xiii międzynarodowa szkoła komputerowego wspomagania

XIII MIĘDZYNARODOWA
SZKOŁA
KOMPUTEROWEGO WSPOMAGANIA
PROJEKTOWANIA, WYTWARZANIA
I EKSPLOATACJI
Jurata, 11-15 maja 2009 r.
Warszawa 2009
Dr inŜ. Jacek WDOWICKI
Dr inŜ. ElŜbieta WDOWICKA
Politechnika Poznańska, Instytut Konstrukcji Budowlanych
OBLICZENIA BUDYNKÓW ŚCIANOWYCH
O ZMIENNEJ GRUBOŚCI METODĄ CIĄGŁYCH POŁĄCZEŃ
Streszczenie: W pracy przedstawiono analizę ścianowych konstrukcji
usztywniających o zmiennej grubości przy wykorzystaniu wariantu metody ciągłej.
W metodzie tej pasma nadproŜy i podatne złącza pionowe zastępowane są przez
ciągłe połączenia. Układy równań róŜniczkowych dla stref konstrukcji o stałej
sztywności są rozdzielane przy pomocy wektorów własnych. Stałe całkowania są
rozwiązaniami układu równań liniowych, zbudowanego na podstawie warunków
brzegowych dla całego układu usztywniającego oraz warunków zgodności
pomiędzy poszczególnymi strefami. Podczas testowania opracowanego na
podstawie tej metody programu uzyskano dobrą zgodność z podanymi
w literaturze wynikami obliczeń i badań modelowych.
ANALYSIS OF SHEAR WALL STRUCTURES OF VARIABLE
THICKNESS USING CONTINUOUS CONNECTION METHOD
Abstract: The paper presents the analysis of shear wall structures of variable
thickness using a variant of the continuum method. In the continuous approach the
horizontal connecting beams, floor slabs and vertical joints are substituted by
continuous connections. The differential equation systems for shear wall structure
segments of constant cross-section are uncoupled by orthogonal eigenvectors. The
boundary conditions for the whole structure yield the system of linear equations
for the determination of all constants of integration. The results obtained by
means of this method show good agreement with those available in literature.
1. WSTĘP
Przy projektowaniu budynków wielokondygnacyjnych jako elementy przenoszące obciąŜenia
poziome, powstałe na skutek działania wiatru oraz wpływów sejsmicznych, powszechnie
wykorzystywane są Ŝelbetowe konstrukcje ścianowe z nadproŜami. Dla analizy tego typu
konstrukcji szczególnie dogodne okazały się dwie metody: metoda ciągłych połączeń [7, 17,
20, 19, 1] i metoda pasm skończonych [12, 3]. Metody te umoŜliwiają uzyskanie
wystarczająco dokładnych wyników przy znacznie mniejszej pracochłonności zarówno
przygotowania danych, jak i realizacji obliczeń w porównaniu z metodami dyskretnymi.
Metody ciągłe pozwalają, oprócz zmniejszenia wymiaru zadania i przyspieszenia obliczeń, na
ominięcie w prosty sposób problemu złego uwarunkowania zadania, który staje się coraz
bardziej istotny w miarę wzrostu smukłości konstrukcji. Z tego powodu są chętnie uŜywane
w praktyce projektowej [10].
W budynkach wielokondygnacyjnych ściany usztywniające mogą mieć róŜną grubość wzdłuŜ
wysokości budynku. W górnej części ściany występują znacznie mniejsze napręŜenia, niŜ
w strefie połoŜonej blisko fundamentu. Stąd w praktyce projektowej jest powszechnie
stosowane kilkakrotne zmniejszanie grubości ścian [2]. W literaturze moŜna znaleźć próby
rozszerzenia zakresu zastosowania metod ciągłych na przypadek ścian usztywniających
399
o skokowo zmiennej sztywności. Zastosowanie metody ciągłej w analizie ścian
usztywniających połączonych nadproŜami o skokowo zmiennym przekroju poprzecznym było
rozwaŜane w pracach [16], [4], [5], [15], [14] przy wykorzystaniu analitycznej metody
rozwiązywania równań róŜniczkowych. W pracach [11, 10] zastosowano metodę róŜnic
skończonych. W pracach [6, 18] wykorzystano metodę macierzy przeniesienia, przy czym
w literaturze była sygnalizowana niestabilność numeryczna, występująca przy analizie tą
metodą. W pracy [9] przedstawiono iteracyjny sposób analizy, oparty na kombinacji metody
pasm skończonych i metody ciągłych połączeń. W pracy [8] zaproponowano nowy
makroelement, umoŜliwiający analizę ścian usztywniających, połączonych pasmami
nadproŜy, przy czym przy budowie macierzy sztywności wykorzystano ścisłe rozwiązanie
równań róŜniczkowych sformułowanych dla modelu ciągłego. Celem pracy jest
przedstawienie efektywnego algorytmu analizy przestrzennych układów ścian
usztywniających o skokowo zmiennej grubości przy wykorzystaniu metody ciągłych
połączeń.
