Badania Operacyjne-ćwiczenia, ISN, 2015/2016 s. zimowy, lista 4 1

Badania Operacyjne-ćwiczenia, ISN, 2015/2016 s. zimowy, lista 4
1
1. Pewne przedsiębiorstwo chce zainwestować 500 000$ w cztery projekty.
Przewidywane zyski/straty z każdego zainwestowanego dolara zależą od
trzech zdarzeń, które mogą wystąpić i są one podane w poniższej tabeli.
Projekt
Zdarzenie 1
Zdarzenie 2
Zdarzenie 3
Zysk/strata z 1$
1 2 3
4
-3 4 -7 15
5 -3 9
4
3 -9 10 -8
W momencie dokonywania inwestycji wiadomo tylko, że jedno z trzech zdarzeń wystąpi ale nie wiadomo które. Przedsiębiorstwo chce tak zainwestować całą kwotę aby zmaksymalizować zysk w najgorszym przypadku, tj.
przy najbardziej niekorzystnym zdarzeniu, które może wystąpić. Na przykład, jeżeli przedsiębiorstwo zainwestuje 1000$ w projekt 3, to w najgorszym przypadku, gdy wystąpi zdarzenie 1, strata wyniesie 7000$. W jaki
sposób przedsiębiorstwo powinno zainwestować posiadaną gotówkę? Jaki
minimalny zysk może sobie zagwarantować?
2. Case - Rafineria I. Rafineria produkuje trzy rodzaje benzyny o różnej minimalnej liczbie oktanowej (ON): normalną (ON co najmniej 87), premium
(ON co najmniej 89) i super (ON co najmniej 92). Przewidywane zyski jednostkowe z każdego typu benzyny wynoszą odpowiednio 6.7$, 7.2$ i 8.1$
a popyt 50 000, 30 000 i 40 000 jednostek dziennie. Proces produkcyjny
wygląda następująco:
Najpierw ropa, będąca produktem wejściowym, jest destylowana w wieży
destylacyjnej. Wieża ta wytwarza 1 jednostkę paliwa pośredniego ON=82
z 5 jednostek ropy. Następnie 2 jednostki paliwa ON=82 mogą być przetworzonych w jedną jednostkę paliwa pośredniego ON=98 w module krakowania. Benzyny normalna, premium i super są następnie wytwarzane
poprzez zmieszanie paliwa ON=82 i ON=98 w module mieszającym (mieszając x jednostek paliwa ON=82 i y jednostek paliwa ON=98 otrzymamy
x + y jednostek paliwa ON= (82x + 98y)/(x + y)). Rafineria może przetwo-
Badania Operacyjne-ćwiczenia, ISN, 2015/2016 s. zimowy, lista 4
2
rzyć 1 500 000 jednostek ropy dziennie. Moduł krakowania może przetworzyć maksymalnie 200 000 jednostek paliwa ON=82. Wyznacz optymalny
dzienny plan produkcji.
3. Rozwiąż model z zadania 1 (lista 1) stosując algorytm sympleks. Dla każdej
tablicy sympleksowej wskaż wierzchołek zbioru dopuszczalnych rozwiązań
(metoda graficzna), który odpowiada tej tablicy.
4. Rozwiąż następujący problem za pomocą algorytmu sympleks:
max z = 3x1 + 2x2 + x3
x1 + x2 ≤ 2
x1 − x2 + x3 ≤ 4
x1 , x2 , x3 ≥ 0
5. Dla pewnego problemu maksymalizacji otrzymano następującą ostatnią tablicę sympleksową:
z
x4
x3
x1 x2 x3 x4 x5
6
0 0 0 11 32
−3 −1 0 1 2 2
2
2 1 0 1 4
Odczytaj optymalne rozwiązanie. Czy istnieje alternatywne rozwiązanie
optymalne? Jeżeli tak to wyznacz je.
