Materiały, przykłady i zadania

METODY MATEMATYCZNE W TECHNICE
Materiały dla specjalności BIM (Budowle - Informacja i Modelowanie)
Witold Cecot
1
Motywacja
Programy komputerowe stosowane przez inżynierów, zarówno do obliczeń jak i przetwarzania informacji o budowlach (BIM), nie mogłyby powstać ani być rozwijane bez matematycznego formułowania
oraz analizy zjawisk i procesów występujących w konstrukcjach. Celem przedmiotu jest zapoznanie Słuchaczy z wybranymi zagadnieniami matematyki aby mogli być świadomymi użytkownikami
oprogramowania obecnie dostępnego oraz tego które pojawi się w bliższej i dalszej przyszłości. Jednocześnie znajomość matematyki jest niezbędna do właściwego zrozumienia mechaniki, niezbędnego do
tego aby inżynier wyposażony w odpowiednie oprogramowanie był znakomitym fachowcem.
2
Przestrzenie wektorowe (liniowe)
Uogólnienie pojęcia wektora stosowanego powszechnie w fizyce
• Definicja: Rzeczywista przestrzeń wektorowa składa się z
(a) V (zbioru obiektów zwanych wektorami, którymi mogą być funkcje, macierze, wektory
fizyczne, ...)
(b) + (działania dodawania przyporządkowującego dowolnej parze elementó zbioru V element
tego zbioru)
(c) ∗ (działania mnożenia przez liczbę przyporządkowującego dowolnej parze składającej się
z liczby rzeczywistej r ∈ R i elementu zbioru V element zbioru V ).
Działania są tak zdefiniowane, że
u+v =v+u
∀u, v ∈ V
(u + v) + w = u + (v + w)
∃θ ∈ V : u + θ = u
∀u, v, w ∈ V
∀u ∈ V
∀u ∈ V, ∃(−u) : u + (−u) = θ
1∗v =v
∀v ∈ V
(rs) ∗ v = r(s ∗ v)
∀r, s ∈ R, v ∈ V
(r + s) ∗ v = r ∗ v + s ∗ v
r ∗ (v + w) = r ∗ v + r ∗ w
∀r, s ∈ R, v ∈ V
∀r ∈ R, v, w ∈ V
Uwaga: Ten sam zbiór V z jednym zestawem działań (+, ∗) może być przestrzenią wektorową,
a z innym zestawem działań może nie być przestrzenią wektorową.
1
• Przykłady przestrzeni wektorowych funkcji
1. F (Ω) - funkcje rzeczywiste Ω → R
2. C 0 (Ω) - ciągłe funkcje rzeczywiste Ω → R
3. C ∞ (Ω) - ciągłe funkcje rzeczywiste z ciągłymi wszystkimi pochodnymi Ω → R
4. C0∞ (Ω) - funkcje C ∞ (Ω) zerujące się na brzegu ∂Ω
5. P (n) (Ω) = span{xα : α = (α1 , α2 , ..., αn ) ∈ N n } - wielomiany n zmiennych (xα1 1 xα2 2 ...xαnn )
(n)
6. P(k) (Ω) = span{xα : |α| = α1 + α2 + ... + αn 6 k ∈ N} - wielomiany stopnia k
(n)
7. Q(k) (Ω) = span{xα : αi 6 k ∈ N} - wielomiany stopnia k ze względu na każdą zmienną
8. L2 (Ω) = {v ∈ F :
R
Ω
v 2 dΩ ∈ R} - klasy funkcji całkowalnych z kwadratem
9. H k (Ω) = {v ∈ L2 (Ω) : D α v ∈ L2 (Ω), ∀|α| 6 k = 0, 1, 2, ...} - przestrzeń Sobolewa rzędu k
Dα =
∂ |α|
, D 0 = 1, H 0 (Ω) = L2 (Ω)
