Efekt Dopplera

Efekt Dopplera
Strona 1
Tematem dzisiejszych zajęć jest efekt Dopplera. Pojęcie to nie jest zapewne obce ; budzi jakieś wspomnienia z okresu szkoły średniej ; być może
zostało zasłyszane podczas oglądania jakichś programów popularno-naukowych. Dlatego warto sobie na początek przypomnieć zarówno opis
samego efektu, jak i dane biograficzne badacza, od którego ów efekt przyjął swoją nazwę :
http://en.wikipedia.org/wiki/Christian_Andreas_Doppler
Efekt ten, polegający na zmianie częstotliwości odbieranej fali akustycznej, emitowanej przez ruchome źródło, interpretowany jest zazwyczaj jako
skutek 'zagęszczenia' lub 'rozrzedzenia' kolejnych powierzchni fazowych wskutek wzajemnego ruchu źródła fali i obserwatora. Tego typu
interpretacja zawarta jest również w rozmaitych symulacjach modelujących efekt Dopplera, jakie można znaleźć w Internecie ; oto kilka z takich
symulacji :
http://www.if.pw.edu.pl/~mrow/doppler/
http://faraday.physics.utoronto.ca/PVB/Harrison/Flash/ClassMechanics/Doppler/DopplerEffect.html
http://www.upscale.utoronto.ca/GeneralInterest/Harrison/Flash/ClassMechanics/DopplerWaveFronts/DopplerWaveFronts.html
Jednak w dalszej części wykładu posłużymy się inną interpretacją ; przybliżymy przebieg sinusoidalny przez ciąg impulsów - "trzasków" ( przy
okazji wykazując, że tego rodzaju przybliżenie jest dopuszczalne ) przeanalizujemy, jak się zmienia częstotliwość ( repetycji ) ciągu impulsów w
trakcie zmiany odległości pomiędzy źródłem emitującym impulsy akustyczne a punktem odbioru. Następnie ustalone relacje przeniesiemy na
zmiany okresu i częstotliwości przebiegu sinusoidalnego.
Na początek zastanówmy się, czy jest dopuszczalne zastąpienie ( w analizach ) pełnego okresu fali sinusoidalnej przez parę wąskich impulsów
( np. impulsów ciśnienia akustycznego - "trzasków" ) odległych od siebie o interwał równy okresowi przebiegu zmodulowanego. Możliwe są tu
dwa uzasadnienia takiego zastępstwa :
Aproksymacja sinusoidy gęstym ciągiem sąsiadujących ze sobą impulsów
Zazwyczaj obwiednia przebiegu sinusoidalnego jest funkcją "gładką" ( co oznacza, że jest nieskończenie razy różniczkowalna, tj. że można
bez końca obliczać pochodną z kolejnej pochodnej tej funkcji ) w matematycznym tego słowa znaczeniu. Wyobraźmy sobie jednak, że
faktycznie zamiast sinusoidy uwidocznionej na ekranie oscyloskopu ( na przykład ) jako gładka krzywa, mamy do czynienia z przebiegiem
pokazanym na rysunku poniższym :
Czy przebieg na powyższym rysunku różni się znacznie od "normalnego", gładkiego przebiegu sinusoidalnego ? Jeżeli sąsiadujące obok
siebie słupki ( "sztachety płotka" ) będą dostatecznie wąskie ( np. rzędu około 20 [ ms ] ), to wrażenie dźwiękowe wywołane przez taki
przebieg niczym nie będzie się różnić od wrażenia wywołanego przez "idealny", gładki przebieg sinusoidalny. Narząd słuchu po prostu
"wygładzi" ( przejścia pomiędzy sąsiednimi "słupkami" ). Spróbujmy sprawdzić empirycznie, czy jest dopuszczalne takie 'odcinkowe
"zakładkowanie" ' przebiegu sinusoidalnego :
Programowa symulacja "zakładkowania" sygnału sinusoidalnego
Poniżej zostaną zaprezentowane dwa programy ( jeden napisany dla pakietu Matlab , drugi dla pakietu Scilab ), które pewien podzbiór
próbek sygnału o zróżnicowanych wartościach zastępują tak samo licznym podzbiorem próbek, ale o wartościach wyrównanych i
równych średniej wartości wynikłej z uśredniania pierwszego ( wyjściowego ) pozdzbioru. Operację tę nazywamy "zakładkowaniem".
