taylor - odpowiedzi - E-SGH

Częściowe odpowiedzi do zadań (m. in.) ze wzoru Taylora.
Zauważone błędy bardzo proszę zgłaszać mailem lub na ćwiczeniach.
Z góry dziękuję :-)
(8)
x2 x4
x6
1
1
8
x
¬ 8!
= 40320
,
+
−
, błąd |R7 (x)| = f 8!(θx) x8 = cos(θx)
8!
2
24 720
x2 x 3 x4 x5
21. ln(x + 1) ≈ x −
+
−
+ ,
2
3
4
5
eθx f (4) (θx) e1
3
1
22. |R3 (x)| = x4 = x4 ¬
¬
= ,
4!
4!
4!
4!
8
√
1
1
1
2
1 11
11
31
23. e = e1 ≈ 1 + 1 + + = 2 ,
e = e2 ≈ 1 + +
+
=1 ,
2
3
2 6
3
2 22
62
48
1
2
3
4
24. ≈ 1 − (x − 1) + (x − 1) − (x − 1) + (x − 1) ,
x
√
x − 4 (x − 4)2 (x − 4)3
25. x ≈ 2 +
−
+
,
4
64
512
2
26. 3x + 2x + 2 = 7 + 8(x − 1) + 3(x − 1)2 ,
27. x5 − 4x3 = 32(x − 2) + 56(x − 2)2 + 36(x − 2)3 + 10(x − 2)4 + (x − 2)5 ,
∞
X
xk
∗
to szereg Taylora funkcji f (x) = ex . Żeby stwierdzić, że jest on równy funkcji
28 .
k!
k=0
f (x), musimy wykazać, że n→∞
lim Rn (x) = 0 dla x ∈ R.
a
n+1 Wykorzystamy twierdzenie, że jeśli dla ciągu (an ), gdzie an 6= 0, zachodzi n→∞
lim = g < 1,
an
to n→∞
lim an = 0.
eθx
xn+1 . Mamy 0 ¬ |Rn (x)| =
Weźmy dowolny x ∈ R, x 6= 0. Wtedy Rn (x) =
(n + 1)!
eθx
a
e|x|
|x|
n+1 xn+1 ¬
|x|n+1 = an . Liczymy lim = lim
= 0 < 1. Stąd
n→∞
n→∞
(n + 1)!
(n + 1)!
an
n+2
an → 0, a więc |Rn (x)| → 0, czyli Rn (x) → 0 dla każdego x 6= 0. Dla x = 0 mamy
Rn (0) = 0 → 0.
20. cos(x) ≈ 1 −
29. (Oszacować błąd formuł)
• dla sin x, n = 5 mamy
1
1
=
dla |x| < 1.
6!
720
f (6) (θx) x6 |R5 (x)| = 6!
− sin(θx) x6 = 6!
=
| sin(θx)| 6
|x| <
6!
Można też zauważyć, że dla n = 6 dostaniemy ten sam wielomian przybliżający sin x.
f (7) (θx) − cos(θx) | cos(θx|) 7
Czyli możemy szacować błąd |R6 (x)| = x7 = x7 ¬
|x| <
7!
7!
7!
1
1
=
dla |x| < 1,
7!
5040
• dla
√
1
2
x + 1 = (x + 1) , n = 2 mamy |R2 (x)| =
3
|x|
3
√
¬
16
16( θx + 1)3
f (3) (θx) x3 3!
=
3 (θx + 1)− 32 8
x3 3!
dla 0 ¬ x ¬ 1.
Ostrożnie z szacowaniem ułamka: 0 < θx < 1 ⇒ 1 < θx + 1 < 2 ⇒
1
2
<
1
θx+1
< 1,
=
• dla
√
3
1
3
x + 1 = (x + 1) , n = 2 mamy |R2 (x)| =
5|x|3
5
√
¬
3
8
81
81( θx + 1)
f (3) (θx) x3 3!
=
10 (θx + 1)− 83 27
x3 3!
=
dla 0 ¬ x ¬ 1 (wcześniejszy zakres −1 ¬ x ¬ 1 był błędny).
29. (Wyznaczyć sumę szeregu)
1
1
1
(−1)2 (−1)3 (−1)4
•
− + − ... = 1 + (−1) +
+
+
+ ... = e−1 .
2! 3! 4!
2!
3!
4!
x
Korzystamy ze wzoru e =
• 1+
x2
2!
+
x4
4!
∞
X
xk
x2 x3
=1+x+
+
+ ...,
2!
3!
k=0 k!
+ ... = 12 (ex + e−x ).
Dodajemy stronami i dzielimy przez 2 równości:
ex = 1 + x +
x2
2!
+
x3
3!
+
x4
4!
+ ...,
e−x = 1 − x +
x2
2!
−
x3
3!
+
x4
4!
− ....
1 1 1
+ − + ... = ln(1 + 1) = ln 2.
2 3 4
∞
X
(−1)n+1 n
x2 x3 x4
Korzystamy ze wzoru ln(x+1) =
x = x− + − −..., dla −1 < x ¬ 1.
n
2 3 4
n=1
• 1−
x2 0
2x
=
.
2
1−x
(1 − x2 )2
(4 : suma szerego geometrycznego o pierwszym wyrazie a0 i ilorazie q to
• 2x + 4x3 + 6x5 + ... = (x2 + x4 + x6 + ...)0 ,
2
a0
.)
1−q