2. PODSTAWOWE RÓWNANIA
Układy równań róŜniczkowych, opisujących pracę przestrzennych układów ścianowych
z nadproŜami, usztywniających budynki wysokie, o stałym wzdłuŜ wysokości przekroju,
zostały przedstawione w pracy [20].
Konstrukcja usztywniająca o zmiennej sztywności wzdłuŜ wysokości budynku, moŜe zostać
podzielona na nh stref tak, aby kaŜda ze stref miała stały przekrój poprzeczny. Układy
równań róŜniczkowych dla k-tej strefy o stałej sztywności moŜna zapisać w postaci
z ∈ (hk −1 , hk >
B ( k ) N N′′ ( k ) ( z ) − A ( k ) N N ( k ) ( z ) = f ( k ) ( z ),
(1)
gdzie:
k – indeks strefy, k = 1, ... , nh,
nh – liczba stref o stałej sztywności,
nw – liczba pionowych połączeń (pasm nadproŜy i złączy podatnych), liczba równań
róŜniczkowych w układzie (1),
B(k) – jest macierzą diagonalną stopnia nw × nw , zawierającą podatności pasm nadproŜy
i złączy podatnych,
A(k) – jest symetryczną, dodatnio półokreśloną macierzą stopnia nw × nw, zaleŜną od
konstrukcji,
NN(k)(z) – jest wektorem zawierającym nieznane funkcje intensywności sił ścinających
w ciągłych połączeniach,
f(k)(z) – jest wektorem utworzonym na podstawie zadanych obciąŜeń dla k-tej strefy
konstrukcji.
Zakłada się przy tym, Ŝe miejsca zerowe momentu zginającego w pasmach nadproŜy
w kolejnych strefach nie zmieniają swojego połoŜenia w rzucie budynku.
Układom (1) odpowiadają następujące warunki brzegowe [7], [15], [18], [20]:
N N (1) (0) = w, w = −B −1STE z 0,
N N ( k ) (hk ) = B ( k +1) B (−k1) N N ( k +1) (hk ),
N N′ ( k ) (hk ) = N ′N ( k +1) (hk ),
N ′N ( n h ) ( H ) = 0,
400
(2)
gdzie:
SE – jest macierzą zero-jedynkową ne × nw , określającą przyleganie między elementami
usztywniającymi i ciągłymi połączeniami,
z0 – wektor zadanych osiadań elementów usztywniających,
ne – liczba elementów usztywniających,
hk – rzędna k-tej zmiany rzutu konstrukcji,
H – wysokość konstrukcji.
Po określeniu nieznanych funkcji intensywności siły ścinających w ciągłych połączeniach,
moŜna wyznaczyć funkcje poziomych przemieszczeń konstrukcji i jej pochodne
wykorzystując równania:
z ∈ (hk −1 , hk >
V('k'' ) ( z ) = VT ( k )TK ( k ) ( z ) − VN ( k ) N N ( k ) ( z ),
(3)
gdzie:
k – jest indeksem strefy o stałym przekroju poprzecznym,
V(z) – jest wektorem zawierającym funkcje poziomych przemieszczeń konstrukcji,
mierzone w globalnym układzie współrzędnych 0XYZ,
TK(z) – jest wektorem funkcji sił ścinających i momentu skręcającego, wynikającym
z działania poziomych obciąŜeń.
