Punkty i proste

Rozdział 2
Punkty, proste, płaszczyzny
Gdy tworzymy w Geogebrze punkt, to może on być albo swobodny lub
przymocowany do istniejącego obiektu. W pierwszym przypadku można utworzony punkt przemieszczać po całym obszarze układu współrzędnych – jego
położenia nic nie ogranicza. W drugim przypadku można taki punkt można
przemieszczać wyłącznie w obrębie obiektu, do którego jest przymocowany
w momencie tworzenia – po prostej, płaszczyźnie, wielokącie itp.
2.1
Swobodny punkt w przestrzeni
Gdy wpiszesz w polu wprowadzania (1,-1,2), to Geogebra utworzy punkt
o podanych współrzędnych i nada mu nazwę będącą kolejną wielką literą alfabetu. Punkt ten będzie widoczny zarówno w widoku algebry, jak w widoku
grafiki 3D. Jeżeli pominiesz trzecią współrzędną, punkt zostanie utworzony
na płaszczyźnie XOY i będzie widoczny zarówno w widoku grafiki, jak w
widoku grafiki 3D.
30
ROZDZIAŁ 2. PUNKTY, PROSTE, PŁASZCZYZNY
Wprowadzanie współrzędnych punktu z klawiatury (jak opisaliśmy powyżej) jest bardzo wygodnym sposobem definiowania punktu swobodnego.
Podane w polu wprowadzania współrzędne są wartościami początkowymi,
które oczywiście zmieniają się, gdy utworzony punkt przesuwamy potem przy
pomocy myszy.
2.1.1
Tworzenie punktu przy pomocy myszy
Wyznaczenie współrzędnych punktu w układzie XYZ na podstawie położenia kursora myszy na płaskim ekranie (nawet, gdy układ XYZ też jest
narysowany) jest praktycznie niemożliwe. Autorzy programu bardzo pomysłowo rozwiązali ten problem. Przyjęli mianowicie założenie, że nowy punkt
można utworzyć narzędziem
Nowy Punkt wyłącznie na płaszczyźnie XOY
układu XYZ. Raz utworzony punkt można później oczywiście przesuwać zarówno poziomo, jak pionowo. Prześledźmy cały proces.
1. Otwórz plik UkladXYZ.ggb, który zapisałeś na dysku po wykonaniu
operacji opisanych w podrozdziale 1.4 (str. 25).
Ω
Opcjonalnie otwórz nowe okno Geogebry i uaktywnij widok grafiki 3D.
2. Uaktywnij narzędzie
Nowy Punkt.
3. Umieść kursor myszy w widoku grafiki 3D gdziekolwiek poza szarym
równoległobokiem oznaczającym płaszczyznę XOY. Kliknij lewym przyciskiem myszy i zauważ, że nie daje to żadnego efektu.
4. Umieść teraz kursor myszy w szarym obszarze odpowiadającym płaszczyźnie XOY i zauważ, że obok kursora pojawił się mały płaski krzyżyk
. Symbol ten informuje nas, że użycie lewego przycisku myszy
utworzy nowy punkt w miejscu płaszczyzny XY wskazywanym przez
kursor. Uwaga: gdy kursor myszy znajduje się na którejś z osi układu,
omawiany krzyżyk zmienia się w małą kulkę, sygnalizując, że program
utworzy w tym miejscu punkt przymocowany do osi (zajmiemy się tym
przypadkiem później).
5. Umieścić kursor myszy w którymkolwiek punkcie płaszczyzny XOY (ale
poza osiami) i kliknij lewym przyciskiem. Program utworzy we wskazanym miejscu punkt i nada mu nazwę A. Zauważ, że natychmiast
2.1. SWOBODNY PUNKT W PRZESTRZENI
31
po utworzeniu punktu pojawi się obok kursora myszy para pionowych
strzałek. Gdy naciśniesz i przytrzymasz lewy przycisk myszy, to możesz tworzony punkt przesunąć teraz równolegle do osi OZ. Zwolnienie
lewego przycisku myszy kończy całą operację.
2.1.2
Przesuwanie punktu przy pomocy myszy
1. Pracując w tym samym oknie, w którym utworzyłeś punkt, uaktywnij
narzędzie
Przesuń.
