Temat: Liczby – definicje, oznaczenia, własności

Transkrypt

Temat:
Liczby – definicje, oznaczenia,
własności
Anna Rajfura, Matematyka – semestr 1, WSZiM w Sochaczewie
1
Kody kolorów:
pojęcie
zwraca uwagę
2
System liczbowy
System liczbowy to sposób zapisywania
i nazywania liczb.
Symbole słuŜące do zapisywania liczb
to cyfry.
3
System liczbowy
Współcześnie powszechnie uŜywany jest
system dziesiątkowy.
4
Dziesiątkowy system liczbowy
W systemie dziesiątkowym dziesięć
jednostek niŜszego rzędu tworzy jedną
jednostkę następnego, wyŜszego rzędu
(rzędy: jedności, dziesiątek, setek,
tysięcy, dziesiątek tysięcy, itd.).
5
Liczby zapisuje się przy uŜyciu
dziesięciu cyfr:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
6
Jest to system pozycyjny - wartość
liczby zaleŜy od pozycji, na której
zapisano cyfrę.
2 9
p o zy c j a
p o zy c j a
d zi e s i ą t e k j e d n o ś c i
9 2
p o zy c j a
p o zy c j a
d zi e s i ą t e k j e d n o ś c i
7
Wartości kolejnych pozycji moŜna
wyrazić jako potęgi liczby 10.
...
10
5
10
4
10
3
10
2
10
1
10
0
8
Inne systemy liczbowe
Dwójkowy (pozycyjny, cyfry: 0, 1)
Szesnastkowy (pozycyjny, cyfry: 0, 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F)
Rzymski (addytywny, cyfry: I, V, X, L,
C, D, M)
9
Dygresja
RozróŜnia się systemy liczbowe pozycyjne i addytywne.
W pozycyjnych systemach liczbowych liczba jest przedstawiana
jako ciąg cyfr, a wartość poszczególnych znaków cyfrowych
zaleŜy od ich połoŜenia (pozycji) względem sąsiednich znaków
cyfrowych; natomiast w addytywnych systemach liczbowych
wartość przedstawionej liczby jest sumą wartości jej znaków
cyfrowych. Pozycyjnymi systemami liczbowymi są m. in.:
dziesiątkowy, dwójkowy, a addytywnymi: hieroglificzny, rzymski,
alfabetyczny.
10
Liczby naturalne
Liczby naturalne to liczby:
0, 1, 2, ..., 12, ..., 101, ..., 1345, ...
11
Oś liczbowa
Oś liczbowa to prosta z zaznaczonym
zwrotem, punktem początkowym
i jednostką.
0
1
12
Oś liczbowa
KaŜdemu punktowi na osi liczbowej
odpowiada liczba.
A
0
1
2
13
Przykład
Jeśli punkt A leŜy w odległości 2
jednostek na prawo od zera, to
odpowiada mu liczba 2; mówimy, Ŝe
punkt A ma współrzędną równą 2, co
zapisujemy A=(2).
14
Przykład cd.
A
0
1
2
A=(2)
15
Uwaga
Liczby nazywa się punktami na osi
liczbowej, mówimy np. liczba 2 lub
punkt 2.
16
Interpretacja graficzna
Liczby naturalne moŜna przedstawić na
osi liczbowej:
0
1 2 3 4 5 ...
17
Liczby całkowite
Liczba przeciwna do a, to –a.
Na osi liczbowej liczby przeciwne a, –a
leŜą w tej samej odległości od zera, ale
po jego przeciwnych stronach.
18
Liczby całkowite
Liczby całkowite to liczby naturalne,
a takŜe liczby przeciwne do
naturalnych:
..., – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, ....
19
Uwaga
KaŜda liczba naturalna jest liczbą
całkowitą.
20
Interpretacja graficzna
Liczby całkowite moŜna przedstawić na
osi liczbowej:
... -3 -2 -1 0 1 2 3 ...
21
Pojęcia
... -3 -2 -1 0 1 2 3 ...
a<0
liczba ujemna
a>0
liczba dodatnia
22
Pojęcia cd.
... -3 -2 -1 0 1 2 3 ...
a ≤0
liczba niedodatnia
a ≥0
liczba nieujemna
23
Pojęcia cd.
Liczba 0 nie jest dodatnia i nie jest
ujemna (mówimy, Ŝe 0 nie ma znaku).
24
Liczby wymierne
Liczby wymierne to liczby, które moŜna
przedstawić w postaci ilorazu (ułamka)
liczb całkowitych p, q, gdzie q ≠ 0:
p
p:q =
