Elementy analizy funkcjonalnej

SYLABUS - Karta programu przedmiotu
WYDZIAŁ FIZYKI, MATEMATYKI I INFORMATYKI
Rodzaj studiów: studia stacjonarne pierwszego stopnia
Kierunek: MATEMATYKA
Rok akad: 2010/2011
Przedmiot wybieralny kierunkowy 2
Przedmiot: ELEMENTY ANALIZY FUNKCJONALNEJ
Rok studiów:
Semestr:
III
5
ECTS: 7
Rodzaj zajęć:
W
Ć
Liczba godzin w semestrze:
30
30
S
L
Przedmioty wprowadzające:
topologia, algebra liniowa z geometrią, analiza matematyczna I.
Założenia i cele przedmiotu:
powtórzenie zdobytych wiadomości, ich poszerzenie i spojrzenie na wybrane problemy z punktu
widzenia analizy funkcjonalnej.
Metody dydaktyczne:
wykład, metody aktywizujące.
Forma i warunki zaliczenia przedmiotu:
zaliczenie ćwiczeń na podstawie kartkówek w czasie semestru lub na podstawie kartkówki
zaliczeniowej, zdanie egzaminu pisemnego z zadań oraz egzaminu pisemnego lub ustnego z teorii.
TREŚCI PROGRAMOWE
Wykłady:
1.
2.
3.
4.
5.
1. Przestrzenie liniowe i ich podprzestrzenie.
Suma i różnica algebraiczna podzbiorów przestrzeni liniowej. Podprzestrzenie. Zbiory wypukłe,
zbalansowane, gwiaździste. Powłoka wypukła zbioru. Przestrzenie liniowe ilorazowe, kowymiar
przestrzeni.
2. Przestrzenie unormowane.
Norma, równoważność norm, metryka indukowana przez normę, zupełność. Przestrzenie
Banacha. Odwzorowania liniowe. Ograniczoność odwzorowania liniowego. Szeregi w
przestrzeniach unormowanych.
3. Klasyczne przestrzenie ciągowe.
Nierówności Younga, Höldera i Minkowskiego. Przestrzenie c, c 0, c00, l p. Zupełność c, c0, c00, l p.
4. Przestrzenie unormowane c.d.
Przestrzenie ilorazowe i iloczyny kartezjańskie przestrzeni unormowanych. Warunki równoważne
ograniczoności odwzorowania liniowego. Przestrzeń unormowana B(X,Y). Przestrzenie
unormowane skończenie wymiarowe. Własność Heinego Borela. Przestrzenie ośrodkowe.
Twierdzenie Hahna-Banacha dla przestrzeni ośrodkowych. Przestrzeń sprzężona do przestrzeni
unormowanej. Refleksywność.
5. Klasyczne przestrzenie ciągowe c.d.
Ośrodkowość przestrzeni c, c0, c00, l p. Przestrzenie sprzężone do przestrzeni c, c 0, c00, l p.
6. Przestrzenie funkcyjne.
Uzupełnianie przestrzeni unormowanych. Przestrzenie funkcyjne C(Ω), L p(Ω). Twierdzenie
Stone’a-Weierstrassa. Ośrodkowość przestrzeni C(Ω), Lp(Ω). Przestrzenie sprzężone do
przestrzeni C(Ω), Lp(Ω).
7. Funkcjonały na przestrzeni Banacha.
Słaba topologia w przestrzeni Banacha i słaba* topologia w przestrzeni sprzężonej.
Refleksywność przestrzeni c, c0, c00, l p, C(Ω), Lp(Ω).
Ćwiczenia audytoryjne
1. Sprawdzanie własności podzbiorów przestrzeni liniowych, wyznaczanie powłoki wypukłej w R n.
Interpretacje geometryczne wyników.
2. Przykłady norm i przestrzeni unormowanych. Znajdowanie norm odwzorowań liniowych i badanie
ich ograniczoności. Przykłady par norm równoważnych i nie równoważnych.. Sprawdzanie
zbieżności szeregów w przestrzeniach Banacha.
3. Badanie zbieżności w wybranych przestrzeniach. Sprawdzanie zupełności modyfikacji klasycznych przestrzeni ciągowych.
4. Określanie norm klas równoważności w przestrzeni ilorazowej. Przykłady funkcjonałów ograniczonych określonych na modyfikacjach klasycznych przestrzeni ciągowych.
5. Badanie refleksywności modyfikacji klasycznych przestrzeni ciągowych.
6. Określanie norm klas równoważności w przestrzeni ilorazowej dla przestrzeni funkcyjnych. Obliczanie norm operatorów liniowych określonych na przestrzeniach funkcyjnych.
7. Sprawdzanie zbieżności w słabej topologii w przestrzeni Banacha i słabej* topologii w przestrzeni
sprzężonej.
Laboratorium:
Wykaz literatury podstawowej i uzupełniającej:
[1] W. Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, PWN Warszawa 1986
[2] W. Rudin, Analiza funkcjonalna, PWN Warszawa 2002
Wykaz literatury podstawowej i uzupełniającej:
[1] W. Kołodziej, Wybrane rozdziały analizy matematycznej, PWN Warszawa 1982
[2] J. Musielak, Wstęp do analizy funkcjonalnej, PWN Warszawa 1976
[3] Prus, A. Stachura, Analiza funkcjonalna w zadaniach, PWN, Warszawa 2007
[4] K. Yosida, Functional Analysis, New York 1980
Osoba(y) odpowiedzialna(e) za przedmiot:
dr Witold OBŁOZA
Zatwierdził:
dr hab. Teresa WINIARSKA, prof. PK