2. Wskaż kursorem myszy utworzony przed chwilą punkt A i wykonaj
kilka kliknięć lewym przyciskiem. Zauważ, że wokół punktu pojawiają
się na przemian dwie pionowe lub cztery poziome strzałki:
Dwie strzałki pionowe informują, że punkt jest w trybie przesuwania
pionowego. Gdy w tym trybie przyciśniesz i przytrzymasz lewy przycisk
myszy, a następnie zaczniesz nią poruszać, punkt będzie się przemieszczał równolegle do osi OZ.
Cztery strzałki poziome informują, że punkt jest w trybie przesuwania poziomego. Gdy w tym trybie przyciśniesz i przytrzymasz lewy
przycisk myszy, a następnie zaczniesz nią poruszać, punkt będzie się
przemieszczał równolegle do płaszczyzny XOY.
3. Poeksperymentuj z przesuwaniem punktu wzdłuż osi OZ i równolegle
do płaszczyzny XY.
2.1.3
Przesuwanie punktu przy pomocy klawiatury
1. Pracując w tym samym oknie, w którym utworzyłeś punkt A, uaktywnij
narzędzie
Przesuń.
2. Zaznacz punkt A klikając w jego nazwę A w oknie algebry.
32
ROZDZIAŁ 2. PUNKTY, PROSTE, PŁASZCZYZNY
3. Odłóż mysz i użyj kilka razy klawiszy strzałek w prawo i w lewo (←
oraz →). Zauważ, że punkt A przesuwa się równolegle do osi OX.
4. Użyj kilka razy klawiszy strzałek w górę i w dół (↑ oraz ↓). Zauważ, że
punkt A przesuwa się równolegle do osi OY.
5. Użyj kilka razy klawiszy Page Up oraz Page Down. Zauważ, że punkt
A przesuwa się równolegle do osi OZ.
2.2
Kontekst 2D i kontekst 3D
Jeżeli utworzysz punkt w widoku grafiki 2D, to punkt ten będzie widoczny
również w oknie grafiki 3D (na płaszczyźnie XY). W oknie algebry będzie on
jednak reprezentowany dwójką współrzędnych (x, y).
Jeżeli utworzysz punkt na płaszczyźnie XOY, ale w widoku grafiki 3D,
wówczas będzie on również widoczny w widoku grafiki 2D, ponieważ Geogebra pozwala tworzyć punkty swobodne tylko na płaszczyźnie XOY (patrz
podrozdział 2.1.1). Jednak w oknie algebry punkt będzie od razu opisany
trójką postaci (x, y, 0).
Jeżeli utworzysz punkt (x, y) w widoku grafiki 2D, a następnie klikniesz
w jego reprezentację w widoku grafiki 3D (uaktywniwszy wcześniej narzędzie
Przesuń), to reprezentacja punktu w widoku algebry przyjmie postać
(x, y, 0) i taka już pozostanie, nawet jeśli nie przesuniesz punktu równolegle
do osi OZ.
Trzy opisane powyżej sytuacje ilustrują pojęcie kontekstu. W dokumentacji poleceń Geogebry w Internecie można czasem zetknąć się z terminami „kontekst 2D” i „kontekst 3D”, używanymi w celu określenia, czy dany
obiekt, operacja lub warunek rozpatrywane są w dwuwymiarowym układzie
współrzędnych XOY, czy też w trójwymiarowym układzie współrzędnych
XYZ. Gdy wpisujesz w linii wprowadzania A = (1,2), to Geogebra umieszcza taki punkt w kontekście 2D. Gdy wpisujesz A = (1,2,0), wówczas punkt
A umieszczany jest w kontekście 3D (mimo, że z punktu widzenia położenia
w układzie XYZ jest to nadal ten sam punkt).
Pojęcie konktekstu nie ma wyłącznie znaczenia teoretycznego. Na przykład gdy w polu wprowadzania wpisujemy x + y = 1, to Geogebra musi
wiedzieć, czy chcemy narysować prostą na płaszczyźnie XOY, czy pionową
2.3. PUNKT PRZYMOCOWANY DO OBIEKTU
33
płaszczyznę w układzie XYZ. Zwróciliśmy uwagę na tę niejednoznaczność,
gdy omawialiśmy pojęcie aktywnego widoku na str. 20. Więcej na temat
interpretacji równania liniowego dwóch zmiennych x, y powiemy w podrozdziale 2.4.2 na str. 40.
