EFEKTYWNY ALGORYTM WIZUALIZACJI LINII SIŁ POLA

XI International PhD Workshop
OWD 2009, 17–20 October 2009
EFEKTYWNY ALGORYTM WIZUALIZACJI LINII SIŁ POLA
MAGNETYCZNEGO W UKŁADZIE TRÓJWYMIAROWYM
Marcin Antczak, Politechnika Poznańska
Abstract
The paper presents an algorithms to determine
seeding strategy and computation of closed flux lines
in 3D electromagnetic fields. In the presented
approach seeding strategy is dependent on the
magnetic flux density distribution on a specified cut
off surface for considered 3D model. The selected
results of visualizations are presented.
Streszczenie
W artykule przedstawiono algorytmy wyznaczania
punktów startowych oraz obliczania zamkniętych
linii sił pola dla układów 3D w polu
elektromagnetycznym. Punkty startowe linii sił pola
są w głównej mierze zaleŜnie od wartości strumienia
magnetycznego na określonej płaszczyźnie cięcia
analizowanego modelu 3D. W artykule pokazano
wybrane linie sił pola magnetycznego w zaleŜności
od rodzaju zastosowanego algorytmu.
1. Wprowadzenie
Interpretacja duŜych ilości danych jest waŜną
częścią procesu projektowania, a takŜe zrozumienia
zjawisk fizycznych zachodzących w urządzeniach.
W artykule przedstawiono jedną z technik
wizualizacji pola wektorowego metody elementów
skończonych. Jedną z metod wizualizacji pola
wektorowego są linie sił. Wykorzystuje się je do
zobrazowania topologii pola. Wykorzystywane w
mechanice płynów czy aerodynamice znalazły takŜe
zastosowanie w polu magnetycznym nazwane są
liniami sił pola. Linie sił pola magnetycznego
charakteryzują
się
czterema
podstawowymi
właściwościami [5]:
• Kierunek linii jest zgodny z kierunkiem wektorów
r
indukcji magnetycznej B , w punktach przez
które przechodzi linia,
• Linia jest styczna do wektorów indukcji,
• Linie sił pola nie przecinają się,
• Linie sił pola są liniami zamkniętymi, nie
posiadają źródeł.
Algorytm wizualizacji linii sił pola jest połączony z
prostym
algorytmem
wyznaczania
punktów
startowych w zaleŜności od rozkładu strumienia
magnetycznego na płaszczyźnie.
2.
Algorytm
wyznaczenia
liczby
punktów startowych linii sił pola w
układzie trójwymiarowym
Wizualizacja linii sił pola magnetycznego
dostarcza nam informacji nie tylko o kierunku pola
wektorowego, ale takŜe jego gęstości. Za pomocą tej
metody
moŜna w łatwy sposób zrozumieć
zachowanie się pola w róŜnego rodzaju
urządzeniach. Rozkład punktów startowych dla
wizualizacji linii sił zaleŜy od wartości strumienia
magnetycznego. W obszarach o większej wartości
strumienia magnetycznego liczba linii sił pola
powinna być większa od liczby linii w obszarze o
mniejszej wartości. W celu wyznaczenia linii sił pola
magnetycznego w artykule zaproponowano definicję
płaszczyzny tnącej S ⊆ Ω rozpatrywany obiekt
trójwymiarowy [1] (rys. 3, 4 i 5). Na płaszczyźnie S
wyznacza się liczbę punktów startowych z których
wyłaniać się będą linie sił. Zastosowano następujący
algorytm:
• Dla kaŜdego elementu płaszczyzny S strumień
magnetyczny wyznaczono następująco:
r
r
φ elem = B elem ⋅ S elem
(1)
r
r
gdzie B elem wektor indukcji w elemencie, S elem
wektor normalny do powierzchni elementu
• W odniesieniu do zdefiniowanego przedziału
strumienia {φmin, φmax} płaszczyzny cięcia,
płaszczyznę S podzielono na NS podobszarów
S = {S1 , S 2 , ... , S N S }
(2)
gdzie kaŜdy podobszar zawiera elementy
przynaleŜne do danego przedziału strumienia.
• W kaŜdym podobszarze Si wyznaczono średni
strumień magnetyczny φiav po wszystkich
elementach NSi podobszaru Si
366
φiav =
N Si
∑ φielem
(3)
i
• Liczbę linii sił pola magnetycznego w kaŜdym
podobszarze
wyznaczono
za
pomocą
następującej formuły
Ni =
φ
ρ(τ + ∆τ ) = ρ(τ ) +
τ + ∆τ
∫ ν(ρ(τ))d τ
(7)
τ
av
i
N
NS
∑φ
Dla znanych punktów startowych formuły (6),
kolejne punkty leŜące na krzywej uzyskano
rozwiązując równanie (5) zapisane w następującej
postaci:
(4)
av
i
i
gdzie: N liczba punktów startowych linii sił pola
dla rozpatrywanego układu trójwymiarowego, a
Ni obliczona liczba punktów startowych w
podobszarze.
