Wstęp do teori ciał

WPROWADZENIE DO TEORII CIAŁ
Aleksandra Skorodzień
02.03.2008
1
Pojęcia podstawowe
Zbiór P z działaniami + (dodawanie) i ∗ (mnożenie) nazywamy pierścieniem jeśli spełnione są następujące
warunki:
1. Dla działania + ten zbiór tworzy grupę abelową.
2. Dla działania ∗ ten zbiór tworzy półgrupę.
3. Działania + i ∗ połączone są prawami rozdzielności:
(a + b) ∗ c = a ∗ c + b ∗ c,
a, b, c ∈ P
a ∗ (b + c) = a ∗ b + a ∗ c,
a, b, c ∈ P
Pierścień ma element 0 tj. element neutralny działania +. Dla każdego elementu x ∈ P istnieje element
przeciwny, który oznaczamy −x. Zatem w pierścieniu P można zdefiniować działanie odejmowania
a − b = a + (−b)
Pierścień P nazywamy pierścieniem z jedynką, jeśli istnieje w nim element neutralny mnożenia, oznaczamy
go 1. Pierścień P jest pierścieniem z jedynką wtw. gdy P dla mnożenia tworzy monoid.
Pierścień P nazywamy przemiennym jeśli działanie mnożenia w tym pierścieniu jest przemienne.
Definicja 1.1 Ciałem nazywamy pierścień z jedynką, w którym niezerowe elementy dla działania mnożenia
tworzą grupę.
Oznacza to, że dla dowolnego elementu a ∈ P\0 istnieje element b ∈ P \ 0 taki, że a ∗ b = b ∗ a = 1. Element b
nazywamy odwrotnym do elementy a i oznaczamy a−1 .
Zatem w ciele można zdefiniować działanie dzielenia przez element różny od zera a : b = a ∗ b−1 . Innymi słowy
ciało to zbiór P, w którym są zdefiniowane cztery działania arytmetyczne (+, −, ∗, :).
2
Przykłady ciał
1. Ciała liczbowe Q ⊂ R ⊂ C ⊂ H,
H - kwaterniony Hamiltona.
Kwaternion jest to wyrażenie a + bi + bj + dk, a, b, c, d ∈ R, ijk = −1
 2
 i = j 2 = k 2 = −1
ij = k
jk = i
ki = j

ji = −k
kj = −i ik = −j
Stwierdzenie 2.1 Zbiór H wszystkich kwaternionów nad ciałem liczb rzeczywistych tworzy ciało nieprzemienne.
H ⊂ O − oktawy Caleya
Oktawa Caleya jest to wyrażenie postaci a + be1 + be2 + ce3 + de4 + f e5 + ge6 + he7 , a, b, c, d, e, f, g, h ∈ R
e21 = e22 = e23 = e24 = e25 = e26 = e27 = −1
Twierdzenie 2.1 Oktawy tworzą algebrę z dzieleniem, w której mnożenie nie jest łączne.
1
Twierdzenie 2.2 (1878 G.Frobenius)
Każda łączna algebra z dzieleniem nad ciałem liczb rzeczywistych jest izomorficzna albo z ciałem liczb
rzeczywistych, albo z ciałem liczb zespolonych, albo z algebrą kwaternionów.
2.
√
√
3
3
Q( √2) = {a + b √2 : a, b√∈ Q}
Q(√ 2)√= {a + b √2 + c√ 4 : a, b, c ∈√Q} √
√
Q( 2, 3) = Q( 2 + 3) = {a + b 2 + c 3 + d 6 : a, b, c, d ∈ Q}
3
3. Ciała reszt modulo p (Zp )
W zbiorze Zp = {0, 1, ..., p − 1} określamy działania ⊕ i w następujący sposób
a ⊕ b = reszta z dzielenia a + b przez p
a b = reszta z dzielenia a· b przez p
Twierdzenie 2.3 Zbiór
jest liczbą pierwszą.
3
Zp
z działaniami ⊕ i tworzy pierścień. Pierścień
Zp
jest ciałem wtw. gdy p
Podciała
Definicja 3.1 Niepusty podzbiór F ciała K zawierający element niezerowy tego ciała nazywamy podciałem ciała
K, i oznaczamy F ⊂ K, jeśli F tworzy ciało dla działań +, −, ∗, :, zdefiniowanych w ciele K.
Ciało K nazywa się rozszerzeniem ciała F.
Stwierdzenie 3.1 Każde podciało zawiera element zerowy ciała
K i jedynkę ciała K
Przykład
Co prawda między zbiorami elementów tych ciał zachodzi inkluzja {0,1}⊂ {0, 1, 2}, jednak Z2
nie jest podciałem Z3 gdyż działania w tych ciałach są różne.
