A. Wykaż, ze , , symetralne odcinków A1A2, B1B2 i C1C2 przecinaja, sie, w jednym punkcie. 4 Negatywny przykÃlad 13. W sześciokacie wypukÃlym ABCDEF przeciwlegÃle boki sa, równolegÃle. Wykaż, że proste lÃacz , , ace , środki przeciwlegÃlych boków przecinaja, sie, w jednym punkcie. 5 Życze, wszystkim jak najwiecej udanych rysunków , w analizie zadań geometrycznych. Zapraszam na warsztaty. Dziekuj e, za uwage. , , 6