Ostatnim etapem jest wyznaczenie połoŜenia
punktów w podobszarach. Punkty startowe powinny
być zaleŜne od rozkładu strumienia magnetycznego.
W artykule zaproponowano trzy algorytmy
umiejscowienia punktów słuŜących do obliczenia
zamkniętych linii sił pola magnetycznego:
• Algorytm 1 - intuicyjna metoda umiejscowienia
wyznaczonych
punktów
startowych
w podobszarze Si w miejscach o większej
wartości strumienia magnetycznego (rys. 3). Jest
to algorytm umiejscowienia punktów startowych
blisko linii podziału płaszczyzny na podobszary.
Punkty startowe znajdują się w róŜnej odległości
od siebie.
• Umiejscowienia punktów startowych w sposób
równoodległy na linii podziału podobszarów Si.
Pierwszym etapem działania algorytmu jest
określenie przynaleŜności linii podziału (izolinii)
do danego zakresu podobszaru i przypisaniu
obliczonych punktów startowych (rys. 4, rys. 5).
Dla tej metody zastosowano dwa róŜne
algorytmy. W Algorytmie 2a umiejscowienie
punktów rozpoczyna się od początku do końca
linii podziału, a w algorytmie 2b umiejscowienie
punktów rozpoczyna się od środka linii podziału
w kierunku początku i końca linii. W celu
wyznaczenia punktów w sposób równoodległy
wykorzystano
interpolację
współrzędnych
punktów linii podziału.
3. Obliczenia linii sił pola
Linie sił są zorientowanymi krzywymi ρ pola
wektorowego ν w obszarze Ω. W kaŜdym punkcie
wektor pola jest styczny do krzywej:
∂ρ
= ν (ρ(τ ))
∂τ
(5)
ρ(τ = 0) = a
(6)
gdzie ρ(τ) jest pewnym punktem linii sił pola, a
jest punktem startowym w obszarze Ω.
gdzie ∆τ jest krokiem całkowania wyznaczenia
kolejnych punktów krzywej linii sił pola.
Obliczenia zaleŜności (7) wykonano uŜywając
metody
Runge-Kutta
czwartego
rzędu
z
adaptacyjnym krokiem ∆τ oraz kontrolą wyznaczenia
współrzędnych kolejnych punktów [3]. Zaletą
zastosowanej metody jest szybkie i dokładne
wyznaczenie linii sił.
Numeryczne rozwiązanie formuły (7) prowadzi
do wystąpienia błędu podczas wyznaczania kolejnych
punktów. Powoduje to, Ŝe otrzymane krzywe nie
będą krzywymi zamkniętymi (rys. 1).
Rys. 1. Błąd całkowania równania 7 względem krzywej
odniesienia. Widok linii sił wokół prostokątnego przewodu
z prądem, wymuszenie w kierunku z.
Aby utworzyć linie zamknięte konieczne jest
zdefiniowanie dodatkowego kryterium algorytmu
znajdowania krzywych zamkniętych. Podstawowym
załoŜeniem jest, Ŝe punkt końcowy ρ(τ i ) jest
umiejscowiony
w
kuli
dookoła
punktu
początkowego ρ(τ 0 ) z określonym błędem ε:
ρ(τ i ) − ρ(τ 0 ) ≤ ε
(8)
Zasadniczą ideą działania algorytmu jest kontrola
procesu całkowania przy wyznaczaniu kolejnych
punktów poprzez modyfikację równania (8) przez
sprawdzenie moŜliwego zamknięcia obliczonej
krzywej. Odległość moŜliwego punktu ρ(τ i ) od
krzywej jest prostopadła do kierunku wektora
indukcji magnetycznej, określanego przez warunek:
ρ(τ i ) − ρ(τ 0 ) × ρ(τ1 ) − ρ(τ 0 ) ≤ ε
(9)
Kontrolowany błąd wyznaczania kolejnych punktów
krzywej zamkniętej (9) w odniesieniu do zaleŜności
(8) jest niezaleŜny od krzywej oraz zmiennego kroku
całkowania ∆τ.
367
4. Wyniki wizualizacji
Obliczenia wizualizacyjne wykonano dla prostego
układu trójwymiarowego. W artykule rozpatrzono
model układu testowego z prostokątnym
przewodem
otoczonym
powietrzem.
Pole
magnetyczne wytworzono przez zadaną gęstość
prądu J w uzwojeniu. Przepływ prądu wymuszono w
kierunku z (rys. 2).
