Rachunek Prawdopodobieństwa MAP1151

Rachunek Prawdopodobieństwa MAP1151 - Wzory na III kolokwium
1. E(aX + b) = aEX + b, D2 (aX + b) = a2 D2 X, (a, b -dowolne liczby)
2. E(X + Y ) = EX + EY
3. D2 (X + Y ) = D2 X + D2 Y + 2Cov(X, Y )
4. Cov(X, Y ) = EXY − EXEY,
Cov(X, Y )
ρXY = √
.
D2 X · D2 Y
5. Jeśli X i Y to niezależne zmienne losowe o skończonej wariancji, to
D2 (X + Y ) = D2 X + D2 Y.
6. Twierdzenie de Moivre’a-Laplace’a:
Niech Sn będzie liczbą sukcesów w n próbach Bernoulliego z prawdopodobieństwem
sukcesu p. Wtedy dla dowolnego x ∈ R


Sn − np
< x −→
P q
n→∞ Φ(x)
np(1 − p)
gdzie Φ(x) to dystrybuanta standardowego rozkładu normalnego N (0, 1).
Stąd

P (Sn < k) = P (Sn < k − 0, 5) ≈ Φ

k − 0, 5 − np 

q
np(1 − p)

P (Sn ¬ k) = P (Sn < k + 0, 5) ≈ Φ

k + 0, 5 − np 

q
np(1 − p)

P (Sn ­ k) = P (Sn > k − 0, 5) ≈ 1 − Φ

k − 0, 5 − np 

q
np(1 − p)

P (Sn > k) = P (Sn > k + 0, 5) ≈ 1 − Φ

k + 0, 5 − np 

q
np(1 − p)

P (Sn = k) = P (k − 0, 5 < Sn < k + 0, 5) ≈ Φ

k + 0, 5 − np 

q
np(1 − p)

−Φ

k − 0, 5 − np 

q
np(1 − p)
7. Centralne Twierdzenie Graniczne Lindeberga-Lévy’ego:
Niech (Xi ) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie,
przy czym 0 < D2 X1 = σ 2 < ∞. Oznaczmy m = EX1 oraz Sn =
n
P
Xi . Wówczas dla
i=1
dowolnego x ∈ R
!
P
Sn − nm
√
<x
σ n
−→
n→∞ Φ(x)
gdzie Φ(x) to dystrybuanta standardowego rozkładu normalnego N (0, 1).