Lista 9

Matematyka
Rachunek całkowy
1. Oblicz podane całki nieoznaczone:
a)
d)
g)
j)
5x2 − 6x + 3 −
R
x
dx,
(x2 +4)6
R
R√
2
x
+
5
x4
3x + 1dx,
ex
dx,
2ex +1
R
R
R
5x sin (3x2 − 8) dx,
R
i)
(ln x)2
dx,
x
cos x · esin x dx,
l)
R
R
x cos xdx,
n)
ex sin xdx,
x3 (ln x)2 dx,
q)
R
h)
p)
s)
v)
y)
arctan x
dx,
1+x2
f)
R
R
m)
3
2x
dx,
x2 +5
R
c)
3x
√
dx,
3
2x4 −7
e)
k)
x2 ex dx,
R√
o)
x ln xdx,
R
x
dx,
r) sinxln
2
R x−3
u) x2 −6x+5
dx,
R 3 2 +8x−2
x) 6x −7x
dx,
2x−3x2
ł)
√
√
x 3 x+ 4 x
dx,
2
x
R
b)
dx,
R
R
R
R
2
xex (x2 + 1) dx,
3x−4
x2 −x−6
R
R
t)
w)
dx,
4
dx,
x2 +2x+8
z)
1
dx,
2 cos2 (3x)
arctan xdx,
R
(ln x)2
√
dx,
x
R
x2
dx.
x2 +2x+5
R
x2 −5x+9
dx,
x2 +5x+6
2. Obliczyć podane całki oznaczone:
a)
d)
−2
R
1
dx,
x2 +2x+1
−3
π/4
R
0
b)
R2
e)
R4
1
sin 2x
dx,
cos3 x
0
x2 +1
√
dx,
3 3
x +3x+1
1√
dx,
1+ x
i)
0
0
f)
Re
1
h) x2 cos xdx,
g) x arctan xdx,
π/2
R
0
Rπ
R1
c)
R1
√ cos x dx,
1+sin x
ln x
dx,
x
xe2x dx.
−1
3. Obliczyć wartość średnią funkcji na podanym przedziale:
a) f (x) = x2 ,
c) f (x) = ln x,
e) f (x) = sin3 x,
I = [0, 2],
b) f (x) = sin x,
d) f (x) = ex ,
I = [1, e],
I = [0, π],
f) f (x) =
x
,
1+x2
I = [0, π],
I = [−2, 2],
I = [0, 2].
4. Obliczyć pole obszaru ograniczonego parabolą y = x2 i prostą 2x − y + 3 = 0.
1
5. Obliczyć pole wspólnego obszaru ograniczonego parabolami y = x2 , y =
prostą y = 3x.
6. Obliczyć długość łuku krzywej y = ln sin x w przedziale
1
3
1 2
x
2
i
π, 12 π .
7. Obliczyć objętość i pole powierzchni bryły utworzonej przez obrót dookoła osi Ox
krzywej 3y − x2 = 0, 0 ≤ x ≤ 1, wraz z rzędną końcową w punkcie x = 1.
8. Obliczyć podane całki niewłaściwe:
√
R2/3 x
R1 1
√
dx,
dx,
b)
a) √
3x
4−9x4
d)
0
+∞
R
−∞
1
dx,
1+x2
e)
0
+∞
R
4
1
dx,
(x−3)2
c)
f)
π/2
R
0
+∞
R
1
tan xdx,
1 x1
e dx.
x2
9. Wyznaczyć ekstrema lokalne oraz punkty przegięcia wykresu funkcji określonej
wzorem
f (x) =
Zx
0
t2 − 3t + 2 dt.
2