∂xα1 1 ∂xα2 2 ...∂xαnn
Uwaga: Jeżeli 2k > n to H k (Ω) ⊂ C 0 (Ω)
Dla Ω ⊂ R (n = 1)
H 1 − funkcje ciągłe
H 0 − funkcje nieciągłe
H −1 − dystrybucje (będą omówione później)
Przestrzenie Sobolewa są przestrzeniami Banacha z normą
||v||k,Ω =
v
uX Z
u
t
|α|6k Ω
(D α v)2 dΩ
(1)
Są również przestrzeniami Hilberta z iloczynem skalarnym
< v, u >k,Ω =
X Z
|α|6k Ω
D α v D α u dΩ
(2)
Pochodne w przestrzeniach Sobolewa są definiowane w sposób słaby t.zn.
DEF: Funkcja u ∈ L2 (Ω) ma pochodną w sensie słabym jeżeli istnieje funkcja v ∈ L2 (Ω),
taka że
Z
Z
uD α ϕ ddΩ = (−1)|α| vϕ ddΩ
∀ϕ ∈ C0∞ (Ω)
(3)
Ω
Ω
Wtedy funkcja v jest pochodną słabą funkcji u i jest oznaczana Dwα u (Dwα u = v)
Pochodna w sensie klasycznym jest pochodną w sensie słabym.
3
Działania na polach skalarnych (R) i wektorowych (R2, R3)
• Gradient grad (∇) funkcji f : Ω → R
∇f =
∂f
∂f
∂f
i+
j+
k
∂x1
∂x2
∂x3
2
(4)
• Rotacja curl (∇× ) funkcji F : Ω → R3
curlF · n = lim
S→x
F · t dl
=
S
R
∂S
• Dywergencja div (∇·) funkcji F : Ω → R3
divF = lim
V →x
R
∂V
i
j
∂
∂x1
∂
∂x2
∂
∂x3
F1
F2
F3
k ·n
∂F1 ∂F2 ∂F3
F · n dS
=
+
+
V
∂x1
∂x2
∂x3
(5)
(6)
• Laplasjan △ (∇2 ) funkcji f : Ω → R
∂2f
∂2f
∂2f
△f = div(grad(f )) =
+
+
∂x21 ∂x22 ∂x23
(7)
⋄ Właściwości ciągu f → F o = gradf → Go = curlF o → divGo
Range(grad) = Ker(curl)
Range(curl) = Ker(div)
(8)
= Wzór Greena (całkowanie przez części), ∂Ω - gładka krzywa albo wielokąt
Z
oraz
Z
Ω
Ω
u
∂w
dΩ = −
∂xk
u divw dΩ = −
Z
Ω
Z
Ω
∂u
w dΩ +
∂xk
Z
∂Ω
gradu · w dΩ +
u w nk ds
Z
∂Ω
u w · n ds
(9)
(10)
= W szczególności zachodzi tw. o dywergencji
Z
Ω
= Twierdzenie Stokesa
Z
S
divw dΩ =
Z
w · n ds
∂Ω
curlF · n dΩ =
Z
∂S
(11)
F · t ds
(12)
= Całkowanie przez części dla rotacji
Z
Ω
v · curlw dΩ =
Z
Ω
curlv · w dΩ −
Z
∂Ω
v × w ds
• Dla funkcji wektorowych
H 1 (Ω) oznacza, że każda składowa wektora jest funkcją klasy H 1 (Ω)
H(curl, Ω) = {v : curl(v) ∈ L2 (Ω)}
H(div, Ω) = {v : div(v) ∈ L2 (Ω)}
3
(13)
P3 (x3 , y3 )
P2 (x2 , y2 )
P1 (x1 , y1 )
Rysunek 1: Równania krawędzi: li (x, y) = Ai x + Bi y + Ci = 0, [Ai , Bi ] = n, i = 1, 2, 3
4
Interpolacja pól wektorowych w elementach trójkątnych
• H1 (Ω) - ciągłość każdej składowej
"
ux
uy
#
=
"
ξ1
0
#
a1 +
"
ξ2
0
#
"
a2 +
#
ξ3
0
a3 +
"
0
ξ1
#
b1 +
"
0
ξ2
#
b2 +
"
0
ξ3
#
b3
(14)
a1 , a2 , a3 - składowe w kierunku x w węzłach
b1 , b2 , b3 - składowe w kierunku y w węzłach
1.1
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Rysunek 2: Aproksymacja H 1 (Ω)
• H(curl, Ω) - ciągłość składowej stycznej


ux
uy



=
y1 −y
− l1 (x
1 ,y1 )
x1 −x
l1 (x1 ,y1 )