2.3
Punkt przymocowany do obiektu
W podrozdziale 2.1.1 zauważyliśmy, że nowy punkt w widoku grafiki 3D
możemy utworzyć myszą wprawdzie tylko na płaszczyźnie XOY, jednak można potem taki punkt przemieszczać w obrębie całego układu współrzędnych.
Teraz zajmiemy się przypadkiem, gdy nowy punkt jest przymocowany do
obiektu, na którym został utworzony i tylko w obrębie tego obiektu może
być przemieszczany.
2.3.1
Punkt na osi układu współrzędnych
1. Otwórz plik UkladXYZ.ggb, który zapisałeś na dysku po wykonaniu
operacji opisanych w podrozdziale 1.4 (str. 25).
Ω
Opcjonalnie otwórz nowe okno Geogebry i uaktywnij widok grafiki 3D.
2. Uaktywnij narzędzie
Nowy Punkt. Umieść kursor myszy gdziekolwiek na osi OX i zauważ, że przy kursorze zamiast płaskiego krzyżyka
pojawia się niewielka kulka
.
3. Kliknij w którymkolwiek miejscu na osi OX. Program utworzy na osi
OX punkt i nada mu nazwę A.
4. W ten sam sposób utwórz punkty B i C odpowiednio na osiach OY i
OZ.
5. Uaktywnij narzędzie
Przesuń. Następnie spróbuj przesuwać myszą
punkty A, B i C. Zauważ, że każdy punkt przemieszcza się wyłącznie po
osi, na której został utworzony.
6. Zapisz wynik swojej pracy w pliku PunktyNaOsiach.ggb.
34
ROZDZIAŁ 2. PUNKTY, PROSTE, PŁASZCZYZNY
2.3.2
Punkt na płaszczyźnie
1. Otwórz plik „PunktyNaOsiach.ggb”, który utworzyłeś w podrozdziale
2.3.1.
Ω
Opcjonalnie otwórz nowe okno Geogebry, uaktywnij widok grafiki 3D, a następnie
utwórz trzy nowe punkty na osiach odpowiednio OX, OY i OZ.
2. Uaktywnij narzędzie
Płaszczyzna. Kliknij lewym przyciskiem kolejno w punkty A, B i C, utworzone w poprzedniej konstukcji. Program
utworzy płaszczyznę przechodzącą przez powyższe trzy punkty i nada
jej nazwę a.
3. Uaktywnij narzędzie
Nowy Punkt. Następnie przesuń kursor myszy
nad obszar utworzonej przed chwilą płaszczyzny a. Zauważ, że obok
kursora pojawia się krzyżyk pochylony zgodnie z nachyleniem płaszczyzny.
4. Kliknij lewym przyciskiem myszy w dowolnym miejscu obszaru płaszczyzny a. Program utworzy na płaszczyźnie a nowy punkt i nada mu
nazwę D.
5. Uaktywnij narzędzie
Przesuń. Następnie zacznij przesuwać myszą
punkt D i zauważ, że pozostaje on stale na płaszczyźnie utworzonej w
punkcie 2 powyżej.
2.3. PUNKT PRZYMOCOWANY DO OBIEKTU
35
6. Zapisz wynik swojej pracy w pliku PunktNaPlaszczyznie.ggb.
2.3.3
Punkt na wielokącie
1. Otwórz plik PunktNaPlaszczyznie.ggb, który utworzyłeś w podrozdziale 2.3.2.
Ω
Opcjonalnie wykonaj polecenia z podrozdziału 2.3.2.
2. Usuń płaszczyznę a utworzoną w poprzednim ćwiczeniu. Wraz z płaszczyzną zniknie również utworzony wcześniej na niej punkt D.
3. Uaktywnij narzędzie
(Wielokąt) Następnie kliknij lewym przyciskiem kolejno w punkty A, B, C i ponownie w A. Program utworzy
czworokąt i nada mu nazwę wielokąt1.