√
√
2. Q( 2), Q( 3 2) ⊂ R
√
√
3. Q( 2) * Q( 3)
√
√
√
√
√
√
Przypuśćmy nie wprost, że Q( 2) ⊂ Q( 3), wówczas byłoby 2 ∈ Q( 3),√zatem 2 = a + b 3 dla
pewnych liczb wymiernych a, b. Liczba b musi być różna
od zera, bo wtedy 2 = a ∈ Q, nie może też a
√
√
√
√
√
2
√
być równe zero, bo z równości 2 = b 3 wynikałoby, że 3 jest liczbą wymierną. Z równości 2 = a+b 3
√
√
wynika, iż 2 = a2 + 2ab 3 + 3b2 , stąd 2ab 3 = 2 − a2 − 2b2 . Sprzeczność, gdyż po prawej stronie mamy
liczbę wymierną a po lewej nie wymierną.
1.
Z2 * Z3 .
Twierdzenie 3.1 Część wspólna dowolnej niepustej rodziny podciał ciała
K jest podciałem ciała K.
Dowód Niech {Kt }t∈T będzie rozważaną rodziną podciał. Ponieważ
elementy 0 i T
1 nalezą do każdego podciała
T
ciała K, wiec także a − b, ab nalezą do Kt . Zatem a − b, ab ∈ K. Stąd wynika, że Kt jest podciałem.
4
Elementy algebraiczne
Definicja 4.1 Liczbę rzeczywistą (lub zespoloną) nazywamy liczbą algebraiczną, gdy istnieje niezerowy wielomian o współczynnikach wymiernych, którego ta liczba jest pierwiastkiem.
Jeśli dla danej liczby taki wielomian nie istnieje to liczbę nazywamy liczbą przestępną.
Przykład
1. Każda liczba wymierna jest algebraiczna
√ √
2. Liczby 2, 3 2 są algebraiczne, są to pierwiastki odpowiednio wielomianów x2 − 2, x3 − 2
√
√
3. Liczba a = 2 + 3 jest algebraiczna.
Aby to pokazać,
wystarczy znaleźć niezerowy wielomian f ∈ Q[X], taki, że f (a) = 0. Zauważmy, że
√
a2 = 5 + 2 6. Stąd (a2 − 5)2 = 24, czyli a4 − 10a2 + 1 = 0. Wobec tego przyjmujemy f (x) = x4 − 10x2 + 1.
4. Liczby e i π są przestępne.
2
Definicja 4.2 Niech F będzie ciałem K będzie jego rozszerzeniem. Element a ∈ K nazywamy algebraicznym
względem F, gdy istnieje niezerowy wielomian o współczynnikach z ciała F, którego pierwiastkiem jest element
a.
Jeśli natomiast wielomian taki nie istnieje, to element nazywamy przestępnym względem ciała F
Uwaga Wielomian, √
którego pierwiastkiem jest dany element algebraiczny, nie jest wyznaczony jednoznacznie.
Na przykład liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu x2 − 2, ale także pierwiastkiem wielomianów x4 − 4,
x3 + x2 − 2x − 2 itd.
5
Wielomiany nierozkładalne, stopień elementu algebraicznego
Definicja 5.1 Wielomian stopnia dodatniego nazywamy nierozkładalnym, gdy nie jest on iloczynem wielomianów stopnia niższego.
Przykład
1. Wielomian x2 − 2 jest iloczynem dwóch wielomianów o współczynnikach rzeczywistych,
√
√
x2 − 2 = (x − 2)(x + 2).
Natomiast nie jest on iloczynem dwóch wielomianów niższego stopnia o współczynnikach wymiernych.
2. Wielomian x2 + 1 nie rozkłada się na wielomiany o współczynnikach rzeczywistych, natomiast rozkłada
się nad ciałem liczb zespolonych x2 + 1 = (x + i)(x − i)
3. Dowolny wielomian stopnia pierwszego jest nierozkładalny nad każdym ciałem, do którego należą jego
współczynniki.
Stwierdzenie 5.1 Każdy wielomian stopnia dodatniego o współczynnikach z ciała F albo jest nierozkładalny
nad ciałem F, albo jest iloczynem wielomianów nierozkładalnych nad ciałem F.
Ponadto rozkład wielomianu na czynniki nierozkładalne jest jednoznaczny. To znaczy, że jeśli f1 , ..., fm i
g1 , ..., gn są rozkładami pewnego wielomianu na czynniki nierozkładalne nad ciałem F to
1. m = n
2. fi = ci gi , (i = 1, ..., m), gdzie ci ∈ F
Przykład
1. Fakt, iż x2 − 1 = (x − 1)(x + 1) oraz x2 − 1 = ( 21 x + 12 )(2x − 2) nie przeczy jednoznaczności rozkładu.
Twierdzenie 5.1 Jeśli a jest elementem algebraicznym względem ciała F, to istnieje wielomian nierozkładalny
o współczynnikach z ciała F, którego pierwiastkiem jest a.