Macierze VT , VN występujące w powyŜszym wzorze są opisane przez następujące zaleŜności
VT = (LT K Z L) −1 ,
VN = VT LT C N ,
gdzie:
L – macierz stopnia 3ne×3, macierz transformacji współrzędnych z globalnego układu
współrzędnych 0XYZ do lokalnych układów współrzędnych, to jest układów
głównych osi bezwładności elementów usztywniających,
KZ – macierz 3ne×3ne zawierająca sztywności na zginanie i skręcanie elementów
usztywniających,
CN – macierz 3ne×nw zawierająca współrzędne punktów zerowych momentów
zginających w ciągłych połączeniach w lokalnych układach współrzędnych
elementów.
Warunki brzegowe dla równań (3) w miejscu utwierdzenia układu usztywniającego we
fundamencie oraz na szczycie układu mają następującą postać:
V(1) (0) = 0, V(1' ) (0) = 0, V('n' h ) ( H ) = 0.
(4)
Oprócz tego, dla miejsc występowania zmian przekroju poprzecznego moŜna zapisać dalsze
warunki brzegowe, wynikające ze zgodności przemieszczeń
V( k ) (hk ) = V( k +1) (hk ), V('k ) (hk ) = V('k +1) (hk ).
(5)
Ponadto dla elementów usztywniających zakłada się
m E ( k ) (hk ) = m E ( k +1) (hk ),
(6)
gdzie: mE(z) jest wektorem momentów zginających w elementach usztywniających,
opisanym przez zaleŜność:
mE ( z ) = K Z L V '' ( z ).
(7)
Podstawiając związek (7) do równania (6) i następnie lewostronnie przemnaŜając przez
VT(k)LT(k) , otrzymuje się następującą zaleŜność:
V('k' ) (hk ) = SV ( k +1,k ) V('k' +1) (hk )
(8)
gdzie:
SV ( k +1,k ) = VT ( k ) LT( k ) K Z ( k +1) L ( k +1) .
401
3. ALGORYTM OBLICZANIA ROZWIĄZAŃ UKŁADÓW RÓWNAŃ
RÓśNICZKOWYCH
W proponowanej metodzie rozwiązywania układów równań róŜniczkowych algorytm
opracowany dla układów o stałej sztywności [20] został rozszerzony w taki sposób, aby
umoŜliwić rozwiązywanie układów równań dla konstrukcji o zmiennej sztywności.
W celu rozdzielenia układów równań róŜniczkowych (1) zostały wprowadzone funkcje
pomocnicze g(k)(z) , spełniające związki:
N N ( k ) ( z ) = B (−k1)/ 2 Y( k ) g ( k ) ( z ),
(9)
-1/2
1/2
gdzie: Y(k) są kolumnami macierzy wektorów własnych macierzy P(k) = B(k) A(k) B(k) .
W rezultacie otrzymano k układów po nw równań róŜniczkowych drugiego rzędu
o następującej postaci:
g i′′( k ) ( z ) − λi ( k ) g i ( k ) ( z ) = FBi ( k ) ,
z ∈ (hk −1 , hk >
FBi ( k ) = YiT( k ) B (−k1)/ 2 f ( k ) ( z )
(10)
gdzie: λi (k ) jest i-tą wartością własną macierzy P(k ) , oraz Yi (k ) jest wektorem własnym
odpowiadającym i-tej wartości własnej. Wartości i wektory własne symetrycznej macierzy
P(k ) są obliczane przy wykorzystaniu zestawu procedur realizujących trójdiagonalizację
metodą Householdera oraz algorytm QL, które były zamieszczone w pracy [22] w języku
Algol i później zostały przetłumaczone na język Pascal.
Postać rozwiązań równań (10) jest następująca:
g i ( k ) ( z ) = C1i ( k ) e
λi ( k ) z
+ C 2i ( k ) e
− λi ( k ) z
+ rSi ( k )WS ( z ),
(11)
gdzie: C1i(k) ,C2i(k) są stałymi całkowania , rSi(k) są współczynnikami rozwiązań szczególnych,
wyliczanymi za pomocą metody współczynników nieoznaczonych, przy czym
WS(z) = col (z0, z1, ... ,zs-1).
