ZAJĘCIA 3

ZAJĘCIA 3
Pozycyjne miary dyspersji, miary asymetrii, spłaszczenia i koncentracji
MIARY DYSPERSJI: POZYCYJNE, BEZWZGLĘDNE
Rozstęp dwiartkowy (międzykwartylowy)
Rozstęp dwiartkowy określa rozpiętośd tej części obszaru zmienności cechy, w której znajduje się “środkowe”
50% obserwacji.
RQ  Q3 - Q1
Gdzie: RQ – rozstęp dwiartkowy, Q3 – kwartyl III, Q1 – kwartyl I;
Interpretacja1: 50 % środkowych obserwacji obejmuje obszar zmienności badanej cechy o długości RQ
Odchylenie dwiartkowe
Odchylenie dwiartkowe mierzy średnią rozpiętośd w połowie obszaru zmienności. Stanowi połowę różnicy
między trzecim a pierwszym kwartylem:
Qx 
(Q3  Me)  ( Me  Q1 ) Q3  Q1

2
2
Gdzie: Qx – dochylenie dwiartkowe, Q1 – kwartyl I, Q3 – kwartyl III;
Odchylenie dwiartkowe mierzy poziom zróżnicowania tylko części jednostek badanej zbiorowości tzn.
pozostałej po odrzuceniu 25% jednostek o wartościach najmniejszych i 25% o wartościach największych. Miara
ta nie jest wrażliwa na skrajne (nietypowe wartości) i z tego powodu zaleca się jej stosowanie w praktyce.
Pomiędzy odchyleniami: dwiartkowym, przeciętnym i standardowym zachodzi zależnośd: Q<d x<sx
Interpretacja: Wartości badanej cechy różnią się od wartości mediany (środkowej) o +/- Qx jednostek w
zawężonym obszarze zmienności.
Typowy obszar zmienności (pozycyjny)
Warunki zastosowania:

opis tendencji centralnej za pomocą mediany,

oraz opis zróżnicowania za pomocą odchylenia dwiartkowego
Me  Qx  xtypowy  Me  Qx
Gdzie: Me – mediana, Q – odchylenie dwiartkowe
MIARY DYSPERSJI: POZYCYJNE, WZGLĘDNE
Współczynnik zmienności (pozycyjny)
VQ 
Qx
 100
Me
Gdzie: VQ – współczynnik zmienności dla miar pozycyjnych, Qx – odchylenie dwiartkowe, Me – mediana;
Interpretacja: Zróżnicowanie cechy X mierzone odchyleniem ćwiartkowym wynosi VQ wartości mediany.
1
Por. Jarosław Podgórski, Statystyka dla studiów licencjackich, Polskie Wydawnictwo Ekonomiczne, Warszawa 2005 r., s. 65.
Zajęcia 3.
Materiały pomocnicze do dwiczeo
STATYSTYKA
mgr Emilia Modranka,
[email protected]
Strona 1 z 6
MIARY ASYMETRII
Miary asymetrii (skośności) służą do określenia czy przeważająca liczba jednostek znajduje się powyżej, czy
poniżej przeciętnego poziomu badanej cechy. Asymetrię rozkładu najłatwiej określid przez porównanie
dominanty, mediany i średniej arytmetycznej.
ROZKŁAD SYMETRYCZNY
x  Me  Do
x  Me  Do
ASYMETRIA PRAWOSTRONNA (DODATNIA)
Do  Me  x
Do  x
x  Do  0
Mo=Do
ASYMETRIA LEWOSTRONNA ( UJEMNA)
Do  Me  x
Do  x
x  Do  0
Mo=Do
Wskaźnik skośności
Jest wielkością bezwzględną przyjętą do określania kierunku asymetrii.
Wskaźnik skośności dla miar klasycznych
x  Do
x  Do  0 - rozkład symetryczny
x  Do  0 - asymetria prawostronna
x  Do  0 - asymetria lewostronna
Wskaźnik skośności dla miar pozycyjnych
(Q3  Me)  (Me  Q1 )  Q3  2Me  Q1
Q3  2Me  Q1  0 - rozkład symetryczny
Q3  2Me  Q1  0 - asymetria prawostronna
Q3  2Me  Q1  0 - asymetria lewostronna
Interpretacja:

Szereg cechuje asymetria dodatnia *wskaźnik >0+ oznacza to, że większośd jednostek osiągnęło poziom
badanej cechy [X] poniżej przeciętnej.