Ω
Opcjonalnie wpisz w polu wprowadzania Wielokąt[A,B,C].
4. Uaktywnij narzędzie
Nowy Punkt. Następnie przesuń kursor myszy
nad obszar utworzonego przed chwilą wielokąta wielokąt1. Zauważ, że
obok kursora pojawia się krzyżyk pochylony zgodnie z nachyleniem tego
wielokąta. Zauważ też, że gdy kursor myszy znajduje się jednocześnie
na którejś z osi, program zmienia symbol przy kursorze z krzyżyka na
kulkę (sygnalizując, że kliknięcie w tym momencie utworzyłoby punkt
na osi, a nie na wielokącie).
5. Kliknij lewym przyciskiem myszy. Zostanie utworzony punkt D, leżący
na wielokącie wielokąt1.
36
ROZDZIAŁ 2. PUNKTY, PROSTE, PŁASZCZYZNY
6. Uaktywnij narzędzie
Przesuń. Następnie przesuwaj myszą punkt D.
Zauważ, że punkt ten przesuwa się wyłącznie po utworzonym wielokącie.
7. Zapisz wynik swojej pracy w pliku PunktNaWielokacie.ggb.
Następny podrozdział ilustruje tworzenie punktu na krzywej określonej
parametrycznie. Więcej o rysowaniu takich krzywych powiemy w rozdziale 5.
2.3.4
Punkt na krzywej
1. Otwórz plik UkladXYZ.ggb, który zapisałeś na dysku po wykonaniu
operacji opisanych w podrozdziale 1.4 (str. 25).
Ω
Opcjonalnie otwórz nowe okno Geogebry i uaktywnij widok grafiki 3D.
2. W polu wprowadzania wpisz:
Krzywa[2 cos(4 t), 2 sin(4 t), t/2, t, 0, 2 pi]
W widoku grafiki 3D pojawi się krzywa przypominająca sprężynę. Program nada jej nazwę a. Jeżeli chcesz, nadaj krzywej inny kolor i grubość
niż domyślne.
3. Uaktywnij narzędzie
Nowy Punkt. Kliknij gdziekolwiek na krzywej
a, pamiętając o tym, aby wcześniej obok kursora pojawił się symbol
kulki
. Program utworzy nowy punkt i nada mu nazwę A. Gdy
zaczniesz przesuwać punkt A myszą, zauważysz, że pozostaje on na
krzywej.
2.4. PROSTA
37
4. Zapisz wynik swojej pracy w pliku PunktNaKrzywej.ggb.
Uwaga: w opisywanej w tej książce wersji 5.0.119.0 programu nie istnieje możliwość zdefiniowania punktu przymocowanego do powierzchni
określonej parametrycznie.
!
2.4
Prosta
Dostępne w Geogebrze narzędzia i polecenia pozwalają tworzyć proste
określone rozmaitymi warunkami, a w szczególności:
• prostą wyznaczoną przez dwa punkty; służy do tego narzędzie
Prosta przez dwa punkty oraz polecenie Prosta[<Punkt>, <Punkt>];
• prostą wyznaczoną przez punkt na niej leżący i obiekt do niej równoległy: inną prostą, odcinek lub wektor; służy do tego narzędzie
Prosta równoległa oraz polecenia:
Prosta[ <Punkt>, <Prosta Równoległa> ]
Prosta[ <Punkt>, <Odcinek> ]
Prosta[ <Punkt>, <Wektor Kierunkowy> ]
• prostą wyznaczoną przez punkt na niej leżący i obiekt do niej prostopadły: inną prostą, odcinek, wektor lub płaszczyznę; służy do tego
narzędzie
Prosta prostopadła oraz polecenia:
Prostopadła[ <Punkt>, <Prosta> ]
38
ROZDZIAŁ 2. PUNKTY, PROSTE, PŁASZCZYZNY
Prostopadła[ <Punkt>, <Odcinek> ]
Prostopadła[ <Punkt>, <Wektor> ]
Prostopadła[ <Punkt>, <Płaszczyzna> ]
Ponadto istnieją narzędzia i polecenia, pozwalające utworzyć dwusieczną kąta
płaskiego, symetralną odcinka, proste styczne do danej krzywej stożkowej,
półprostą o danym wierzchołku przechodzącą przez dany punkt, półprostą o
danym wierzchołku i danym wektorze kierunkowym itp.