Podstawiając rozwiązania (11) do zaleŜności (9) i następnie uwzględniając warunki
brzegowe.(2) otrzymano układ równań dla wyznaczenia wszystkich stałych całkowania
w postaci :
RW C = PS ,
(12)
gdzie: RW jest niesymetryczną macierzą stopnia 2 × nh × nw, C jest wektorem stałych
całkowania oraz PS jest wektorem zaleŜnym od obciąŜeń. Wektor C zawiera kolejno po nw
stałych C1, a następnie nw stałych C2, dla nh stref o stałej sztywności. Rozwiązania są
wyznaczane przez zaczerpnięte z pracy [22] procedury bazujące na rozkładzie LU, gdzie
L jest macierzą dolną trójkątną a U jest macierzą górną trójkątną.
W następnym kroku obliczeniowym wyznacza się funkcje poziomych przemieszczeń
konstrukcji oraz ich pochodne wymagane do wyliczenia sił przekrojowych i napręŜeń.
Całkowanie funkcji V ''' ( z ) z uwzględnieniem warunków brzegowych V('n' h ) ( H ) = 0 i warunków
zgodności (8), prowadzi do następujących wyraŜeń:
z
z ∈ (hnh −1 , H >
∫
V('n' h ) ( z ) = V('n'' h ) (t ) dt ,
H
z
z ∈ (hk −1 , hk >
V ( z ) = ∫ V('k'' ) (t ) dt + SV ( k +1,k ) V('k' +1) (hk ).
''
(k )
(13)
hk
Następnie, całkując powyŜsze funkcje z uwzględnieniem warunków brzegowych V(1) (0) = 0,
V(1)’(0) = 0 oraz warunków zgodności (5), otrzymuje się:
402
z
z ∈ (hk −1 , hk >
V('k ) ( z ) =
∫V
''
( k ) (t ) dt
+ V('k −1) (hk −1 ) ,
hk −1
(14)
z
z ∈ (hk −1 , hk >
V( k ) ( z ) =
∫V
'
( k ) (t ) dt
+ V( k −1) (hk −1 ) ,
hk −1
gdzie: k = 1,…,nh, h0 = 0.
Na podstawie przedstawionego algorytmu zaprogramowano w środowisku Delphi 2006
moduły obliczeniowe, włączone do programu BW przeznaczonego dla analizy budynków
wysokich usztywnionych konstrukcjami ścianowymi [20, 21] .
4. PRZYKŁADY OBLICZENIOWE
W trakcie testowania programu uzyskano dobrą zgodność z wynikami obliczeń,
zaprezentowanymi w pracach [16, 14, 15, 6, 12, 3, 8] oraz z wynikami badań
doświadczalnych modelu z pleksiglasu, podanymi w pracy [6]. Aby zilustrować poprawność
realizacji algorytmu, zaprezentowane zostanie porównanie wyników dla trzech przykładów
ścian usztywniających z nadproŜami o zmiennej grubości.
4.1. Przykład 1: Symetryczny układ usztywniający z jedną zmianą grubości i stałym
ciągłym połączeniem
Pierwsze porównanie dotyczy symetrycznej konstrukcji usztywniającej o 22 kondygnacjach
z jedną zmianą grubości, wcześniej analizowanej w pracy [15]. Wymiary konstrukcji są
następujące: wysokości kondygnacji 2,69 m, szerokości ścian 6,50 m i długości nadproŜy
1,65 m. Grubość ścian najniŜszych dziesięciu kondygnacji jest równa 0,407 m oraz górnych
dwunastu kondygnacji jest równa 0,288 m. Ciągłym połączeniem są płyty stropowe grubości
0,21 m i szerokości 6,50 m . Przyjęto moduł spręŜystości betonu: moduł spręŜystości
podłuŜnej E = 2.1 105 kG/cm2, oraz moduł spręŜystości poprzecznej G = 3/7 E. Konstrukcja
jest obciąŜona poziomym parciem wiatru o wartościach: kondygnacje dolne 1191 kG/m
i kondygnacje górne 1489 kG/m. Na rysunku 1 przedstawiono wykresy poziomych
przemieszczeń i intensywności sił ścinających w ciągłym połączeniu. Maksymalna wartość
przemieszczenia i maksymalna wartość intensywności w ciągłym połączeniu, podane w pracy
[Ros71b], są odpowiednio równe 0,0132 m i 5346 kG/m. Widoczna jest dobra zgodność
wyników.
