rola kondensatora

Charakterystyki częstotliwościowe elementów pasywnych
Parametry elementów pasywnych; reaktancji indukcyjnej (XL=ωL)
oraz pojemnościowej (XC=1/ωC) zależą od częstotliwości. Ma to
istotne znaczenie w wielu zjawiskach zachodzących w obwodach
elektrycznych prądu zmiennego.
Poniżej przedstawiono zależności od częstotliwości f:
reaktancji indukcyjnej,
reaktancji pojemnościowej,
rezystancji.
1
a)Zależność reaktancji indukcyjnej od częstotliwości.
Zależność ma charakter liniowy
X L = 2πfL
tj wraz ze wzrostem częstotliwości rośnie proporcjonalnie XL.
Oznacza to, że rola reaktancji indukcyjnej wzrasta wraz z
częstotliwością.
2
Przy f=0 (prąd stały) reaktancja XL=0 (punkt 0,0 na wykresie). Dowodzi to, iż
przy prądzie stałym, tj prądzie niezmiennym w czasie, reaktancja indukcyjna
jest „niewidoczna”-nie występuje na niej napięcie
Zależność reaktancji indukcyjnej XL od częstotliwości f
5,0
reaktancja XL
4,0
3,0
2,0
1,0
0,0
0
20
40
60
80
100
częstotliwość f
3
b) Zależność reaktancji pojemnościowej od częstotliwości.
Zależność ma charakter
hiperboliczny
1
Xc =
ωC
tj wraz ze zmianą częstotliwości zmienia się do niej odwrotnie
proporcjonalnie. Oznacza to, że rola reaktancji pojemnościowej
maleje wraz z częstotliwością.
4
Przy f=0 (prąd stały) reaktancja XC=∞ (oś y jest asymptotą funkcji
XC(f)). Dowodzi to, iż przy prądzie stałym, tj prądzie niezmiennym w
czasie, reaktancja pojemnościowa zachowuje się jak przerwa w
obwodzie elektrycznym – prąd nie płynie.
Zależność reaktancji pojemnościowe XC od częstotliwości f.
20
reaktancja XC
15
10
5
0
0
20
40
60
80
100
częstotliwość f
5
Częstotliwość rezonansowa
Istnieje zawsze taka częstotliwość f=fr , przy której reaktancja
indukcyjne jest równa reaktancji pojemnościowej (rysunek).
Warunek tej równości można zapisać w postaci równania
X L = XC
Po podstawieniu odpowiednich wyrażeń:
X L = ωL
1
xC =
ωC
6
1
ωL =
ωC
ω = ωr =
f = fr =
1
LC
1
2π LC
7
Pulsacja ωr i częstotliwość fr przy których zachodzi równość
XL=XC są ważnymi parametrami w obwodach, w których
występuje szeregowe lub równoległe połączenie L i C. W tym
przypadku noszą one nazwę –rezonansowych: ωr-pulsacja
rezonansowa, fr- częstotliwość rezonansowa.
8
b) Zależność rezystancji od częstotliwości.
Rezystancja jest wielkością od częstotliwości niezależną. Jej wartość
R=const jest taka sama zarówno dla częstotliwości dużych, jak i
małych i taka sama jak przy prądzie stałym czyli przy f=0.
Wykres funkcji R=R(f)
Charakterystyka częstotliwościowa rezystancji
12
Rezystancja R [om]
10
8
6
4
2
0
-360
-270
-180
-90
0
90
180
270
360
kąt [stopień]
9
Szeregowe połączenie elementów R, L, C
R
U
UR
XC
XL
UC
UL
I
Schemat układu z szeregowo połączonymi
elementami R, L, C.
UR
-napięcie na rezystancji
UL
-napięcie na reaktancji
UC
-napięcie na reaktancji
R
XL
XC
U
I
-Napięcie „przyłożone”
- Prąd w obwodzie
10
Przypadki szczególne:
Obwód R-L
Obwód R-C
Obwód L-C
Analiza układu przy wykorzystaniu metody wykresów wskazowych.
Wskaz napięcia:
Wskaz prądu:
U
I
11
Trójkąt prostokątny
a = c ⋅ cos ϕ
b = a ⋅ sin ϕ
a
cos ϕ =
c
b
sin ϕ =
c
c
b
ϕ
a
c =a +b
2
2
b
tgϕ =
a
a
ctgϕ =
b
2
c = a 2 + b2
12
Analiza obwodu przy wykorzystaniu metody wykresów wskazowych.
