Przykładowe zadania maturalne
Transkrypt
Przykładowe zadania maturalne
Przykładowe zadania maturalne Zadanie 1. Rozwiąż nierówność x3 −x2 ¬ x2 −x i zaznacz jej zbiór rozwiązań na osi liczbowej. Rozwiązanie Przekształcamy równoważnie nierówność x3 − x2 ¬ x2 − x: x3 − x2 − x2 + x ¬ 0, x3 − 2x2 + x ¬ 0, x · x2 − 2x + 1 ¬ 0. Wyrażenie w nawiasie zapisujemy jako kwadrat różnicy dwóch liczb: x · (x − 1)2 ¬ 0. Ponieważ (x − 1)2 0 dla każdej liczby rzeczywistej x, to nierówność x · (x − 1)2 ¬ 0 zachodzi dla x ¬ 0. Zaznaczamy zbiór rozwiązań nierówności x3 −x2 ¬ x2 −x na osi liczbowej. b −2 0 −1 1 2 √ Zadanie 2. Oblicz objętość sześcianu o przekątnej długości 2 3. Rozwiązanie Oznaczmy przez a długość krawędzi tego sześcianu (zob. rys.). √ a 3 a √ a 2 a a 1 √ Wówczas przekątna podstawy, która jest kwadratem o boku a, ma długość a 2, a przekątna sześcianu, która√jest przeciwprostokątną trójkąta prosto√ kątnego o √ przyprostokątnych a i a 2, ma długość a 3. Wobec tego mamy √ równość a 3 = 2 3, skąd a = 2. Z wzoru na objętość sześcianu o krawędzi a (V = a3 ) otrzymujemy, że V = 23 = 8. Zadanie 3. Oblicz średnią ocen końcowych z matematyki w pewnej klasie, korzystając z danych przedstawionych na poniższym wykresie. Oceny: 6 40% 5 30% 10% 4 20% 3 Rozwiązanie Częstości (w %) występowania tych ocen w całym zestawie, przedstawione na diagramie, odpowiadają wagom, z jakimi oceny te występują. Dlatego poszukiwana średnia tych ocen wynosi: 40 30 20 10 4·6+3·5+2·4+1·3 50 ·6+ ·5+ ·4+ ·3= = = 5. 100 100 100 100 10 10 Na podstawie: Henryk Pawłowski: Obowiązkowa matura z matematyki. Toruń, Oficyna Wydawnicza „Tutor”, 2010, str. 29, 97, 116. 2