 α1

+
y2 −y
− l2 (x
2 ,y2 )
x2 −x
l2 (x2 ,y2 )

 α2

+
− l3 y(x33−y
,y3 )
x3 −x
l3 (x3 ,y3 )

 α3
(15)
α1 , α2 , α3 - wartości średnie składowych stycznych na krawędziach
• H(div, Ω) - ciągłość składowej normalnej


ux
uy



=
x1 −x
l1 (x1 ,y1 )
y1 −y
l1 (x1 ,y1 )

 β1

+
x2 −x
l2 (x2 ,y2 )
y2 −y
l2 (x2 ,y2 )

 β2

+
x3 −x
l3 (x3 ,y3 )
y3 −y
l3 (x3 ,y3 )
β1 , β2 , β3 - wartości średnie składowych normalnych na krawędziach
4

 β3
(16)
1.1
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Rysunek 3: Aproksymacja H(curl, Ω)
1.1
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Rysunek 4: Aproksymacja H(div, Ω)
Dwukrotnie mniej stopni swobody (3 zamiast 6) przy aproksymacjach typy H(curl, Ω), H(div, Ω)
niż H1 (Ω) wynika z dodatkowych ograniczeń (zależności między składowymi interpolanta) jakie muszą spełniać aby były elementami odpowiednich przestrzeni. Tymi stopniami swobody są średnie
wartości na krawędzi odpowiednio składowej stycznej albo normalnej.
Łatwo wykazać, że ciągłość składowych normalnych pola wektorowego jest warunkiem
koniecznym istnienia dywergencji tego pola w sensie słabym i tym samym aby było ono klasy
H(div, Ω). Rozważmy w tym celu obszar Ω będący sumą dwóch rozłącznych podobszarów Ω− i Ω+ ze
wspólną częścią brzegu Γ (rys. 5), na której przyjmijmy wersor normalny n skierowany na zewnątrz
pierwszego podobszaru Ω− . Przyjmijmy dodatkowo następujące oznaczenia: Γ− = ∂Ω− \ Γ oraz
Γ+ = ∂Ω+ \ Γ. W celu sprawdzenia jakie warunki należy spełnić, aby istniała dywergencja funkcji
n
−
Γ
Ω
Ω+
Rysunek 5: Obszar składający się z dwóch podobszarów
5
wektorowej w : Rn ⊃ Ω → Rn (w = w − dla x ∈ Ω− , w = w + dla x ∈ Ω+ ) w takim podobszarze,
skorzystajmy ze wzoru (9) dla każdej ze składowych wektora w(x1, x2, x3) oraz funkcji testowej
ϕ ∈ C0∞ (Ω). Przykładowo dla w1 zachodzi
Z
Ω
w1
∂w1−
ϕ dΩ +
ϕ w1− n1 ds + ϕ w1− n1 ds +
Ω− ∂x1
Γ−
Γ
Z
Z
Z
+
∂w1
ϕ dΩ +
ϕ w1+ n1 ds − ϕ w1+ n1 ds =
−
+
∂x1
Γ+
Γ
Ω
Z
Z
Z
∂w1
= −
ϕ dΩ +
ϕ w1 n1 ds − ϕ (w1+ − w1− ) n1 ds
Ω ∂x1
∂Ω
Γ
∂ϕ
dΩ = −
∂x1
Z
Z
Z
(17)
Analogiczne tożsamości zachodzą dla w2 , w3 . Ponieważ ϕ = 0 na ∂Ω to warunkiem koniecznym
zerowania się sumy całek po wspólnym brzegu Γ, a tym samym istnienia dywergencji funkcji w
2
3
1
+ ∂w
+ ∂w
jest zerowanie się skoku składowej normalnej (w − − w+ ) · n.
obliczanej jako suma ∂w
∂x1
∂x2
∂x3
