Politechnika Białostocka

Laboratorium z Podstaw i Algorytmów Przetwarzania Sygnałów
Politechnika
Białostocka
Wydział Elektryczny
Katedra Telekomunikacji i Aparatury Elektronicznej
Instrukcja do zajęć laboratoryjnych
Temat ćwiczenia:
Analiza widmowa. Zastosowanie i właściwości szybkiego
przekształcenia Fouriera
Numer ćwiczenia: 3
Laboratorium z przedmiotu:
Podstawy i Algorytmy Przetwarzania Sygnałów
Kod: W06 047
Opracował: dr inż. Dariusz Jańczak
Temat:
i
właściwości
szybkiego
1. Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest zapoznanie z podstawowymi właściwościami
dyskretnego przekształcenia Fouriera (DFT - ang. Discrete Fourier Transform)
oraz szybkiego przekształcenia Fouriera (FFT- ang. Fast Fourier Transform)).
2. Zagadnienia do opracowania przed przystąpieniem do zajęć
2.1 Przed przystąpieniem do zajęć należy opracować następujące zagadnienia
teoretyczne:
- rodzaje przekształceń Fouriera pozwalające na wyznaczanie widma
różnych typów sygnałów (ciągłe / dyskretne, nieokresowe / okresowe);
- wyznaczanie dyskretnej transformaty Fouriera; transformata odwrotna;
- podstawowe właściwości DFT;
- szybkie przekształcenie Fouriera (FFT); podobieństwa i różnice między
DFT i FFT;
- związki między częstotliwością próbkowania i okresem powtarzania
sygnału, a częstotliwościami prążków widmowych i zakresem widma DFT
(opis osi częstotliwości).
2.2 Przed przystąpieniem do zajęć należy opracować następujące zagadnienia
obliczeniowe:
- korzystając z definicji wyznaczyć DFT ośmioelementowego ciągu
składającego się z 4 jedynek i 4 zer ([1 1 1 1 0 0 0 0]);
- wyznaczyć (korzystając z definicji) odwrotne DFT ciągu uzyskanego w
poprzednim punkcie;
- (zadanie dodatkowe) wyznaczyć FFT ciągu z punktu poprzedniego
([1 1 1 1 0 0 0 0]) stosując algorytm z podziałem czasowym (na wstępie
narysować graf struktury działań i wyznaczyć wartości niezbędnych
operatorów obrotu);
- wyznaczyć splot liniowy i kołowy dwu dowolnie wybranych ciągów
sześcioelementowych.
3. Program ćwiczeń
3.1.
Białystok 2007
Analiza widmowa. Zastosowanie
przekształcenia Fouriera.
Wyznaczyć FFT sygnału zadanego przez prowadzącego (podany sygnał
jest przebiegiem ciągłym). Określić cechy otrzymanego widma (skok i
zakres częstotliwości, liczba prążków, symetria, wartość prążka X(0)).
Podać jego związek z sygnałem spróbkowanym (dziedzina czasowa).
3.2.
Wyznaczyć transformatę odwrotną widma uzyskanego w punkcie 3.1.
Podać jego cechy (skok, zakres czasowy, liczba próbek) i związek z
pierwotnym sygnałem ciągłym.
3.3.
Porównać widmo FFT z punktu 3.1. z teoretycznie wyznaczonym widmem
ciągłym.
3.4.
Zbadać wpływ zmiany częstotliwości próbkowania sygnału na otrzymane
widmo.
3.5.
Zbadać wpływ zmiany długości czasu obserwacji sygnału (przy
niezmienionej częstotliwości próbkowania) na otrzymane widmo.
3.6.
Zbadać zmiany wyznaczonego widma po uzupełnieniu zerami ciągu
czasowego.
3.7.
Na przykładzie transformaty sygnału sinusoidalnego liczonej przy różnych
czasach obserwacji zbadać zjawisko rozmywania widma (zachować stałą
częstotliwość próbkowania).
3.8.
Sprawdzić cechę liniowości FFT na przykładzie transformaty sumy dwu
sygnałów sinusoidalnych o różnych częstotliwościach.
3.9.
Zbadać wpływ przesunięcia sygnału w dziedzinie czasu na widmo
amplitudowe i fazowe.
4. Realizacja ćwiczeń
Dotyczy punków 3.1 – 3.10
Badania symulacyjne należy przeprowadzić w środowisku programu Matlab.
