Topologia

Topologia
Wykład 3
Podstawowe pojęcia topologiczne w przestrzeniach metrycznych
1. Własności zbiorów domkniętych i zbiorów otwartych
Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną. Oczywiście, mamy:
Stwierdzenie 1. cała przestrzeń oraz zbiór pusty są jednocześnie otwarte i domknięte.
Stwierdzenie 2 (Charakteryzacja zbiorów domkniętych). Zbiór A ⊂ X jest domknięty
wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu (xn ) elementów zbioru A zachodzi implikacja:
jeśli xn → x, to x ∈ A.
Dowód. Wynika z charakteryzacji punktów skupienia zbioru (z zeszłego wykładu) oraz z
faktu, że zbiór domkniety zawiera wszystkie swoje punkty skupienia.
Stwierdzenie 3. Kula otwarta jest zbiorem otwartym.
Kula domknięta jest zbiorem domkniętym
Dowód. Na ćwiczeniach
Stwierdzenie 4.
(1) Suma dowolnej liczby zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.
(1a) Przekrój dowolnej liczby zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym.
(2) Przekrój skończonej liczby zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.
(2a) Suma skończonej liczby zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym.
Dowód. Niech U będzie rodziną zbiorów otwartych. Pokażemy, że U ∈U U jest zbiorem
S
otwartym. Ustalmy x ∈ U ∈U U . Wtedy x ∈ U dla pewnego U ∈ U . Z otwartości U
istnieje kula K(x, ) zawarta w U zatem tym bardziej w U ∈ U .
Aby udowodnić (2) ustalmy skończoną rodzinę zbiorów otwartych U1 , ..., Un . Niech x ∈
Tn
> 0,
i=1 Ui . Wtedy x należy do wszystkich Ui , więc z definicji zbioru otwartego istnieją
Tni
i = 1, ..., n, takie, że K(xi , i ) ⊂ Ui . Wybierzmy = mini=1,...,n i . Wtedy K(x, ) ⊂ i=1 Ui .
(1a) wynika z (1), a (2a) z (2) przez zastosowanie prawa de Morgana.
S
2. Wnętrze, domknięcie i brzeg zbioru
Powiedzmy, że mamy dowolny zbiór A w przestrzeni metrycznej (X, d). Czy da się
dorzucić do niego wszystkie jego punkty skupienia (i potem ewentualnie punkty skupienia
tych i tak dalej) tak, aby go uzupełnić do zbioru domknietego i żeby była to operacja
optymalna, tzn. by uzyskać jak najmniejszy taki uzupełniony zbiór? Tak, taką operację, a
raczej powstały w jej wyniku zbiór, nazywamy domknięciem A - zdefiniujemy je poniżej.
A czy da się ze zbioru jakoś optymalnie (tzn. nie za dużo) wyrzucić obce punkty skupienia
tak, by uzyskać zbiór otwarty? Tak, taki zbiór otwarty nazwiemy wnętrzem A.
Twierdzenie 1. Dla dowolnego A ⊂ X istnieją:
1. najmniejszy (w sensie relacji zawierania) zbiór domknięty A zawierający A,
2. największy (w sensie relacji zawierania) zbiór otwarty int (A) zawarty w A,
1
Dowód. Niech D(A) oznacza rodzinę wszystkich zbiorów domkniętych zawierających A,
a O(A) rodzinę wszystkich zbiorów otwartych zawartych w A. Oczywiście są to rodziny
niepuste, bo X ∈ D(A) i φ ∈ O(A). Wtedy definiujemy:
A=
\
F,
int (A) =
F ∈D(A)
[
U
U ∈O(A)
Definicja 1. Zbiór int (A) z powyższego twierdzenia to wnętrze zbioru A, a A, to domknięcie zbioru A.
