potencjalna
Transkrypt
potencjalna
1 Model przemieszczeniowy S - brzeg ciała Model przemieszcz. Su - przemieszczeniowe warunki brzegowe Sσ- naprężeniowe warunki brzegowe V - objętość Zasady wariacyjne Jp - energia potencjalna Obliczamy energię potencjalną dla Jp – jednego pojedynczego elementu. elementu Jp - całkowita Energia potencjalna jest skalarem Energia ciała sumą energii elementów. 2 Zasady wariacyjne Podstawą budowy modeli MES są prawa mechaniki zwana zasadami wariacyjnymi: Model przemieszcz. Zasady wariacyjne 1) Twierdzenie o minimum energii potencjalnej, Jp - energia potencjalna 2) Twierdzenie o minimum energii dopełniającej, Jp – jednego elementu 3) Zasada Reissnera Hellingera Jp - całkowita 4) Inne… 3 Energia potencjalna w LTS Model przemieszcz. Zasady wariacyjne Energia potencjalna to różnica energii wewnętrznej (sprężystej) nagromadzonej w ciele i pracy obciążenia. Energia wewnętrzna Jp - energia potencjalna Praca obciążenia Jp – jednego elementu Jp - całkowita Ciało w równowadze, gdy energia osiąga MINIMUM!!! 4 Energia potencjalna w LTS Model przemieszcz. Funkcjonał energii potencjalnej: Zasady wariacyjne Możemy zapisać Jp - energia potencjalna i i podstawić do funkcjonału Jp – jednego elementu Jp - całkowita Zauważmy, że teraz energia jest zależna tylko od przemieszczeń! 5 Funkcjonał energii potencjalnej Jp Model przemieszcz. Zasady wariacyjne Jp - energia potencjalna Jp – jednego elementu Jp - całkowita Kiedy funkcjonał osiągnie minimum? Wtedy, gdy zeruje się pierwsza wariacja energii potencjalnej względem szukanego u. W MES poszukujemy rozwiązania, które spełnia ten warunek. 6 Pojedynczy element Model przemieszcz. Zasady wariacyjne Jp - energia potencjalna Jp – jednego elementu Jp - całkowita Będziemy aproksymować (przybliżać) przemieszczenia. Element połączony z innymi poprzez węzły. W każdym węźle określone parametry węzłowe! Przemieszczenia DOWOLNEGO punktu elementu możemy wyrazić za pomocą tych parametrów. Gdzie N( x, y) to macierz funkcji aproksymujących! 7 Pojedynczy element Model przemieszcz. Zasady wariacyjne Jp - energia potencjalna Możemy teraz wyrazić energię elementu skończonego za pomocą wektora skoro to Ale parametry węzłowe to nie funkcje! Mogą więc Jp – jednego znaleźć się poza całką! elementu Jp - całkowita 8 Macierz Sztywności Model przemieszcz. Zasady wariacyjne Jp - energia potencjalna Jp – jednego elementu Jp - całkowita Wyrażenie pod całką nazywamy Macierzą Sztywności elementu! Funkcjonał zapiszemy zatem: 9 Całkowita energia potencjalna Model przemieszcz. Skoro mamy energię potencjalną dla elementu, to możemy obliczyć CAŁKOWITĄ energię potencjalną. Zasady wariacyjne Ta całkowita energia zależy już od parametrów węzłowych q. Jp - energia potencjalna Pozostaje znalezienie odpowiedzi na pytanie: Jp – jednego elementu Dla jakich parametrów q energia osiąga minimum? Jp - całkowita 10 Całkowita energia potencjalna Model przemieszcz. Jest to już problem czysto algebraiczny – układ równań liniowych zależnych od parametrów q. Zasady wariacyjne Znając parametry q możemy obliczyć Jp - energia potencjalna przemieszczenia odkształcenia Jp – jednego elementu Jp - całkowita naprężenia W KAŻDYM PUNKCIE ELEMENTU! 11