Przydatne funkcje:
- fft(X) - szybkie przekształcenie Fouriera wektora X (ciągu próbek
czasowych)
- ifft(X) - odwrotne przekształcenie Fouriera
- real(X) - część rzeczywista liczby X
- imag(X) - część urojona liczby X
- abs(X) - wartość bezwzględna elementów rzeczywistych macierzy X lub
moduł elementów zespolonych macierzy X
- angle(X) kąt fazowy elementów zespolonych macierzy X (w radianach)
- unwrap(X) - korekcja fazy elementów wektora X (wartości w radianach);
polega na dodaniu do fazy wartości ± 2π
Dotyczy punku 3.11
Moduł DSK
RS232C We Wy
Oscyloskop
Y1
Y2
Wy
Generator funkcyjny
3.10. Zastosować FFT oraz IFFT (odwrotne FFT) do wyznaczenia splotu dwu
ciągów. Porównać ze splotem wyznaczonym teoretycznie.
Rys. 1 Schemat połączeń stanowiska laboratoryjnego DSP
3.11. Analiza widmowa sygnałów.
W punkcie tym prowadzona jest analiza widmowa prowadzona przy pomocy
procedur FFT wykonywanych na procesorze sygnałowym. Uruchamiane
oprogramowanie oblicza transformatę FFT przebiegu podanego na wejście
przetwornika A/C. Wynik obserwowany jest na dołączonym do modułu DSP
oscyloskopie lub monitorze PC. Po załadowaniu i uruchomieniu programu
DSK_SPEC.DSK należy zaobserwować obliczone widma dla różnych
przebiegów wejściowych (sinusoida, trójkąt, prostokąt i inne).
Na podstawie obserwacji określić częstotliwość próbkowania zastosowaną w
analizatorze oraz przelicznik osi czasu w oscyloskopie na oś częstotliwości.
5. Wymagania BHP
W trakcie realizacji programu ćwiczenia należy przestrzegać zasad
omówionych we wstępie do ćwiczeń, zawartych w: „Regulaminie porządkowym
w laboratorium” oraz w „Instrukcji obsługi urządzeń elektronicznych
znajdujących się w laboratorium z uwzględnieniem przepisów BHP”. Regulamin i
instrukcja są dostępne w pomieszczeniu laboratoryjnym w widocznym miejscu.
6. Sprawozdanie powinno zawierać:
-
wnioski dotyczące badanych właściwości FFT;
porównanie FFT z ciągłym przekształceniem Fouriera i DFT;
analizę znaczenia doboru długości ciągu czasowego;
wyniki i wnioski z obserwacji widma oraz analizę przelicznika osi czasu na oś
częstotliwości w analizatorze widmowym;
spostrzeżenia dotyczące błędów numerycznych pojawiających się przy
stosowaniu procedur FFT.
-
uwagi i wnioski nasuwające się w trakcie wykonywania ćwiczenia.
7. Literatura
1. Zieliński T., Cyfrowe przetwarzanie sygnałów: od teorii do zastosowań, WKŁ,
Warszawa, 2005.
2. Stranneby D., Cyfrowe przetwarzanie sygnałów: metody, algorytmy,
zastosowania, BTC, Warszawa, 2004
3. Lyons R., Wprowadzenie do cyfrowego przetwarzania sygnałów, WKŁ,
Warszawa, 1999.
4. Dąbrowski A. (red.), Przetwarzanie sygnałów przy użyciu procesorów
sygnałowych, Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, Poznań, 2000.
5. W. Kwiatkowski, Wstęp do cyfrowego przetwarzania sygnałów, IAiR WAT,
Warszawa 2003.
Dodatek.
W dodatku zamieszczono fragmenty programu ułatwiające realizację ćwiczenia
osobom posiadającym małe doświadczenie w symulacji przebiegów czasowych w
środowisku Matlab.
Symulacje sygnału ciągłego i dyskretnego w środowisku Matlab można otrzymać
poprzez odpowiedni dobór kroku czasowego:
To = 20e-3; % [s] czas obserwacji równy 20ms
Sygnał ciągły:
t = 0 : 0.0001 : To; % wektor chwil czasowych dla których wyznaczane będą
% wartości sygnału s(t)
alf=0.8; % stała czasowa
st = exp(-alf * t); % wartości sygnału s(t)
Sygnał dyskretny z okresem próbkowania Td:
Td = 1e-3; %[s] okresem próbkowania równy 1ms
td = 0: Td : (To – Td); % wektor chwil czasowych (momenty próbkowania)
% dla których wyznaczane będą wartości sygnału
% dyskretnego s(kTd)
Uwaga: Należy wyjaśnić dlaczego w powyższym przykładzie ostatnią próbkę
pobrano w chwili (To-Td)
st = exp(-alf * td); % wartości sygnału s(kTd)