Oto pierwszy z tych programów napisany dla pakietu Matlab :
Skrypt o nazwie `Tuck.m`
Oto drugi z tych programów napisany dla pakietu Scilab :
Skrypt o nazwie `Tuck.sce`
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
file://localhost/d:/dydakta/akustyka/Zaoczni/Doppler/Doppler.htm
2012-05-29 15:09:26
Efekt Dopplera
Strona 2
Skrypt o nazwie `Tuck.sce`
Każdy z tych programów pyta o dwie nazwy proponowane dla wyjściowych plików we formacie WAV, a ponadto pyta o trzy parametry
liczbowe : o czas trwania przebiegu sinusoidalnego, o jego częstotliwość oraz o czas ( interwał ) uśredniania. Warto poeksperymentować
z różnymi wartościami owego czasu uśredniania, ale należy przy tym pamiętać, że ów czas uśredniania powinien być dużo krótszy o
okresu wygenerowanego sygnału. Oba programy generują oscylogramy, a ponadto odtwarzają na wyjściu słuchawkowym bądź
głośnikowym oba wygenerowane przebiegi, tj. zarówno przebieg "gładki", jak i przebieg "zakładkowany". Warto eksperymentalnie
znaleźć taką wartość czasu uśredniania, przy której oba przebiegi nie różnią się zarówno wizualnie ( tj. swoim wyglądem na
"oscyloskopie" ), jaki i nie różnią się brzmieniem. Przy tej wartości czasu uśredniania "gładką" sinusoidę można zastąpić ( niczym czymś
w rodzaju "płotu" ) rzędem słupków o szerokości równej czasowi uśredniania.
Próby przeprowadzone ewentualnie wg powyższych zaleceń wykażą, że przy odpowiednim doborze parametrów "gładką" sinusoidę można
zastąpić gęstym "płotem" ustawionym ze 'słupków' przyciętych do odpowiedniej wysokości. Fakt ten wykorzystano przy konstrukcji wielu
urządzeń współczesnej elektroakustyki i techniki przetwarzania sygnału. Chodzi tu o gotowe układy ( wykonywane jako układy scalone ), w
których w dosyć oryginalny sposób łączy się elementy techniki cyfrowej z elementami techniki analogowej. Można je nazwać układami "z
pamiętającą linią kondensatorów". W układach tych zachodzi również proces próbkowania, ale jest to próbkowanie analogowe. Próbka jest
zapamiętywana jako wartość przebiegu uśredniona w przeciągu bardzo krótkiego interwału czasu ( równego szerokości "słupka" ). Konkretna
próbka zapamiętywana jest przez jeden z wielu kondensatorów "linii pamiętającej". Przy odtwarzaniu sygnału kolejno odczytywane są
wartości z sąsiadujących ze sobą kondensatorów. We wyniku takiej rekonstrukcji uzyskuje się przebieg "łamany" ( 'słupkowy' ), podobny do
przebiegu na powyższym rysunku. Tego rodzaju sposób zapamiętywania i rekonstrukcji sygnału wykorzystuje się w układach do
zapamiętywania krótkich komunikatów słownych ( zastępujących tradycyjne urządzenia zapamiętujące ów komunikat na jakimś wirującym
nośniku ), jak i w analogowych liniach opóźniających ( również zastępujących urządzenia mechaniczne, np. tradycyjne "pogłosy
sprężynowe" ).
Przykładem układu pamiętającego krótkie komunikaty słowne może być układ ISD 1016 ; przykładem analogowej ( "kondensatorowej" ) linii
opóźniającej może być układ MN 3007 ( i pokrewne ). Jeżeli chodzi o analogową pamięć słowną, to bliższy opis zawiera poniższe
opracowanie :
Bliższe dane na temat układu ISD 1016
Analogowa linia opóźniająca MN 3007 chętnie wykorzystywana jest przez gitarzystów preparujących efekt "chorus" ; wspominają o tym
poniższe linki :
http://www.eres.alpha.pl/index.php?text=105
http://www.pisotones.com/Zombie/MBC/ZombieChorus.htm
Zatem niekiedy przy analizie efektów towarzyszących przesyłaniu fali sinusoidalnej wystarczy dokonać pewnego przybliżenia i skupić się na
przesyłaniu poszczególnych próbek, tj. poszczególnych "sztachetek płota". Takiego podejści dokonamy przy analizie efektu Dopplera i
będziemy analizować, co się dzieje z częstotliwością repetycji impulsów ( w ciągu impulsów ) przy przybliżaniu się źródła do obserwatora,
przy przybliżaniu się obserwatora do źródła oraz przy wzajemnym przybliżaniu się zarówno źródła, jak i obserwatora.