403
Rys. 1. Przykład 1 – Przemieszczenia poziome i intensywność siły ścinającej w paśmie
nadproŜy
4.2. Przykład 2: Niesymetryczny układ usztywniający z jedną zmianą grubości
W tym przykładzie, analizowanym poprzednio w pracach [2, 3], zmieniają grubość zarówno
ściany jak i nadproŜa. Niesymetryczna, ścianowa konstrukcja usztywniająca ma
21 kondygnacji i dwie strefy sztywności, ze stałą wysokością kondygnacji równą 1.0.
Wszystkie wymiary są podane w calach. Grubość ścian usztywniających dolnych jedenastu
kondygnacji jest równa 0,625, a dziecięciu kondygnacji górnych 0,375. Szerokości lewej
i prawej ściany są odpowiednio 3,0 i 2,5. Wysokość nadproŜy jest równa 0,25. Efektywną
długość nadproŜy przyjęto jako 1,5 + 0,25 = 1,75. Modyfikacja długości obliczeniowej
nadproŜy wynika z tego, Ŝe warunek całkowitego utwierdzenia nadproŜa w ścianie nie jest
moŜliwy do spełnienia w miejscu połączenia nadproŜa i ściany [13]. Przyjęto, Ŝe ściany są
wykonane z materiału izotropowego o współczynniku spręŜystości podłuŜnej E równym
463 000 lb/sq.in. i współczynniku Poissona 0.0. Układ usztywniający jest obciąŜony
poziomym, jednostkowym obciąŜeniem równomiernie rozłoŜonym po lewej stronie.
Na rys. 2 przedstawiono rzut układu usztywniającego i rozkład napręŜeń normalnych
w przekroju poziomym na rzędnej z = 3,375. Otrzymane rozkłady poziomych przemieszczeń
i intensywności sił ścinających w nadproŜach są pokazane na rys. 3. Uzyskane wyniki dobrze
404
zgadzają się z wynikami uzyskanymi na podstawie metody elementów skończonych oraz
metody pasm skończonych które przedstawiono w pracach [2, 3].
Rys. 2. Przykład 2 – Rzut układu usztywniającego i napręŜenia normalne
na rzędnej z = 3,375
Rys. 3. Przykład 2 – Przemieszczenia poziome i intensywność siły ścinającej w paśmie
nadproŜy
405
4.3. Przykład 3: Niesymetryczny układ usztywniający z trzema strefami o róŜnej
grubości
Na rys. 4 pokazano rzut niesymetrycznego układu usztywniającego o 31 kondygnacjach
z dwoma pasmami otworów, powstałego przez rozbudowę przykładu 2. W zmodyfikowanej
konstrukcji dołoŜono po jej prawej stronie, ścianę o szerokości 2,5, połączoną przez takie
same nadproŜa jak w przykładzie 2. Ponadto cały układ usztywniający podwyŜszono, przez
umieszczenie na jego szczycie segmentu mającego 10 kondygnacji o grubości 0,25. Stałe
materiałowe i obciąŜenia są takie same jak w przykładzie 2.
Na rys. 4 przedstawiono rozkład napręŜeń normalnych w utwierdzeniu konstrukcji. Rys. 5
zawiera wykres przemieszczeń poziomych i wykresy intensywności sił ścinających
w nadproŜach w dwóch pasmach nadproŜy. Krótki czas obliczeń dla tego przykładu
potwierdza efektywność proponowanego algorytmu.
5. UWAGI KOŃCOWE
W pracy przedstawiono algorytm dla analizy ścianowych konstrukcji usztywniających
o zmiennym przekroju, przy wykorzystaniu metody ciągłych połączeń. Przeprowadzone testy
potwierdziły poprawność komputerowej realizacji algorytmu. Wykazano, Ŝe proponowany
algorytm jest efektywny i moŜe być przydatny podczas analiz projektowych budynków
wysokich.
Podziękowania Pracę powstała częściowo w ramach tematu badawczego Politechniki
Poznańskiej DS-11-030/2009.
Rys. 4. Przykład 3 – Rzut układu i napręŜenia normalne w utwierdzeniu konstrukcji
usztywniającej
406
Rys. 5. Przykład 3 – Przemieszczenia poziome i intensywności sił ścinających w pasmach
nadproŜy
LITERATURA
[1] Aksogan O., Arslan H.M. and Choo B.S.: Forced vibration analysis of stiffened coupled shear
walls using continuous connection method, Engineering Structures, 25, pp. 499-506, 2003.