Zasady:
Napięcie na rezystancji UR
w fazie z prądem I w rezystancji,
Napięcie na indukcyjności UL
wyprzedza prąd I w inducyjności o 90 stopni
Napięcie na pojemności UC
opóźnia się w odniesieniu do prądu I w pojemności o 90 stopni
13
Przyjmujemy:
jako wskaz podstawowy –poziomy –wskaz
prądu
I
14
Szeregowe połączenie elementów R, L
R
XL
U
UURR
I
UL
Schemat układu z szeregowo połączonymi
elementami R, L, C.
UR
-napięcie na rezystancji
UL
-napięcie na reaktancji
R
XL
U
I
-Napięcie „przyłożone”
- Prąd w obwodzie
15
R
U
URUR
XL
I
UUL
L
Wykres wskazowy
U
UL
α
ϕ
UR
I
16
U
U = U R2 + U L2
UL
ϕα
UR
U R = IR
U L = IX L
U = IZ
I
IZ =
(IR ) + (IX L )
2
Z= R +X
2
2
2
L
Z − impedancja
17
U
I=
Z
W tym przypadku (obwód RL)
I=
U
R +X
2
2
L
Przykład: Obliczyć natężenie prądu w obwodzie zawierającym rezystancję
10 omów połączoną szeregowo z reaktancją indukcyjną o wartości 5 omów.
Napięcie przyłożone do obwodu U=100 V
100
100
I=
=
= 8,94 A
125
102 + 52
18
Impedancja Z obwodu
Z = R 2 + X L2 = 102 + 52 = 125 = 11,18Ω
Obliczyć impedancję i prąd w obwodzie przy dwukrotnie
większej częstotliwości.
X L1 = 2πf1L
X L 2 = 2πf 2 L
X L 2 = 2 X L1
19
Z= R +X
2
2
L2
= 10 + 10 = 200 = 14,14Ω
2
2
U
100
= 7,07 A
I= =
Z 14,14
20
Szeregowe połączenie elementów R, C
XC
R
U
UC
UR
I
Schemat układu z szeregowo połączonymi
elementami R, C.
UR
-napięcie na rezystancji
UC
Napięcie na pojemności C
R
U
-Napięcie „przyłożone”
I – prąd w obwodzie
21
Wykres wskazowy
ϕ
I
UR
U
Uc
U R = IR
U = U +U
2
R
U L = IX C
U = IZ
Z − impedancja
IZ =
2
C
(IR ) + (IX C )
2
2
Z= R +X
2
2
C
22
Przykład:
W jakim stopniu zmienia się natężenie prądu w obwodzie RC przy
wzroście pulsacji w stosunku 2:1.
1
X C1 =
ω1C
XC2
1
1
=
=
ω2C 2ω1C
X C 2 = 0,5 ⋅ X C1
Z 1= R + X
2
I 2 Z1
=
=
I1 Z 2
Z 1= R + (0,5 X C1 )
2
2
C1
R 2 + X C21
R + (0,5 X C1 )
2
2
gdy R = 0
2
I2
=2
I1
23
Obwód R,L,C
R
U
UR
Wykres
wskazowy
XC
XL
UC
UL
I
UL
U
ϕ
UR
I
UC
24
Zależności:
U = U + (U L − U C )
2
R
Z = R + (X L − X C )
2
2
2
U
I=
Z
I=
U
R + (X L − X C )
2
2
25
Obliczyć napięcia w obwodzie R,L,C.