Zmiana okresu repetycji ciągu impulsów przy wzajemnym ruchu źródła i obserwatora
1. Przybliżanie się ( bądź oddalanie się ) źródła do obserwatora
Niech T oznacza odstęp ( interwał czasu ) pomiędzy impulsami nadawanymi ( w równych odstępach czasu ) ; natomiast T' oznacza odstęp
pomiędzy impulsami odebranymi. Niech odległość pomiędzy źródłem a odbiornikiem wynosi l 1 w momencie nadania pierwszego impulsu ( z
pary impulsów ) oraz wynosi l 2 w momencie nadania drugiego z pary impulsów. ; niech prędkość ruchu źrodła wynosi v
Wówczas zajdzie oczywista zależność :
T' = t 2 - t 1
gdzie t 1 jest opóźnieniem pierwszego impulsu - opóźnieniem na drodze l 1 łączącej źródło z punktem obserwacji ; natomiast t 2 jest opóźnieniem
drugiego impulsu z pary na drodze l 2 .
Można uściślić relacje wiążące te czasy opóźnień z przebytymi przez oba impulsy drogami :
t 1 = l 1/ c
t 2= T + l 2/ c
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
file://localhost/d:/dydakta/akustyka/Zaoczni/Doppler/Doppler.htm
2012-05-29 15:09:26
Efekt Dopplera
Strona 3
t 2= T + l 2/ c
W celu obliczenia T' odejmijmy stronami oba powyższe wyrażenia. Otrzymamy wówczas :
T' = T + ( l 2 - l 1 ) / c
Przekształcając dalej otrzymamy :
T' = T - ( l 1 - l 2 ) / c
Różnica dróg w nawiasie powyższego wyrażenia oznacza w istocię drogę przebytą przez poruszające się źródło ( przebytą w czasie T ).
Możemy zatem napisać :
T' = T - v * T / c = ( 1 - v / c ) * T
Aby przejść od okresów do częstotliwości należy wziąć odwrotności obu stron powyższej równości. Stąd otrzymamy :
f' = f / ( 1 - v / c )
2. Przybliżanie się ( bądź oddalanie się ) obserwatora do źródła
( Niech obserwator porusza się również z prędkością v ).
Snując te same rozważania, co poprzednio, ponownie dochodzimy do wzoru o postaci :
T' = T - ( l 1 - l 2 ) / c
Różnicę dróg w nawiasie traktujemy tym razem jako odcinek drogi przebyty przez obserwatora w czasie T' :
( l 1 - l 2 ) = v * T'
Zatem po podstawieniu otrzymamy :
T' = T - v * T' / c
Przenosimy wyrazy zawierające T' na lewą stronę równości :
T' ( 1 + v / c ) = T
Podzielmy obie strony przez wyrażenie w nawiasie, aby zostawić samą zmienną T' po lewej stronie :
T' = T / ( 1 + v / c )
Przechodząc od okresów do częstotliwości uzyskamy :
f' = f * ( 1 + v / c )
3. Jednoczesny, wzajemny ruch źródła i obserwatora
Zakładamy, że zarówno źródło, jak i obserwator jednocześnie przybliżają się do siebie, tzn. źródło przybliża się do obserwatora, a jednocześnie
obserwator przybliża się do źródła.
Ponownie dochodzimy do "wyjściowego" wzoru o postaci :
T' = T - ( l 1 - l 2 ) / c
W naszym przypadku :
l 1 - l 2 = v 1 * T - v 2 * T'
Parę słów należy w tym miejscu poświęcić obranej konwencji znakowej ; znak 'minus' wcale nie oznacza, że oba wektory prędkości mają
przeciwnie skierowane zwroty - oznacza, wręcz coś przeciwnego : że oba wektory skierowane są w tym samym kierunku.