Wielomian ten jest dzielnikiem każdego wielomianu w mającego współczynniki w ciele F i spełniającego warunek
w(a)=0.
Dowód Ponieważ a jest elementem algebraicznym względem ciała F, wiec istnieje wielomian f ∈ F[X], taki,
że f (a) = 0. Jeśli f nie jest wielomianem nierozkładalnym nad ciałem F, to można go rozłożyć na czynniki
nierozkładalne f = f1 ...fm . Ponieważ f (a) = f1 (a)...fn (a), wiec z tego, że f (a) = 0, wynika,że fi (a) = 0 ala
pewnego i. Wobec tego fi jest wielomianem nierozkładalnym o współczynnikach w ciele F, którego pierwiastkiem
jest a.
Niech teraz w będzie wielomianem o współczynnikach z ciała F, dla którego w(a) = 0. Niech wielomian r będzie
resztą z dzielenia w przez f
w = qf + r, przy czym st(r)<st(fi ). Załóżmy, że r 6= 0. Ponieważ w(a) = q(a)fi (a) + r(a), więc r(a) = 0, co
oznacza, że a jest wspólnym pierwiastkiem wielomiany fi oraz ri a także pierwiastkiem ich największego wspólnego dzielnika. Wobec faktu, że fi jest nierozkładalny oraz nie może być dzielnikiem r, to największy wspólny
dzielnik jest wielomianem stałym, a zatem nie ma pierwiastków. Tak wiec mamy sprzeczność z założeniem, że
r 6= 0. Stąd w = qfi , to znaczy, że fi dzieli wielomian w.
Definicja 5.2 Stopniem elementu algebraicznego a względem ciała F nazywamy stopień wielomianu nierozkładalnego nad ciałem F, którego pierwiastkiem jest a.
Taki zaś wielomian nierozkładalny nazywamy wielomianem minimalnym elementu a.
3
Przykład
√
√
1. Określimy stopień liczby algebraicznej a = 2 + 3.
Wykazując nierozkładalność nad Q wielomianu f (x) = x4 − 10x2 + 1, wukażemu tym samym, że stopień
liczby a jest równy 4. Ponieważ f ∈ Z[X], zatem nierozkładalność wielomianu f nad Q wynika z
nierozkładalności f nad Z.
Przypuśćmy więc, że f=gh, gdzie g, h ∈ Z[X], st(g) ≥ 1 i st(h) ≥ 1. Ponieważ f nie ma pierwiastka
będącego liczbą całkowitą (kryterium Eisensteina), więc żaden z czynników g i h nie może być liniowy,
czyli stopnia 1. Zatem st(g) = st(h) = 2. Przy pewnych k, l ∈ Z zachodzi więc równość
f = (x2 + kx + 1)(x2 + lx + 1) lub f = (x2 + kx − 1)(x2 + lx − 1).
Porównując współczynniki przy x3 i x2 w pierwszej z tych równości otrzymujemy związki k + l = 0 i
kl + 2 = −10, co prowadzi do fałszywej zależności, k 2 = 12. Podobnie do sprzeczności prowadzi druga, z
rozważanych równości.
√
√
√
√
2. Wielomian minimalny liczby a = 2 + 5 nad ciałem Q( 5) to x2 − 2 5x + 3
2kπ
3. Liczby zespolone εk = cos 2kπ
5 + i sin 5 , k = 1, 2, 3, 4 są liczbami algebraicznymi stopnia czwartego.
2kπ
Ogólnie stopień liczby algebraicznej εk = cos 2kπ
p + i sin p , k = 1, ..., p − 1, p jest liczbą pierwszą, jest
równy p − 1. Aby wykazać tę równość należy udowodnić twierdzenie
Twierdzenie 5.2 Jeśli p jest liczbą pierwszą to wielomian f (x) = xp−1 + xp−2 + ... + x + 1 ∈ Q[X] jest
nierozkładalny.
Dowód Zauważmy f (x) =
xp −1
x−1 .
Obliczmy f (x + 1), mamy
p
p
p
p
p−2
p−3
f (x + 1) = x
+
x
+
x
+ ... +
x+
1
2
p−2
p−1
p
p
Z kryterium Eiseisteina p|
dla każdego k ∈ 1, ..., p − 1 oraz p2 , więc wielomian f (x + 1) ∈
k
p−1
Q[X] jest nierozkładalny zatem f (x) ∈ Q[x] jest nierozkładalny.
p−1
a aaaaaaaaaa
4