Ćwiczenie 2.1 (różne sposoby określania prostych). Wykonaj poniższe polecenia.
1. Wpisz kolejno w polu wprowadzania:
A = (1,1,2)
B = (-1,-2,0)
C = (0,0,1)
k = Prosta[A,B]
Otrzymasz prostą k wyznaczoną przez punkty A, B.
2. Wpisz w polu wprowadzania m = Prosta[C,k]. Otrzymasz prostą m
przechodzącą przez punkt C i równoległą do k.
3. Wpisz w polu wprowadzania l = Prostopadła[C,k]. Otrzymasz prostą l przechodzącą przez C i prostopadłą do k.
♣
2.4.1
Prosta w widoku algebry
Gdy tworzymy w Geogebrze prostą, to jej reprezentacja w widoku algebry
może być dwojaka – albo w postaci równania liniowego zmiennych x i y,
albo równania wektorowego postaci X = (x0 , y0 , z0 ) + Λ(a, b, c). Ilustruje to
poniższe ćwiczenie.
Ćwiczenie 2.2 (prosta w widoku algebry). Wykonaj poniższe polecenia.
1. Otwórz plik UkladXYZ.ggb, który zapisałeś na dysku po wykonaniu
operacji opisanych w podrozdziale 1.4 (str. 25).
2.4. PROSTA
Ω
39
Opcjonalnie otwórz nowe okno Geogebry i uaktywnij widok grafiki 3D.
2. Utwórz w widoku grafiki (nie grafiki 3D, lecz klasycznej grafiki) punkty
A = (1, 1) i B = (2, −1).
3. W polu wprowadzania wpisz Prosta[A,B].
4. Przekonaj się, że utworzona prosta jest opisana w widoku algebry równaniem 2x + y = 3.
5. Usuń utworzoną przed chwilą prostą, a następnie wpisz w polu wprowadzania B = (2,-1,0). Matematycznie rzecz biorąc, definiujesz ten sam
punkt B, co wcześniej – dodanie trzeciej współrzędnej 0 nie zmienia jego położenia. Tym razem jednak punkt B jest utworzony w kontekście
3D, a nie – jak wcześniej – w kontekście 2D (o kontekstach mówiliśmy
na str. 32).
6. W polu wprowadzania wpisz Prosta[A,B] i od razu popatrz na widok
algebry. Tym razem prosta jest opisana równaniem:
X = (1, 1, 0) + Λ(1, −2, 0)
Trójka (1, 1, 0) to współrzędne punktu A (tym razem opisanego w kon−→
tekście 3D). Trójka (1, −2, 0) to współrzędne wektora AB, przyjętego
przez Geogebrę za wektor kierunkowy prostej.
♣
Zaobserwowane powyżej zachowanie programu wiąże się z kontekstem, w
jakim Geogebra umieściła punkty A i B (porównaj podrozdział 2.2). Gdy definiujesz prostą przechodzącą przez dwa punkty umieszczone przez program
w kontekście 2D (nawet gdy samą prostą tworzysz narzędziem w widoku
grafiki 3D), wówczas progam umieszcza taką prostą w kontekście 2D i opisuje równaniem liniowym zmiennych x i y. Jednak gdy przynajmniej jeden z
punktów wyznaczających prostą jest utworzony w konktekście 3D (nawet gdy
leży na płaszczyźnie XOY), wówczas prosta jest umieszczana w konktekście
3D i opisana równaniem wektorowym
X = (x0 , y0 , z0 ) + Λ(a, b, c)
(2.1)
40
ROZDZIAŁ 2. PUNKTY, PROSTE, PŁASZCZYZNY
gdzie (x0 , y0 , z0 ) oznacza punkt na prostej, (a, b, c) – jej wektor kierunkowy,
zaś zmienna Λ jest parametrem.
Równanie (2.1) jest wektorową wersją układu równań parametrycznych
prostej w przestrzeni (por. przykład 5.3 na str. 61). Lewą stronę równania
(2.1) interpretujemy jako wektor wodzący X = (x, y, z) punktu na prostej.