Skąd zatem znak `minus` ?
Chodzi o oszacowanie wypadkowego efektu jednoczesnego ruchu ( w tym samym kierunku ! ) zarówno źródła, jak i obserwatora. Ten
"współkierunkowy" ruch wywołuje przeciwstawne efekty : ruch obserwatora ( który możemy nazwać "ucieczką" od źródła ) sprzyja wzrostowi l 1 l 2 ; natomiast ruch źródła ( który moglibyśmy nazwać "gonieniem" obserwatora ) sprzyja zmniejszeniu dystansu : l 1 - l 2
Zatem ze względu na przeciwstawnośc tendencji wywołanych bądź to jednym bądź to drugim ruchem pojawił się znak `minus`'.
Po podstawieniu otrzymamy :
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
file://localhost/d:/dydakta/akustyka/Zaoczni/Doppler/Doppler.htm
2012-05-29 15:09:26
Efekt Dopplera
Strona 4
Zatem ze względu na przeciwstawnośc tendencji wywołanych bądź to jednym bądź to drugim ruchem pojawił się znak `minus`'.
Po podstawieniu otrzymamy :
T' = T - ( v 1 * T - v 2 * T' ) /c
Po przegrupowaniu wyrazów "z tą samą zmienną czasową" otrzymamy :
T' * ( 1 - v 2 / c ) = T * ( 1 - v 1 / c )
Wyznaczamy z tego interwał - okres obserwatora :
T' = T * ( 1 - v 1 / c ) / ( 1 - v 2 / c )
Po odwróceniu obydwu stron otrzymamy :
f' = f * ( 1 - v 2 / c ) / ( 1 - v 1 / c )
4. Ruch źródła względem obserwatora po trajektorii ukośnej
W przypadku takiego ruchu ( np. w przypadku mijania przez pojazd "uprzywilejowany" w ruchu obserwatora stojącego na poboczu drogi )
bierzemy pod uwagę składową wektora prędkości skierowaną względem tego obserwatora. Zatem w dotychczasowych wzorach pojawia się
cosinus kąta pomiędzy prostą łącząca źródło z obserwatorem a odcinkiem trajektorii ruchu. Sytuacja przybliżania się do obserwatora pojazdu
'uprzywilejowanego ruchu' ( tj. z włączoną syreną ) może być wówczas opisana wzorem :
f' = f / [ 1 - ( v / c ) * cos ß ]
( gdzie ß jest właśnie owym wspomnianym kątem ).
Przy przybliżaniu się źródła kąt ten jest ostry, a jego cosinus przyjmuje wartości dodatnie. Obserwator odbiera wówczas falę akustyczną o
zwiększonej częstotliwości. Podczas mijania kąt ß staje się prosty, a funkcja cosinus tego kąta przyjmuje wartość zero. Nie obserwuje się
wówczas zmian częstotliwości fali odbieranej. Po minięciu obserwatora i przy oddalaniu się, kąt ów staje się rozwarty, a jego cosinus przyjmuje
wartości ujemne. Obserwator odbiera wówczas falę akustyczną o obniżonej częstotliwości. Promień falowy wyprowadzony pod kątem ß
nazwiemy kierunkiem obserwacji .