[2] Chan H.C and Cheung Y.K.: Analysis of shear wall using higher order finite elements, Building
and Environment, 14, pp. 217-224,1979.
[3] Cheung Y.K., Au F.T.K. and Zheng D.Y.: Analysis of deep beams and shear walls by finite strip
method with C0 continuous displacement functions, Thin-Walled Structures, 32, pp. 289-303,
1998.
[4] Coull A. and Puri R.D.: Analysis of coupled shear walls of variable thickness, Build. Sci., 2, pp.
181-188, 1967.
[5] Coull A. and Puri, R.D.: Analysis of coupled shear walls of variable cross-section, Build. Sci., 2,
pp. 313-320, 1968.
[6] Coull A., Puri R.D. and Tottenham H.: Numerical elastic analysis of coupled shear walls,
Proceedings of the Institution of Civil Engineers, Part 2, 55, pp. 109-128, 1973.
[7] Glück J. and Gellert M.: Three dimensional lateral load analysis of multistorey structures,
Publications IABSE, (Mémoires Abhandlungen Publications), 32-I, pp.77-90, 1972.
[8] Ha K.H. and Tan T.M.H.: An efficient analysis of continuum shear wall models, Canadian Journ.
of Civ. Engineering, 26, pp. 425-433, 1999.
[9] Ho D. and Liu C.H.: Shear-wall and shear-core assemblies with variable cross-section,
Proceedings of the Institution of Civil Engineers, 81, pp.433-446, 1986.
[10] Liang Q.: Recent development of 3-dimensional analysis of tall building structures by continuum
method, Recent Developments and Future Trends of Computational Mechanics in Structural
Engineering, Proceedings of Sino-US Joint Symposium, Beijing, China, Cheng F.Y. and Zizhi
F. Eds, Elsevier, pp. 246-259, 1992.
[11] Liauw T.-C. and Luk W.K.: Torsion of core walls of nonuniform section, Journal of the
Structural Division, Proc. ASCE, 106, pp.1921-1931, 1980.
[12] Lis Z.: Calculations of tall buildings braces with stepped characteristics, Archiwum InŜynierii
Lądowej, 23, pp. 527-534, 1977 (in Polish).
407
[13] Michael D.: The effect of local deformations on the elastic interaction of cross walls coupled by
beams, in: Tall Buildings, Pergamon Press, 1967, 253-270.
[14] Pisanty A. and Traum E.E.: Simplified analysis of coupled shear walls of variable cross-section,
Building Science, 5, pp.11-20, 1970.
[15] Rosman R.: Analysis of coupled shear walls, Arkady, Warszawa 1971 (in Polish).
[16] Traum E.E.: Multistorey pierced shear walls of variable cross-section, in: Tall Buildings,
Pergamon Press, Oxford, London, pp. 181-206, 1967.
[17] Tso W.K. and Biswas J.K.: General analysis of nonplanar coupled shear walls, J. of Struct. Div.,
Proc. ASCE, 99, pp. 365-380, 1973.
[18] Tso W.K. and Chan P.C.K.: Static analysis of stepped coupled walls by transfer matrix method,
Building Science, 8, pp. 167-177, 1973.
[19] Wdowicka E.M., Wdowicki J.A. and Błaszczyński T.Z.: Seismic analysis of the "South Gate"
tall building according to Eurocode 8, The Structural Design of Tall and Special Buildings, 14,
pp. 59-67, 2005.
[20] Wdowicki J. and Wdowicka E.: System of programs for analysis of three-dimensional shear wall
structures, The Structural Design of Tall Buildings, 2, pp. 295- 305, 1993.
[21] Wdowicki J.A., Wdowicka E.M. and Tomaszewski A.M.: Integrated System for multistorey
buildings – use of software engineering rules, 2nd European Conference on Computational
Mechanics: Solids, Structures and Coupled Problems in Engineering, Cracow, Poland,
Abstracts, Vol. 1, 408-409, full version on CD-ROM, minisymposium 10, pp. 1-20, 2001.
[22] Wilkinson J.H. and Reinsch C.: Linear Algebra, Handbook for Automatic Computation, vol. II,
Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1971.
408