5
Metoda multigrid
Układ równań algebraicznych
Ax = b,
A=L+D+U
(18)
• Metody iteracyjne rozwiązywania układów równań algebraicznych
xk+1 = xk + P −1 (b − Axk )
ek = x − xh
(n)
r k = b − Ah xh
Ah eh = r h
−
−
−
−
ogólny schemat iteracji
błąd algebraiczny
residuum
relacja między błędem a residuum
(19)
Przykłady macierzy P (preconditioner)
– P = A - idealna dla zbieżności, niepraktyczna
– P = D - Jacobi
– P = L + D - Gauss-Seidel
Tempo zbieżności zależy od promienia spektralnego ρ(I − P −1 A).
||ek+1 || ≈ |ρ| ||ek ||
(20)
Zwykle jest on bliski 1 i zbieżność jest bardzo wolna.
• Algorytm metody multigrid
Najczęściej jest stosowany dla układów równań wynikających z dyskretyzacji. Rozważmy dwie
dyskretyzacje dla równania zwyczajnego (1D)
Najprostszy algorytm dla dwóch siatek, którym odpowiadają układy równań
A h x h = bh
oraz
6
AH xH = bH
(21)
gęsta siatka
I
R
rzadka siatka
Rysunek 6: Dwie dyskretyzacje z operatorami restrykcji R i interpolacji I
gdzie macierz dla siatki rzadkiej nie jest agregowana tylko obliczana przez t.zw. wariacyjne rozrzedzenie, zachowujące symetrię, t.zn.
AH = RAh I
(22)
jest następujący
(n)
1. Kilka (n) iteracji na siatce gęstej dla Ah xh = bh ⇒ r h = bh − Ah xh . ||r h || < ε → STOP.
2. Restrykcja residuum na siatkę rzadką r H = Rr h
3. Kilka iteracji na siatce rzadkiej dla AH eH = r H
4. Interpolacja błędu eh = IeH
5. Uaktualnienie rozwiązania na siatce gęstej xh = xh + eh . GO TO 1.
6
Całkowe równania brzegowe
• Dla zagadnienia brzegowego 1D
′′
−αu = q,
x ∈ (0, L)
+war. brzegowe
(23)
rozwiązanie fundamentalne to taka funkcja v ∗ (x, ξ), że
′′
−α(v ∗ ) = δξ ,
x, ξ ∈ R
BEZ war. brzegowych
1
v =
α
∗
(
(1 − Lξ )x + L,
(1 − Lx )ξ + L,
∂v ∗
=
T =α
∂x
dla x 6 ξ
dla ξ 6 x
∗
(24)
(
1 − Lξ ,
− Lξ ,
dla x 6 ξ
dla ξ 6 x
(25)
Tożsamość Somigliana dla równania (23)
u(ξ) =
Z
0
L
v ∗ (x, ξ)q(x) dx + [v ∗ (x, ξ)T (x) − T ∗ (x, ξ)u(x)]|x=L
x=0
7
(26)
Przykład: dla zagadnienia
−u′′ = 1
u(0) = 0
u′ (1) = 0
dla x ∈ (0, 1)
(27)
wzór (26) przedstawia rozwiązanie (27) i przyjmuje postać
u(ξ) =
Z
1
0
v ∗ (x, ξ) dx + u(1)ξ − u′ (0)
(28)
Jednak u(1) - przemieszczenie wolnego końca oraz u′ (0) - reakcja na podporze, nie są znane. W
następnym punkcie, na przykładzie 2D, pokazano jak te brakujące wielkości brzegowe można
obliczyć.
• Dla równania Laplace’a definiującego funkcję u(x, y)