Dane: R=5 omów, XL= 7 omów, XC=10 omów, I=10A
U R = I ⋅ R = 10 ⋅ 5 = 50V
U L = I ⋅ X L = 10 ⋅ 7 = 70V
U
U C = I ⋅ X C = 10 ⋅ 10 = 100V
U = 502 + (70 − 100 ) = 2500 + 900 = 58,31V
2
26
Obwód o charakterze indukcyjnym (przewaga XL nad XC)
UC
UL
U
ϕ
UR
I
27
Obwód o charakterze pojemnościowym (przewaga XC nad XL)
UL
UC
UR
ϕ
I
U
28
„Trókąt oporności”
Z
X = X L − XC
ϕ
R
X
tgϕ =
R
R
ctgϕ =
X
R
cos ϕ =
Z
X L − XC
sin ϕ =
Z
29
Moc i „trójkąt mocy”
Z
S = I 2Z
X
ϕ
Q = I2X
ϕ
P = I 2R
R
P = I 2R
moc czynna w watach [W]
Q = I 2X
moc bierna w warach [Var]
S = I 2Z
moc pozorna wolt-amper [VA]
30
Podstawowa postać wzorów
P=UIcosϕ
Q=UIsinϕ
P-moc czynna
Q-moc bierna
S-moc pozorna
S =UI
cos ϕ =
R
10
=
= 0,55
Z 18,03
Przykład:
R=10 omów, X=15 omów, U=100V
Z = R + X = 100 + 225 = 18,03Ω
2
2
U
100
I= =
= 5,55 A
Z 18,03
31
Stan rezonansu w szeregowym
obwodzie R,L,C-rezonans napięć
32
Obwód w stanie rezonansu (zrównanie XC i XL)
Z = R 2 + (X L2 − X C2 )
X L = XC
UL
UC
Z=R
U =UR
I
ϕ =0
33
cos ϕ = 1
sin ϕ = 0
P = UI cos ϕ = UI
Q = UI sin ϕ = 0
S = UI = P
34
Tematy egzaminacyjne-kolokwialne
•Definicja i jednostka natężenia prądu
•Prawo Ohma
•Prawa Kirchhoffa
•Co to jest punkt węzłowy obwodu elektrycznego
•Narysować prosty schemat obwodu elektrycznego
•Różnica pojęciowa: napięcie, spadek napięcia, siła elektromotoryczna
•Podać skutki występowania dużego spadku napięcia w linii
•Co to jest prąd zwarcia
•Narysować wykres zależności napięcia U na odbiorniku od prądu w obwodzie i
uzasadnić jego przebieg
•Narysować wykres funkcji parabolicznej, hiperbolicznej, sinusoidalnej
•Podać zależność rezystancji drutu od jego wymiarów i materiału,
•Jak zmienia się rezystancja metalu (drutu metalowego) wraz ze zmianą
temperatury,
35
•Od czego zależy pojemność kondensatora płaskiego; szkic kondensatora i
wzór na pojemność,
•Od czego zależy indukcyjność cewki, wzór i komentarz,
•Opisać krótko sens wielkości: przenikalność dielektryczna, przenikalność
magnetyczna (jednostki tych wielkości)
•Moc odbiornika prądu stałego: wzory na moc w zależności od napięcia U i
prądu I, napięcia U i rezystancji R, prądu I i rezystancji R.
•Jak zmienia się moc dostarczana do odbiornika przy dwukrotnym wzroście
napięcia,
•Jak zmienia się moc dostarczana do odbiornika przy dwukrotnym wzroście
jego rezystancji,
•Co to jest gęstość prądu; definicja, jednostka.
•We wzorze P=I2R zastąpić wielkość I przez gęstość j i przekrój przewodu S i
sformułować wnioski wynikającego z otrzymanego wzoru.
•Dlaczego nie można nadmiernie zmniejszać przekroju przewodów linii
elektrycznej,
36
•Dlaczego stosowany jest prąd sinusoidalny,
•Prąd sinusoidalny: wykres, równanie, zależność między prądem i ładunkiem
elektrycznym,
•Pulsacja: fizyczna interpretacja pulsacji, pulsacja ω a okres T, pulsacja a
częstotliwość,
•Okres T, okres w jednostkach czasu, w stopniach, w radianach,
•Sinusoida prądu w skali czasu, stopni i radianów, narysować dwie sinusoidy
prądu o różnych częstotliwościach, miejsca występowania maksimów, miejsca
zerowe sinusoidy,
•Faza początkowa, narysować sinusoidę prądu z fazą początkową 450, -900,
π/2,
•Przesunięcie fazowe prądów sinusoidalnych, narysować u(t) oraz i(t)
przesunięte w fazie o 450 (prąd wyprzedza napięcie), o 900 (napięcie
wyprzedza prąd),
•Pojęcie wartości skutecznej prądu, kryterium porównania prądu
sinusoidalnego i prądu stałego (wartości skutecznej), wyprowadzenie wzoru na
wartość skuteczną prądu sinusoidalnego,.
37
•Narysować wykres wskazowy i wykres w skali ωt:
dwóch wielkości sinusoidalnych zgodnych w fazie,
dwóch wielkości przesuniętych w fazie o 300, 450, 900 i 1800,
•Wyprowadzić wzór (analogia prawa Ohma) dla:
rezystancji,
reaktancji pojemnościowej,
reaktancji indukcyjnej,
•Napisać wzór na:
a)reaktancję indukcyjną,
b)reaktancję pojemnościową,
•Jakie jest przesunięcie fazowe pomiędzy napięciem i prądem:
a)w rezystancji, b) w indukcyjności, c) w pojemności
•Jak będzie się zmieniała reaktancja indukcyjna, pojemnościowa, przy wzroście
częstotliwości, narysować odpowiednie wykresy XL(ω), XC(ω).