Ω
Kontekst, w którym Geogebra widzi punkt, można łatwo zidentyfikować w widoku algebry.
Gdy Geogebra widzi punkt w kontekście 2D, to w widoku algebry taki punkt opisany jest
parą liczb. Gdy punkt jest widziany w kontekście 3D, wtedy jest opisany trzema współrzędnymi. Ta sama uwaga stosuje się do prostych: w kontekście 2D prosta ma w widoku algebry
równanie postaci Ax + B = C, w kontekście 3D – równanie postaci (2.1).
2.4.2
Jedno równanie, dwa obiekty
Równanie liniowe Ax + By = C przedstawia w układzie XOY prostą,
a w układzie XYZ pionową płaszczyznę. Gdy wpiszemy takie równanie w
polu wprowadzania, Geogebra rozpoznaje odpowiedni kontekst na podstawie
aktywnego widoku.
Wykonaj poniższe operacje.
1. Otwórz plik UkladXYZ.ggb, który zapisałeś na dysku po wykonaniu
operacji opisanych w podrozdziale 1.4 (str. 25).
Ω
Opcjonalnie otwórz nowe okno Geogebry i uaktywnij widok grafiki 3D.
2. Uaktywnij widok grafiki i wpisz w polu wprowadzania x + y = 0. Geogebra utworzy prostą o podanym równaniu i narysuje ją zarówno w
widoku grafiki, jak w widoku grafiki 3D.
3. Uaktywnij teraz widok grafiki 3D i ponownie wpisz w polu wprowadzania x + y = 0. Zauważ, że tym razem program utworzył pionową
płaszczyznę o podanym równaniu, nie usuwając jednocześnie wcześniej
zdefiniowanej prostej.
4. Popatrz na oba obiekty w widoku algebry. Widać, że Geogebra interpretuje równanie postaci x + y = 0 jako równanie prostej lub równanie
płaszczyzny zależnie od kontekstu, w którym odpowiedni obiekt został
utworzony.
2.4. PROSTA
2.4.3
41
Prosta prostopadła w dwóch kontekstach
Z matematycznego punktu widzenia pojęcie kontekstu odpowiada konwencji, czy pracujemy z punktami, prostymi i figurami płaskimi na płaszczyźnie, czy w przestrzeni (mówiąc kolokwialnie: czy uprawiamy planimetrię,
czy też stereometrię). Czasami jest to bez znaczenia, ale czasami jest istotne.
Porównaj następujące dwa fakty.
Fakt 1. Dla dowolnego punktu P i dowolnej prostej k na płaszczyźnie istnieje dokładnie jedna prosta m na tej płaszczyźnie zawierająca P i
prostopadła do k.
Fakt 2. Dla dowolnego punktu P i dowolnej prostej k w przestrzeni prawdziwe są następujące implikacje:
(i) jeżeli P ∈
/ k, to istnieje dokładnie jedna prosta w przestrzeni zawierająca P i prostopadła do k;
(ii) jeżeli P ∈ k, to istnieje nieskończenie wiele prostych w przestrzeni
zawierających P i prostopadłych do k.
42
ROZDZIAŁ 2. PUNKTY, PROSTE, PŁASZCZYZNY
Wiąże się z tym zachowanie narzędzia
Prosta prostopadła oraz polecenia
Prostopadła. Geogebra zawsze wyznaczy prostą przechodzącą przez punkt
P i prostopadłą do prostej k, jeżeli wszystko odbywa się w konktekście 2D
(również w przypadku gdy P ∈ k). W kontekście 3D zachowanie programu
zależy od tego, czy punkt P leży na danej prostej, czy nie. Jeżeli P ∈
/ k (por.
Fakt 2 (i) powyżej), to prosta prostopadła zostanie wyznaczona. Jeżeli P ∈ k
(Fakt 2 (ii) powyżej), to zostanie utworzony obiekt niezdefiniowany.
Cała powyższa dyskusja może się wydawać czysto teoretyczna, jednak
uświadomienie sobie, jak zachowuje się Geogebra w tego typu sytuacjach,
zaoszczędzi nam niespodzianek w przyszłości, gdy będziemy tworzyć proste
jako obiekty pomocnicze w różnych konstrukcjach. Na razie zrób eksperyment
opisany w poniższym ćwiczeniu.