−k∆u = f (, y)
w Ω
u = û
na ∂Ωu
ku = q̂
na ∂Ωq
(29)
Tożsamość Somigliana ma postać
cu(ξ) =
Z
Ω
∗
v (x, ξ)f (x) dΩ +
Z
∂Ω
[v ∗ (x, ξ)t(x) − t∗ (x, ξ)u(x)] dγ
(30)
gdzie v ∗ (x, ξ) jest rozwiązaniem fundamentalnym równania Laplace’a czyli spełniająca to równanie bez warunków brzegowych w nieograniczonym obszarze R2 z prawą stroną równą delcie
Diraca δξ
v∗ = −
1
lnr 2 ,
4πk
t∗ = −
1 (x1 − ξ1 )n1 + (x2 − ξ2 )n2
,
2π
r2
r 2 = (x1 − ξ1 )2 + (x2 − ξ2 )2 (31)
Całkowe równanie brzegowe (dla u|∂Ω = û, f = 0): znaleźć t : ∂Ω → R i gładkiego brzegu
1
û +
2
Z
∂Ω
∗
t (x, ξ)û(x) dγ =
Z
∂Ω
v ∗ (x, ξ)t(x) dγ
(32)
Dyskretyzacja t ∈ L2 (∂Ω) klasy L2 i metoda kollokacji prowadzą do układu algebraicznych
równań liniowych
1
ûi + ûj
2
Z
∂γj
t∗ (x, ξi ) dγx = tj
Z
∂γj
v ∗ (x, ξi ) dγx
∀i = 1, 2, . . . , N
(33)
Następnie można skorzystać ze wzoru na rozwiązanie w punktach wewnętrznych
u(ξ) = tj
Z
∂γj
∗
v (x, ξ) dγx − ûj
8
Z
∂γj
t∗ (x, ξ) dγx
(34)
7
Zadania
1. Wielomiany Legendrea są zdefiniowane dla x ∈ [−1, 1] następującym wzorem rekurencyjnym
P0 (x) = 1,
P1 (x) = x,
(n + 1)Pn+1 (x) = (2n + 1)xPn (x) − nPn−1 (x)
(35)
Sprawdzić dla n = 0, 1, 2, że są ortogonalne w przestrzeni L2 ([−1, 1]). Obliczyć ich normy.
2
2. Wykazać,
q że następujące cztery funkcje fi : R ⊃ [−1, 1] → R, f1 (x) = x , f2 (x) = |x|,
f3 (x) = |x|, f4 (x) = 0 gdy x < 0, f4 (x) = 1 gdy x > 0 są elementami przestrzeni L2 ([−1, 1]).
Sprawdzić czy istnieją ich pochodne w sensie słabym i jeżeli tak to je obliczyć.
3. Dla wybranych pól skalarnych i wektorowych sprawdzić twierdzenia (8)-(11).
4. Dla wybranych pól wektorowych i obszaru Ω w kształcie trójkąta obliczyć stopnie swobody dla
aproksymacji H 1 (Ω), H(curl, Ω), H(div, Ω)
5. Zapisać macierze interpolacji i restrykcji dla dwóch siatek, odpowiednio o 5 i trzech węzłach.
Jaka właściwość metod iteracyjnych powoduje, że metoda multigrid jest efektywna. Przedstawić
schematycznie wybrane wersje algorytmu multigrid dla 5 siatek.
6. Rozważmy zagadnienie
−u′′ = 2
u′ (0) = 3
u(1) = 2
dla x ∈ (0, 1)
(36)
Wiedząc dodatkowo, że u(0) = 0, u′(1) = 1 wykazać, że wzór Somigliana daje rozwiązanie
powyższego zagadnienia.
7. Obliczyć ze wzoru Somigliana rozwiązanie równania Laplace’a w środku koła o promieniu długości 2, wiedząc, że na brzegu wartość rozwiązania i jego pochodnej normalnej są równe 1.
9