Twierdzenie 2. Niech A ⊂ X. Zachodzą następujące fakty:
1. int (φ) = φ = φ, int (X) = X = X
2. int (A) ⊂ A ⊂ A, ale dla zbioru domkniętego A = A, a dla otwartego int (A) = A,
3. A = (int (Ac ))c , int (A) = Ac
c
4. A = A, int (int (A)) = int (A)
5. A ∪ B = A ∪ B
6. ale uwaga: int (A) ∪ int (B) ⊂ int (A ∪ B) (za to int (A) ∩ int (B) = int (A ∩ B))
Dowód. Udowodnimy tylko 3 i 5 - pozostałe łatwe.
Najpierw 3. Niech F będzie zbiorem domkniętym zawierającym A. Wtedy F c ⊂ Ac i F c
jest otwarty, więc F c ⊂ int (Ac ), bo int (Ac ) jest największym otwartym zbiorem zawartym
w Ac . Czyli F ⊃ (int (Ac ))c , a w konsekwencji A ⊃ (int (Ac ))c .
Na odwrót, int (Ac ) ⊂ Ac , więc (int (Ac ))c jest domknięty i zawiera A. Czyli zawiera też
A (który jest najmniejszy o tych własnościach).
Dla dowodu 5 zauważmy, że A ⊂ B, więc A ⊂ A ∪ B i podobnie B ⊂ A ∪ B. Zatem
A ∪ B ⊂ A ∪ B. Z drugiej strony A ∪ B ⊂ A ∪ B i A ∪ B jest domknięty, więc A ∪ B ⊂
A ∪ B.
Dla każdego zbioru możemy też wyróżnić punkty, które są punktami skupienia jednocześnie dla A i Ac :
Definicja 2. Brzeg zbioru A to zbiór ∂A = A ∩ Ac .
Inne oznaczenie: Fr(A). Warto też zapamiętać wzór:
∂A = A \ int (A)
Przykłady:
1. Domknięcia, wnętrza i brzegi K(0, 1), Z, Q w R z naturalną metryką.
2. Domknięcie kuli otwartej to niekoniecznie kula domknięta. Wnętrze kuli domkniętej
to niekoniecznie kula otwarta - patrz metryka dyskretna.
Klasyfikacja punktów przestrzeni (względem ustalonego zbioru A):
2
Definicja 3. Niech A ⊂ X. Punkt x ∈ X nazywamy:
1. punktem wewnętrznym zbioru A, gdy istnieje > 0, dla którego K(x, ) ⊂ A,
2. punktem brzegowym zbioru A, gdy dla każdego > 0 zachodzi K(x, ) ∩ A 6= φ i
K(x, ) ∩ Ac 6= φ,
3. punktem zewnętrznym zbioru A, gdy istnieje > 0, dla którego K(x, ) ⊂ Ac ,
Stwierdzenie 5. Wnętrze zbioru A to zbiór wszystkich punktów wewnętrznych zbioru A.
Domknięcie A to zbiór wszystkich punktów wewnętrznych i brzegowych zbioru A.
Dowód. Jeśli x ∈ int (A), to z otwartości wnętrza x zawiera się w int (A), a tym bardziej w
A, wraz z pewną kulą, więc jest punktem wewnętrznym. Na odwrót, jeśli x jest punktem
wewnętrznym A, to odpowiednia kula K(x, ) zawarta w A musi zawierać się w int (A) jako
zbiór otwarty (ale niekoniecznie największy) zawarty w A.
Przypuśćmy teraz, że x ∈ A, ale x nie jest punktem wewnętrznym A. Wtedy istnieje
ciąg elementów xn ∈ A zbieżny do x, czyli K(x, )∩A 6= φ dla każdego > 0. Ale skoro x nie
jest punktem wewnętrznym, to w każdej kuli K(x, ) można znaleźć punkt z Ac , więc x jest
brzegowy. Na odwrót, jeśli x jest wewnętrzny lub brzegowy, ale należy do A, to oczywiście
x ∈ A, bo A ∈ A, a jeśli x jest brzegowy i nie należy do A, to w każdej kuli K(x, ) znajduje
się element z A (i musi być różny od x 6∈ A), więc x ∈ A.
3