Ćwiczenie 2.3 (prosta prostopadła do prostej na płaszczyźnie i w przestrzeni). Wykonaj kolejno następujące operacje. Szczególnie starannie stosuj się
do wskazówek, kiedy pracować w widoku grafiki, a kiedy w widoku grafiki
3D.
1. Otwórz plik UkladXYZ.ggb, który zapisałeś na dysku po wykonaniu
operacji opisanych w podrozdziale 1.4 (str. 25)
Ω
Opcjonalnie otwórz nowe okno Geogebry i uaktywnij widok grafiki 3D.
2. W widoku grafiki utwórz punkty A = (−1, −1), B = (1, −3) oraz
P = (0, −2) (taki dobór współrzędnych pozwoli wygodnie obsewować
wszystko zarówno w widoku grafiki, jak w widoku grafiki 3D).
3. Uaktywnij narzędzie
Prosta przez dwa punkty. Pracując w widoku
grafiki, utwórz prostą przechodzącą przez A i B. Program nada jej
nazwę a. Sprawdź, że punkt P leży na utworzonej prostej.
4. Uaktywnij narzędzie
Proste prostopadłe. W widoku grafiki kliknij
kolejno w punkt P i w prostą a. Program utworzy prostą prostopadłą
do a przechodzącą przez P i nada jej nazwę b.
Zauważ, że wszystkie utworzone do tej pory obiekty widoczne są również w widoku grafiki 3D, jednak są umieszczone w kontekście 2D. Zauważ w szczególności, że nasze proste mają w widoku algebry równania
dwóch zmiennych x, y (a nie równania wektorowe).
2.4. PROSTA
43
5. Rozwiń menu podręczne prostej b i usuń ją.
6. Ponownie uaktywnij narzędzie
Proste prostopadłe. Kliknij kolejno
w punkt P i w prostą a, ale tym razem w widoku grafiki 3D. Zauważ,
że program utworzy w oknie algebry obiekt b, ale będzie to obiekt
niezdefiniowany.
Próbując utworzyć prostą prostopadłą w widoku grafiki 3D, „powiedziałeś” Geogebrze, że tworzysz prostą prostopadłą w przestrzeni, a
nie na płaszczyźnie. Z uwagi na fakt ii (str. 41) prosta prostopadła do
a przechodząca przez P nie jest określona jednoznacznie.
7. Uaktywnij narzędzie
Przesuń. W widoku grafiki przesuń punkt P
myszą do położenia (−1, 0) i zaobserwuj, co się stało.
Po pierwsze, prosta b przestała być obiektem niezdefiniowanym. Mówiąc kolokwialnie, „zadziałał” fakt i (str. 41).
Po drugie, prosta b ma w widoku algebry równanie wektorowe postaci
(2.1), ponieważ była ona wcześniej tworzona w kontekście 3D (mimo,
że wynikiem przeprowadzonej operacji był obiekt niezdefiniowany).
8. Upewnij się, że narzędzie
Przesuń jest aktywne. W widoku grafiki
3D kliknij w punkt B, wprowadzając go w tryb przesuwania pionowego,
jednak nie zmieniaj jego położenia. Znowu popatrz na widok algebry
i zauważ, że zarówno punkt B, jak wyjściowa prosta a zostały przeniesione do kontekstu 3D: punkt B „otrzymał” trzecią współrzędną, a
równanie prostej a przyjęło postać wektorową.
9. Uaktywnij narzędzie
Przecięcie obiektów. W widoku grafiki 3D
kliknij w prostą a, a następnie w prostą b, aby utworzyć ich punkt
przecięcia. Następnie poeksperymentuj z położeniami punktów B i P
(zarówno równolegle do osi OZ, jak równolegle do płaszczyzny XOY) i
zauważ, że obie proste pozostają prostopadłe.
♣
Przedmiotem kolejnego ćwiczenia będzie ilustracja Faktu 2 (ii). Skonstruujemy mianowicie pęk n prostych prostopadłych do prostej k i przechodzących przez punkt P ∈ k. Wszystkie te proste leżą w płaszczyźnie prostopadłej
do k.