Sytuacja graniczna - prędkość ruchu źródła zbliża się do prędkości propagacji fali akustycznej
Warto w tym miejscu sięgnąć raz jeszcze do animacji efektu Dopplera ; proszę obserwować, co będzie, jeśli prędkość ruchu źródła v zbliży się
do prędkości c :
http://www.if.pw.edu.pl/~mrow/doppler/#2. Efekt Dopplera
http://zsem.edu.pl/~fizyka/modules/animacje/java.php?cat=j_drgania&id=7
W miarę wzrostu prędkości ruchu powierzchnie fazowe "zagęszczają się" w kierunku tego ruchu, tj. odległości pomiędzy nimi stają się oraz
mniejsze. W granicznym przypadku, tj. kiedy v = c , odległości te staną się równe zeru i wszystkie powierzchnie fazowe 'zleją się' w jeden,
wspólny "wał ciśnienia" ( zwany dawniej 'barierą dźwięku' ). Jeszcze ciekawsza sytuacja wytworzy się, kiedy prędkość v stanie się większa
( najlepiej kilkukrotnie ) od prędkości c . Dla obserwatora usytuowanego z boku trajektorii ruchu takiego źródła zaistnieje wówczas taka
szczególna wartość kąta obserwacji ß , dla której składowa prędkości ruchu źródła względem obserwatora będzie wynosiła dokładnie c . Ponieważ
sytuacja taka jest symetryczna, tj. obserwator mógłby być równie dobrze usytuowany z drugiej strony trajektorii ruchu źródła, to można zauważyć,
że wspomniana wcześniej 'bariera dźwięku' ulegnie wówczas "złamaniu" na dwie części nachylone do osi trajektorii ruchu pod kątem α . Prosta
analiza geometryczna wykaże wówczas, że suma obu rozpatrywanych dotychczas kątów będzie musiała być równa kątowi prostemu :
α + ß = 90 o
Wynika stąd, że ów sinus owego kąta wierzchołkowego α da się wyrazić wówczas prostym wzorem :
sin ( α ) = c / v
Spróbujmy to zagadnienie przeanalizować w sposób bardziej dokładny. Załóżmy, że możemy obserwować czoła fali emitowanej przez obiekt
pędzący z prędkością v > c przy pomocy techniki zwanej fotografią smugową lub fotografią Schlierena . Załóżmy, że łączymy tę technikę z
techniką fotografii stroboskopowej polegającą na cyklicznym wykonywaniu zdjęć tego samego obiektu w stałych interwałach czasu. Uzyskamy
wówczas zbiór okręgów obrazujących czoła kulistych fal akustycznych wyemitowanych przez pędzący obiekt w różnych punktach położonych na
trajektorii jego ruchu. Im dalej ten "punkt emisji" położony jest od punktu bieżącego ( aktualnego ) położenia pędzącego obiektu, tym promień
tego okręgu będzie większy. Im większa ta odległość, tym większy interwał czasu upłynął od momentu zrobienia tamtego zdjęcia do momentu, w
którym pędzący obiekt znalazł się w punkcie "bieżącym". Zatem przy upływie dłuższego interwału czasu wyemitowana wcześniej fala akustyczna
zdążyła przebyć dłuższą drogę i dlatego promień okręgu obrazującego "rozejście się" czoła fali będzie wówczas większy. Obrazuje to poniższy
rysunek :
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
file://localhost/d:/dydakta/akustyka/Zaoczni/Doppler/Doppler.htm
2012-05-29 15:09:26
Efekt Dopplera
Strona 5
Do tych wszystkich okręgów można poprowadzić dwie proste styczne ( do tych okręgów ) ; liczba tych stycznych do okręgów będzie równa 2,
ponieważ można je poprowadzić z obu stron trajektorii ruchu. Na zewnątrz tych stycznych będzie "obszar ciszy" , tj. obszar, w którym nie będzie
słychać przelotu naddźwiękowego ( przelot ten będzie słychać wewnątrz każdego z trójkątów wyznaczonego przez te styczne ). Jeżeli całe
zagadnienie będziemy rozpatrywać w przestrzeni trójwymiarowej, to wówczas obie styczne do okręgów należy obrócić w przestrzeni wokół osi
będącej trajektorią przelotu naddźwiękowego. Obracane styczne staną się pobocznicami pewnego stożka, zwanego stożkiem Macha . Połowa kąta
wierzchołkowego tego stożka będzie wówczas opisywana znanym wzorem :
α = arcsin ( c / v )
Przelot naddźwiękowy będzie niesłyszalny na zewnątrz owego stożka, natomiast samo minięcie nieruchomego obserwatora przez stożek Macha
będzie przez owego obserwatora spostrzeżone jako tzw. grom naddźwiękowy , czyli impuls ciśnienia poruszający się z prędkością większą od
prędkości dźwięku ( ponieważ porusza się z taką samą prędkością jak pędzący obiekt, który wygenerował stożek Macha ). Tego rodzaju impuls
ciśnienia ( lub para impulsów : "dodatniego" i "ujemnego" ) pędzący w przestrzeni z prędkością większą od prędkości propagacji fali akustycznej
nosi też często nazwę fali uderzeniowej .
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
file://localhost/d:/dydakta/akustyka/Zaoczni/Doppler/Doppler.htm
2012-05-29 15:09:26