•Podać jednostki reaktancji indukcyjnej i pojemnościowej oraz indukcyjności i
pojemności.
38
•Wyznaczyć częstotliwość, przy której reaktancja pojemnościowa (XC) i indukcyjna
(X-L) są równe (skorzystać z wzorów na XL(ω) i XC(ω).
•Wykres w skali kątowej i(ωt) i u(ωt) oraz odpowiedni wykres wskazowy dla prądu i
napięcia zgodnego w fazie,
•Wykres w skali kątowej i(ωt) i u(ωt) oraz odpowiedni wykres wskazowy dla prądu i
napięcia przesuniętych w fazie o kąt 450, 900,
•Wykres w skali kątowej prądu i napięcia oraz odpowiednie wykresy wskazowe dla
ϕ=300, 600, -300,
•Wyprowadzić zależności pomiędzy prądem i napięciem (wartości skuteczne) dla
następujących elementów:
rezystancji,
indukcyjności,
pojemności.
•Narysować wykresy i(ωt) oraz u(ωt) oraz odpowiednie wykresy wskazowe dla
elementów R, L, oraz C,
•Co to jest charakterystyka częstotliwościowa,
•Zależność reaktancji indukcyjnej od częstotliwości; wzór, wykres,
39
•Zależność reaktancji pojemnościowej od częstotliwości; wzór, wykres,
•Zależność rezystancji od częstotliwości; wzór, wykres,
•Wyprowadzić wzór na pulsację i częstotliwość rezonansową, wykres,
•Połączenie szeregowe elementów R,L; schemat, wyprowadzenie wzoru na I
w zależności od U oraz Z,
•Połączenie szeregowe elementów R,L; schemat, wykres wskazowy wraz z
uzasadnieniem,
•Połączenie szeregowe elementów R,L; impedancja w połączeniu
szeregowym R,L.
•Połączenie szeregowe elementów R,L; trójkąt napięć i konstrukcja trójkąta
oporów, funkcje kąta ϕ,
•Połączenie szeregowe elementów R,C; schemat, wyprowadzenie wzoru na I
w zależności od U oraz Z,
•Połączenie szeregowe elementów R,C; schemat, wykres wskazowy wraz z
uzasadnieniem,
•Połączenie szeregowe elementów R,C; impedancja w połączeniu
szeregowym R,C.
•Połączenie szeregowe elementów R,C; trójkąt napięć i konstrukcja trójkąta
oporów, funkcje kąta ϕ,
•Narysować oraz uzasadnić wykres wskazowy dla szeregowego układu R, L,
40
C
•Wyprowadzić wzór na impedancję szeregowego układu R, L, C,
•Narysować trójkąt napięć i trójkąt oporów dla szeregowego układu R, L, C oraz
podać wzory na funkcję cosϕ i sinϕ w zależności od napięć oraz rezystancji i
impedancji,
•Narysować wykresy wskazowe dla szeregowego układu R, L, C o charakterze:
indukcyjnym, pojemnościowym i w stanie rezonansu.
•Moc w obwodach prądu sinusoidalnego (wzory, nazwy, jednostki), trójkąt mocy
•Obliczyć natężenie prądu w obwodzie zawierającym rezystancję 20 omów
połączoną szeregowo z reaktancją indukcyjną o wartości 5 omów.
Napięcie przyłożone do obwodu U=100 V
•Pokazać za pomocą wzorów jak zmienia się impedancja i prąd w obwodzie z
pojemnością przy wzroście częstotliwości od f1 do f2=2.f1,
•Obliczyć napięcia w obwodzie R,L,C.
Dane: R=5 omów, XL= 7 omów, XC=15 omów,
•Obliczyć częstotliwość rezonansową dla obwodu zawierającego L=100mH oraz
C=1µF
41
Uwagi:
•Należy podać znaczenie każdej wielkości fizycznej występującej w danym
temacie (wzorze) oraz jej jednostkę podstawową,
•Odpowiedź na każde pytanie może być ograniczona wyłącznie do ścisłego
wykonania polecenia lub też, co jest wskazane, może być rozszerzona o
własną interpretację,
•Na pracy należy podać następujące dane:
Imię i nazwisko
Nr indeksu
Kierunek studiów
Semestr
42