Zadanie: Wykaż, że jeśli 0 x oraz xy = 1, to x − y 2 √ 2

Zadanie:
Wykaż, że jeśli 0 < y < x oraz xy = 1, to
√
x2 + y 2
­ 2 2.
x−y
Rozwiązanie:
Ponieważ 0 < y < x, to wyrażenie x − y jest dodatnie, zatem mnożąc dowodzoną nierówność
obustronnie przez x − y dostajemy:
√
x2 + y 2 ­ 2 2(x − y),
a ona jest równoważna nierówności:
√
x2 + y 2 − 2 2(x − y) ­ 0.
Skorzystamy teraz z założenia xy = 1. Ze wzoru skróconego mnożenie otrzymujemy:
x2 + y 2 = (x − y)2 + 2xy.
Wtedy, ponieważ xy = 1, mamy:
x2 + y 2 = (x − y)2 + 2xy = (x − y)2 + 2,
a wstawiając powyższe do dowodzonej nierówności otrzymujemy:
√
(x − y)2 + 2 − 2 2(x − y) ­ 0.
Przepisując wyrazy w innej kolejności:
√
(x − y)2 − 2 2(x − y) + 2 ­ 0
√ 2
√
(x − y)2 − 2 2(x − y) + 2 ­ 0
Można teraz zauważyć, że w powyższej lini otrzymaliśmy wzór skróconego mnożenia:
(x − y) −
√ 2
2 ­ 0.
Wyrażenie w ostatniej linii jest prawdziwe, a ponieważ wszystkie przekształcenia były równoważne,
to dowodzona nierówność również jest przwdziwa.