6. Stosując metodę dwóch faz pokaż, że poniższy model jest sprzeczny (wskazówka:
obliczenia powinny być bardzo proste, skorzystaj ze struktury tego problemu!):
max z = 2x1 + 5x2
3x1 + 2x2 ≥ 6
2x1 + x2 ≤ 2
x1 , x2 ≥ 0
7. Przydział samolotów Linia lotnicza chce przyporządkować 23 nowe zakupione samoloty do 4 tras. Odpowiednie dane są podane w poniższej tabeli.
Na przykład: linia dysponuje 5 samolotami typu 1, z których każdy może
zabrać 50 pasażerów i wykonuje 3 dzienne loty na trasie 1, 2 dzienne loty
na trasie 2 itd. W tabeli podane są również oszacowania liczby pasażerów
korzystających dziennie z każdej z tras.
Koszty jednego przelotu na każdej trasie oraz koszty związane z utratą
każdego pasażera (dla którego zabraknie miejsca w samolocie), są podane
w poniższej tabeli: Wyznacz optymalny przydział samolotów do tras dla
lini lotniczej.
Badania Operacyjne-ćwiczenia, ISN, 2015/2016 s. zimowy, lista 4
Typ
samolotu
1
2
3
3
Dzienna liczba lotów na trasie
1
2
3
4
Pojemność
Liczba
1 samolotu samolotów
50
5
3
30
8
4
20
10
5
Dzienna liczba pasażerów 1000
Koszt
Typ samolotu
1
1
1000
2
800
3
600
Koszt 1 utraconego pasażera (w $) 40
2
3
5
2000
2
3
4
900
1
2
2
1200
przelotu na trasie (w $)
2
3
4
1100 1200
1500
900 1000
1000
800 800
900
50
45
70
8. Case - Rafineria II. Przedstawiona na poniższym schemacie rafineria
dysponuje jednostką destylacji (pozwalającą otrzymywać cztery rodzaje
produktów: benzynę, oleje, destylaty i resztki) oraz jednostką krakowania
katalitycznego (która ma przetwarzać destylaty). Podczas rozpatrywanego
okresu rafineria może przetworzyć dwa rodzaje ropy naftowej: B1 i B2.
Wydajności destylacji i krakowania podane są na schemacie (na przykład
z 1 t ropy B1 otrzymuje się 0.15 t benzyny). Ceny B1 i B2 wynoszą odpowiednio 1500 F/t i 1300 F/t. Koszty destylacji ocenia się na 10 F/t, a
koszty obróbki destylatów w próżni w jednostce krakowania na 20 F/t. W
ciągu rozpatrywanego okresu rafineria ma wyprodukować co najmniej 200
000 t paliw silnikowych, 400 000 t domowego paliwa olejowego i 250 000 t
ciężkiego paliwa olejowego. Rafineria chce zminimalizować koszty produkcji.
Badania Operacyjne-ćwiczenia, ISN, 2015/2016 s. zimowy, lista 4
4
Destylacja
Ropa 1
XB1
Benzyna
Olej
Destylat
Resztki
0.15
0.40
0.15
0.15
Paliwa
silnikowe
B1KK
Krakowanie
katalityczne
B2KK
Benzyna 0.50
Olej
0.20
Resztki 0.06
B1ODP
B2ODP
Domowe
paliwa
olejowe
Destylacja
Ropa 2
XB2
Benzyna
Olej
Destylat
Resztki
0.10
0.35
0.20
0.25
B1OCP
B2OCP
B1DCP
B2DCP
Ciezkie
paliwa
olejowe
Produkty końcowe mają spełniać pewne ograniczenia wynikające z wymagań jakościowych. Zawartość siarki w domowym paliwie olejowym musi być
niższa niż 0.5%, przy czym zawartość siarki w olejach pochodzących z destylacji ropy B1 wynosi 0.2% ciężaru i odpowiednio 1.2% dla ropy B2, a
zawartość siarki w oleju pochodzącym z krakowania wynosi 0.3% dla B1 i
2.5% dla B2.
Poza tym rafineria ma przetworzyć co najmniej 550 000 t ropy B1 a zdolność przetwórcza jednostki krakowania wynosi w rozpatrywanym okresie
200 000 t.
Sformułować model w postaci programowania liniowego.