Do
wizualizacji
otrzymanych
wyników
zastosowano bibliotekę graficzną Visual Toolkit
Kitware VTK [3]. Biblioteka VTK jest narzędziem
do wizualizacji grafiki dwu i trój-wymiarowej oraz
przetwarzania obrazów. Opisane algorytmy zostały
zaimplementowane w programie iMOOSE [4]. Jest
to program metody elementów skończonych
opracowany i uŜywany przez Instytut Maszyn
Elektrycznych na uczelni Rheinisch-Westfälische
Technische Hochschule w Aachen.
Do rozkładu linii sił pola płaszczyznę cięcia
rozpatrywanego modelu pokazano na rysunkach 3, 4,
5. Dla wszystkich prezentowanych wyników
dokonano dekompozycji podziału płaszczyzny NS
na 10 podobszarów. Wartość strumienia dla którego
wykonywano obliczenia podziału podobszaru
przyjęto z przedziału {0, φmax }. ZałoŜono, Ŝe liczba
punktów startowych N wynosi 100.
zauwaŜyć, Ŝe liczba wyznaczonych punktów
startowych maleje wraz z odległością od źródła pola
magnetycznego. Wyznaczone punkty startowe zaleŜą
od wartości strumienia magnetycznego na
płaszczyźnie cięcia. MoŜna zauwaŜyć, Ŝe
zastosowanie algorytmu 1 prowadzi do uzyskania
chaotycznego rozkładu linii sił pola. Skutkuje to
brakiem jasnej informacji na temat gęstości
strumienia
oraz
połoŜenia
źródła
pola
magnetycznego.
Rozkład
linii
sił
pola
magnetycznego uzyskany za pomocą algorytmu 2a
oraz 2b umoŜliwia lepszą wizualizację rozkładu pola
magnetycznego.
Rys.4. Linie sił pola magnetycznego algorytmu 2a
Rys.2. Wektorowa reprezentacja rozkładu indukcji
magnetycznej
Rys.5. Linie sił pola magnetycznego algorytmu 2b
5. Podsumowanie
Rys.3. Linie sił pola dla algorytmu 1
Na rysunkach 3, 4 i 5 pokazano rozkład
zamkniętych linii sił pola magnetycznego dla trzech
algorytmów umiejscowienia punktów startowych. Na
prezentowanych rozkładach linii sił pola moŜna
W pracy przedstawiono prosty i efektywny
algorytm wizualizacji zamkniętych linii sił pola
magnetycznego, uzyskany poprzez modyfikację
warunku wyznaczania kolejnych punktów krzywej.
Rozwiązano problem umiejscowienia punktów
startowych w zaleŜności od rozkładu strumienia
magnetycznego na płaszczyźnie S, tnącej
rozpatrywany model trójwymiarowy. Prezentowany
algorytm z sukcesem wykorzystano do wizualizacji
bardziej złoŜonego modelu silnika. Ze względu na
rozpoczęcie procedury patentowej modelu, wyniki
wizualizacyjne wykonano dla prostego układu
testowego. Otrzymane wyniki moŜna uznać za
zadawalające.
368
Literatura
1. V. Cingoski, T. Kuribayashi, K. Kaneda, and H.
Yamashita: Improved interactive visualization of
magnetic flux lines in 3-D space using edge finie elements,
IEEE Transactions on Magnetics, vol. 32, no. 3,
pp. 1477-1480, 1996.
2. X. Ye, D. Kao and A. Pang: Strategy for seeding 3D
streamlines, In Visualization, 2005, VIS 05. IEEE,
2005, pp. 471-478
3. I. Kitware, VTK User’s Guide Version 5, 5th
edition, Kitware, Inc., Sep. 2006.
4. D. van Riesen, C. Monzel, C. Kaehler, C.
Schlensok and G. Henneberger, iMOOSE-an open
source environment for finite-element calculations,
Magnetics, IEEE Transactions on, vol 40, no. 2,
pp. 1390-1393, 2004.
5. Banasiak K., Interaktywne oprogramowanie do
wizualizacji linii sił pola magnetycznego w układach
trójwymiarowych, Praca dyplomowa magisterska,
Poznań 2008, p. 66
Całość
pracy
została
zrealizowana
podczas
staŜu
Rheinisch
Westfälische
Technische Hochschule Aachen w Institut
für Elektrische Maschinen. Prezentowane
algorytmy zostały zaimplementowane w
programie iMOOSE
Współpraca:
Dipl. –Ing. Martin Hafner
Prof. Dr.-Ing. Dr.h.c. dr hab. Kay Hameyer
Adres słuŜbowy Autora:
Mgr inŜ. Marcin Antczak
Politechnika Poznańska
ul. Piotrowo 3A
60-965 Poznań
tel. (061) 647 58 03
email: marcin.antczak@
doctorate.put.poznan.pl
369