Dywergencja

Dywergencja pola wektorowego
Pole wektorowe jest zbiorem wektorów przyporządkowanych punktom przestrzeni. Może nim
być np. zbiór wektorów prędkości przepływu cieczy lub gazu.
Przepływ może mieć charakter laminarny lub wirowy:
z
y
x
Podobnie pole elektrostatyczne i pole magnetyczne różnią się układem i kształtem linii sił:
Q
I
Pewne cechy fizyczne pól wektorowych opisujemy używając wielkości specjalnie do tego
celu przeznaczonych. Jedną z takich podstawowych charakterystyk jest dywergencja pola.
Jest to wielkość skalarna definiowana w sposób następujący. Pewną powierzchnię zamkniętą
dzielimy na tak małe fragmenty, aby każdy z nich można było uważać za płaski. Każdemu
fragmentowi powierzchni przyporządkowujemy wektor pola E oraz wektor powierzchni
skierowanej ∆S [patrz: uzupełnienia na końcu tekstu]. Następnie sumujemy wartości
strumienia pola przez wszystkie fragmenty powierzchni zamkniętej S:
Φ ≈ ∑ Ei ⋅ ∆S i
Ei
i
Jest to przybliżona wartość strumienia.
W celu obliczenia dokładnej wartości
całkowitego strumienia należy dzielić
powierzchnię zamkniętą na coraz większą
liczbę fragmentów (n) i zastosować przejście
graniczne do całkowania:
 n

Φ = lim  ∑ Ei ⋅ ∆Si  = ∫ E ⋅ dS
n →∞
 i =1
 S
∆Si
(1)
Dywergencja pola E jest wielkością zdefiniowaną następująco:
Φ
divE = lim  
V→0 V
 
(2)
gdzie V jest objętością zawartą wewnątrz powierzchni S. Przejście graniczne V→0 oznacza,
że dywergencja jest wielkością charakteryzującą punkt pola, do którego zbiega się
powierzchnia S gdy zawarta wewnątrz niej objętość V zmierza do zera.
Obliczanie dywergencji wprost z powyższej definicji byłoby rachunkowo bardzo kłopotliwe.
Można jednak zastąpić takie obliczenia znacznie prostszymi po przekształceniu tej definicji w
wyrażenie o innej postaci matematycznej. W tym celu zastosujmy tę definicję do obszaru pola
ograniczonego powierzchnią prostopadłościanu (rys. poniżej). Przyjmujemy przy tym taką
jego orientację, by jego ściany były prostopadłe do osi kartezjańskiego układu
współrzędnych. Krawędzie prostopadłościanu niech mają długości ∆x, ∆y, ∆z. Strumień pola
przez powierzchnię prostopadłościanu można zapisać jako sumę sześciu składników:
6
Φ ≈ ∑ Ei ⋅ ∆Si = E1 ⋅ n1 ⋅ ∆x∆z + E2 ⋅ n 2 ⋅ ∆x∆z + ...
(3)
i =1
z
E
E2
E1
n1
∆z
n2
(x, y+½∆y, z)
(x, y-½∆y, z)
∆y
∆x
y
x
Zajmijmy się wyrażeniem przedstawiającym tę część strumienia, która przypada na ściany
prostopadłe do osi y układu współrzędnych. Wektory normalne n1 i n2 są tu równoległe do
wersora j i mają następujące składowe:
n1 = − j = [ 0, −1,0]
n 2 = j = [ 0,1,0]
Biorąc to pod uwagę, przekształćmy rozważaną część strumienia:
E1 ⋅ n1 ⋅ ∆x∆z + E2 ⋅ n 2 ⋅ ∆x∆z =
= − E1Y ⋅ ∆x∆z + E2Y ⋅ ∆x∆z = [ E2Y − E1Y ] ∆x∆z =
(4)
=  EY ( x, y + ∆y / 2, z ) − EY ( x, y − ∆y / 2, z )  ⋅ ∆x∆z
Wyrażenie w nawiasie kwadratowym stanowiące różnicę składowej EY na prawej i lewej
ścianach prostopadłościanu można zapisać podobnie jak różniczkę:
EY ( x, y + ∆y / 2, z ) − EY ( x, y − ∆y / 2, z ) =
∂EY
⋅ ∆y
∂y
(5)
otrzymując ostatecznie:
E1 ⋅ n1 ⋅ ∆x∆z + E2 ⋅ n 2 ⋅ ∆x∆z =
∂EY
⋅ ∆x∆y∆z
∂y
(6)
W analogiczny sposób, rozpatrując strumienie pola przez ściany prostopadłościanu przednią i
tylną oraz górną i dolną otrzymamy wyrażenia:
∂E X
⋅ ∆x∆y∆z
∂x
∂EZ
⋅ ∆x∆y∆z
∂z
A zatem w definicji dywergencji (wzór 2) po prawej stronie mamy:
∂E X
∂E
∂E
⋅ ∆x∆y∆z + Y ⋅ ∆x∆y∆z + Z ⋅ ∆x∆y∆z
Φ
∂x
∂y
∂z
=
V
∆x ∆y ∆z
(7)
i wyrażenie przedstawiające dywergencję pola wektorowego E przyjmuje ostatecznie postać:
divE =
∂E X ∂EY ∂EZ
+
+
∂x
∂y
∂z
(8)
Tak więc, aby wyznaczyć dywergencję pola w określonym punkcie przestrzeni (x,y,z),
zamiast używać definicji (2) można zsumować pochodne składowych wektora E w układzie
kartezjańskim względem odpowiadających im współrzędnych.
UZUPEŁNIENIA
Definicja 1
Wektor powierzchni skierowanej: ∆S = n · ∆S
n – wektor jednostkowy normalny do powierzchni płaskiej o polu ∆S
∆S
n
α
∆S
Definicja 2
Strumień pola E przez powierzchnię ∆S:
E
∆Φ = E·∆
∆S (kropka oznacza iloczyn skalarny).
∆Φ = E ⋅ ∆S = E ⋅ ∆S ⋅ cos α