q
licznik
kreska ułamkowa
mianownik
25
Przykłady
3 6
3= =
1 2
0
0=
1
−3
−3=
1
352
3,52 =
100
26
Uwaga 1.
Jeśli n jest dowolną liczbą naturalną,
to
n
n=
1
zatem kaŜda liczba naturalna jest
liczbą wymierną.
27
Uwaga 2.
Jeśli c jest dowolną liczbą całkowitą, to
c
c=
1
zatem kaŜda liczba całkowita jest
liczbą wymierną.
28
Rozwinięcie dziesiętne
Aby otrzymać rozwinięcie dziesiętne
(postać dziesiętną) liczby wymiernej
p
q
naleŜy wykonać dzielenie
p : q
29
Przykłady
1
= 0,5
2
3
= 0,75
4
1
= 0,33 ... = 0, (3)
3
10
= 1, ( 428571 )
7
Powtarzającą się cyfrę lub grupę cyfr
w rozwinięciu dziesiętnym nazywamy
okresem.
30
Uwaga 1.
Rozwinięcie dziesiętne kaŜdej liczby
wymiernej jest skończone lub
nieskończone okresowe.
31
Uwaga 2.
Liczba przedstawiona w postaci
rozwinięcia dziesiętnego skończonego
lub nieskończonego okresowego jest
wymierna.
32
Przykłady
3
0,1(36 ) =
22
4
0,0(8) =
45
33
Interpretacja geometryczna
Liczby wymierne na osi liczbowej:
....
34
Pytanie
Czy po zaznaczeniu wszystkich liczb
wymiernych na osi liczbowej zostaną
jakieś niezaznaczone punkty?
Tak!
35
Liczby niewymierne
Liczba niewymierna to taka liczba,
której nie moŜna przedstawić w postaci
ilorazu liczb całkowitych p, q, gdzie
q ≠ 0.
36
Przykłady liczb niewymiernych
2
π
3
e
37
Liczba niewymierna
Liczba niewymierna
2
2
przedstawia
długość przekątnej d kwadratu o boku
a = 1.
d
a
a
38
Liczba niewymierna
d
2
Z tw. Pitagorasa:
a=1
d=
1 +1 = 2
2
2
a=1
2 ≈ 1,41 42...
39
Uwaga
Niech n oznacza liczbę naturalną.
Liczba postaci
n
jest niewymierna, jeśli liczba n nie jest
kwadratem innej liczby naturalnej.
40
Uwaga cd.
Zatem liczby:
2,
3,
5,
6,
7,
8,
itd.
są niewymierne.
41
Uwaga cd.
Natomiast liczby:
0 = 0,
4 = 2,
9 = 3,
16 = 4,
itd.
sa wymierne.
42
Liczba niewymierna π
Liczba π przedstawia stosunek długości
okręgu do jego średnicy.
s
l
π=
s
l – długość okręgu
s – długość średnicy
π ≈ 3,14K
43
PrzybliŜenia liczby π
π ≈ 3,14K
π ≈ 3,141 592 653 589 793 238 462 643K
44
Mnemotechnika liczby π
D a w n o , d a wn o t e m u , w c z a s a c h g d y n i e z n a n o
jeszcze komputerów osobistych, zapamiętanie
wielu cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby π
u ł a t wi a ł y wi e r s z y k i , w k t ó r y c h l i c z b y l i t e r
w k o l e j n y c h s ł o w a c h o d p o wi a d a ł y c y f r o m
rozwinięcia dzięsiętnego.
45
Mnemotechnika liczby π
W i e r s z K a z i m i e r z a C w o j d zi ń s k i e g o :
K u ć i o r a ć w d zi e ń z a w z i ę c i e ,
3 1 4 1
5
9
bo plonów nie-ma bez trudu,
2
6
5
3
5
Złocisty szczęścia okręcie kołyszesz...
8
9
7
9
Kuć. My nie czekajmy cudu, robota to potęga ludu.
3
2
3
8
4
6
2
6
4
46
PrzybliŜenia liczby π
Kiedy
Kto
P r zy b l i Ŝ e n i e π
ok. 2000
Babilończycy
lat p.n.e.
3
2
ok. 2000
lat p.n.e.
Egipcjanie
III w.
p.n.e.
Archimedes,
Grecja
 16 
  ≈ 3,160...
9
22
≈
7
3,1428...
47
PrzybliŜenia liczby π cd.
Kiedy
Kto
P r zy b l i Ŝ e n i e π
XII w.
Bhaskara,
Indie
754
≈ 3,14166...
240
355
dokładność do 6.
113
XVI w.
V w.
Metius,
Holandia
Cu-Czungczy, Chiny
miejsca po przecinku
48
PrzybliŜenia liczby π cd.
PrzybliŜenie liczby π moŜna obliczyć ze
wzoru Leibniza:
∞
∑ (− 1)
n =1
n −1
1
1 1 1 1 1
π
⋅
= 1− + − + − +K =
2n − 1
3 5 7 9 11
4
49
Liczba niewymierna e
e ≈ 2,718 281 828 459K
50
Liczba niewymierna e
1