44
ROZDZIAŁ 2. PUNKTY, PROSTE, PŁASZCZYZNY
Oto założenia modelu. Za prostą k przyjmiemy oś OX, a punkt P umieścimy w poczatku układu współrzędnych. Dzięki takiemu podejściu łatwiej
będzie konstruować następne obiekty. Ponadto pęk będzie wówczas zawarty w płaszczyźnie YOZ, co uczyni ilustrację bardziej „przestrzenną”. Każdą
prostą pęku zdefiniujemy jako prostą P Pj , gdzie punkty Pj (j = 1, . . . n) są
jednostajnie rozmieszczone na górnej połówce okręgu o środku w P i leżącym w płaszczyźnie YOZ. Dzięki takiemu zabiegowi kierunki prostych będą
również jednostajnie rozłożone. W celu uatrakcyjnienia wizualnego efektu
dodamy też płaszczyznę, w której leżą wszystkie proste.
Ćwiczenie 2.4 (ilustracja pęku prostych prostopadłych do danej prostej).
Wykonaj kolejno poniższe operacje.
1. Otwórz plik UkladXYZ.ggb, który zapisałeś na dysku po wykonaniu
operacji opisanych w podrozdziale 1.4 (str. 25)
Ω
Opcjonalnie otwórz nowe okno Geogebry i uaktywnij widok grafiki 3D.
2. W widoku grafiki 3D wyświetl wycinek – da to lepszy efekt końcowy.
3. W polu wprowadzania wpisz n = 20 i utwórz suwak dla tak określonej
zmiennej liczbowej. We właściwościach suwaka ustaw minimum na 2,
maksimum na 40, krok na 1.
4. Utwórz punkt P = (0, 0, 0).
5. W polu wprowadzania wpisz Prosta[P, OśX] (uwaga: starannie wpisz
identyfikator osi OX). Program utworzy prostą pokrywajacą się z osią
OX (a więc zawierającą też punkt P ) i nada jej nazwę a. Efekt wizualny
będzie taki, jakby oś OX zmienila kolor na czarny.
Ω
Opcjonalnie uaktywnij narzędzie
punkt P i dowolny punkt osi OX.
Prosta równoległa. Następnie kliknij kolejno
6. We właściwościach punktu P i prostej k ustaw kolor na czerwony. Wielkość punktu P ustaw na 3 – w ten sposób będzie on lepiej widoczny.
7. W polu wprowadzania wpisz kolejno:
(a) Pj = Ciąg[(0, cos(j pi / n), sin(j pi / n)), j, 1, n]
Program utworzy ciąg punktów rozmieszczonych jednostajnie na
okregu y 2 + z 2 = 1 na płaszczyźnie YOZ.
2.4. PROSTA
45
(b) MojPek = Ciąg[Prosta[P, Element[Pj, j] ], j, 1, n]
Program utworzy pęk prostych wyznaczony przez P i punkty Pj
utworzone poleceniem 7a powyżej.
8. W widoku grafiki 3D ukryj osie układu i płaszczyznę XOY. Pracując w
widoku algebry ukryj ciąg punktów P j – łatwo go odnaleźć w kategorii
„lista”.
9. Upewnij się, że widok grafiki 3D jest aktywny i wpisz w polu wprowadzania x = 0. Program utworzy płaszczyznę pokrywająca się z płaszczyzną YOZ i nada jej nazwę b.
10. We właściwościach płaszczyzny b ustaw kolor na 1/8 szary.
♣
Jeżeli chcesz uzupełnić ilustrację o przypadek prostej prostopadłej do
utworzonej prostej a i przechodzącej przez punkt nieleżący na a, to wpisz w
polu wprowadzania:
A = (2,3,1)
Prostopadła[A, a]
Program utworzy prostą prostopadłą do prostej a przechodzącą przez
punkt A i nada jej nazwę c.
Wpisz w polu wprowadzania Przecięcie[c, a]. Program utworzy punkt
precięcia prostych a i c.
Możesz teraz poeksperymentować z liczbą n wyświetlanych prostych i
położeniem punktu A.