e = lim 1 + 
n→∞
n

def
n
51
Liczba e w matematyce
•
∞
∑
n=0
Suma szeregu:
1
1 1 1
1
1
=
+ +
+
+
+K = e
n!
1 1 1⋅ 2 1⋅ 2 ⋅ 3 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4
52
Liczba e w matematyce cd.
•
Podstawa funkcji wykładniczej:
f(x) = e
x
x
Obliczanie wartości e :
∞
e =∑
x
n =0
n
x
n!
53
Liczba e w matematyce cd.
•
Podstawa logarytmu naturalnego:
ozn
loge x = ln x
54
Uwaga 1.
JeŜeli a jest liczbą niewymierną, to
liczby a+1, a+2, a+3, itd. teŜ są
liczbami niewymiernymi. Ogólniej:
suma liczby wymiernej i niewymiernej
jest niewymierna.
55
Uwaga 1. cd.
Zatem liczbami niewymiernymi są np.:
1 + 2 , 2 + e, 3 + π, itd .
1
2
+ 3,
1
3
+ e,
1
4
+ π, itd .
56
Uwaga 2.
JeŜeli a jest liczbą niewymierną, to
liczby
1
2
a,
1
3
a,
1
4
a,
itd. teŜ są
liczbami niewymiernymi. Ogólniej:
iloczyn liczby niewymiernej
i wymiernej róŜnej od 0 jest
niewymierny.
57
Uwaga 2. cd.
Zatem liczbami niewymiernymi są np.:
1
2
7,
2
3
e,
7
4
π, itd .
58
Uwaga 3.
Rozwinięcie dziesiętne kaŜdej liczby
niewymiernej jest nieskończone
i nieokresowe.
59
Uwaga 4.
Liczba przedstawiona w postaci
rozwinięcia dziesiętnego
nieskończonego i nieokresowego jest
niewymierna.
60
Przykłady
a = 2,3 1 33 11 333 111 3333 1111 ....
b = 4, 7 8 77 8 777 8 7777 8 77777 ...
Cyfry rozwinięć dziesiętnych występują
według takiej reguły, Ŝe nie moŜna
wskazać miejsca, od którego powtarza
się ta sama grupa cyfr.
61
Liczby rzeczywiste
Liczby wymierne i niewymierne
wypełniają całą oś liczbową. Wszystkie
liczby reprezentowane przez punkty na
osi liczbowej to liczby rzeczywiste.
62
Podsumowanie
LICZBY RZECZYWISTE
LICZBY
WYMIERNE
p
l. w. ma postać
,
q
gdzie p, q – liczby
całkowite, q ≠ 0
LICZBY
NIEWYMIERNE
p
l. nw. nie ma postaci
,
q
gdzie p, q – liczby
całkowite, q ≠ 0
63
Porównywanie liczb
Do porównywania liczb rzeczywistych
przydatna jest postać rozwinięcia
dziesiętnego (reprezentacji dziesiętnej).
64
Na zakończenie ...
Uwaga o liczbach zespolonych
w odniesieniu do rozwiązań równania
2
x + 1 = 0
65

Temat: Liczby – definicje, oznaczenia, własności

Transkrypt

Podobne dokumenty

Powiatowy Urząd Pracy w Sochaczewie

Regulamin rekrutacji on-line na studia w Wyższej Szkole

Metody uczenia się i studiowania KiSB 1 15 1 KiSB 15 1 KiSB 15 1

PROGRAM PODYPLOMOWE STUDIA ORGANIZACJI POMOCY

Zarządzenieotwiera się w nowym oknie

Wzór strony tytułowej pracy zaliczeniowej „Tytuł pracy”

Baza Kolei Mazowieckich w Sochaczewie – inwestycja za ćwierć

2.Uchwała nadanie nazwy dla ronda_Braci

Zaświadczenie od pracodawcy - Moduł II

formularz aplikacyjny