Szereg cechuje asymetria ujemna *wskaźnik <0+ oznacza to, że większośd badanych jednostek
osiągnęło poziom badanej cech *X+ powyżej przeciętnej
Współczynnik asymetrii
Zajęcia 3.
Materiały pomocnicze do dwiczeo
STATYSTYKA
mgr Emilia Modranka,
[email protected]
Strona 2 z 6
Określa zarówno kierunek jak i siłę asymetrii. Jest miarą niemianowaną, co umożliwia porównanie asymetrii
rozkładów dwóch zbiorowości.
Współczynnik asymetrii dla miar klasycznych
x  Do
,
sx
x  Do
Ad 
dx
As 
Współczynnik asymetrii dla miar pozycyjnych
AQ 
Q3  2Me  Q1 Q3  2Me  Q1

Q3  Q1
2Qx
Gdzie: x - średnia, Do – dominanta, Me – mediana, s x - odchylenie standardowe, dx - odchylenie przeciętne,
Q3 – kwartyl III, Q1 – kwartyl I, Qx – odchylenie dwiartkowe
Wartośd współczynnika asymetrii zawiera się w przedziale <-1,1>. W rozkładzie symetrycznym, przy określaniu
pozycyjnego współczynnika asymetrii korzysta się z faktu, iż kwartyl III jest tak samo odległy od mediany jak
kwartyl I.
Im większa wartośd bezwzględna współczynnika asymetrii, tym silniejsza jest asymetria badanego rozkładu. Dla
bezwzględnej wartości współczynnika asymetrii przyjmuje się że:

0,2 – niewielka siła asymetrii;

0,3-0,6 – przeciętna siła asymetria;

0,7 – 1,0 – rozkład o dużej asymetrii
Jeśli szereg nie jest skrajnie asymetryczny to pomiędzy miarami zachodzi przybliżona równośd:
Interpretacja: Szereg cechowała asymetria *dodatnia /ujemna – +,co oznacza, że większośd jednostek przyjmuje
wartości cechy ,poniżej/powyżej przeciętnej+. Szereg charakteryzuje się *wskazad na siłę asymetrii+.
MIARY SPŁASZCZENIA I KONCENTRACJI
Statystyczny opis struktury zjawisk masowych może byd również dokonany pod względem koncentracji.
Koncentrację rozumie się dwojako:

jako nierównomierny podział zjawiska w zbiorowości;

jako koncentrację zbiorowości wokół średniej (tzw. kurioza)
Istnieje ścisły związek między koncentracją wartości zmiennej wokół średniej a ich zróżnicowaniem. Im większe
jest zróżnicowanie, tym mniejsza jest koncentracja.
Wielobok (krzywa) koncentracji Lorenza
Jest metodą graficzną badania siły koncentracji. Podstawę do wykreślenia krzywej koncentracji stanowią:

Skumulowane wskaźniki struktury (odsetki) jednostek (liczebności) na osi odciętych (0X);

Skumulowane łączne wartości cechy (środków przedziałów klasowych, warianty * ich liczebności) na
osi rzędnych (0Y);
W przypadku równomiernego rozdziału cechy między wszystkie jednostki zbiorowości, wszystkie punkty
leżałyby na przekątnej kwadratu o boku 100. Stąd linia ta nosi nazwę linii równomiernego rozdziału.
Zajęcia 3.
Materiały pomocnicze do dwiczeo
STATYSTYKA
mgr Emilia Modranka,
[email protected]
Strona 3 z 6
Rysunek 1. Krzywa lorenza koncentracji dochodów
Źródło: http://www.nbportal.pl/pl/np/artykuly/finanse/miary-nierownosci-w-dochodach
Powierzchnia koncentracji - powierzchnia pomiędzy linią równomiernego rozdziału a krzywą Lorenza.
Na podstawie wykresu można zorientowad się jak silna koncentracja występuje. Im większe pole tym mniejsza
równomiernośd w rozkładzie cechy.
Koncentracja całkowita
Koncentracja duża
Koncentracja słaba
Brak koncentracji
Wyznaczanie krzywej koncentracji Lorenza
Dane
1
2
Warianty Liczebności
cechy
Środki
przedziałów
klasowych
xid - xig
xsrodek
ni
3
4
5
6
Łączna
Wskaźnik
wartość cechy struktury
jednostek
(liczebności)
Odsetek łącznych wartości
cechy
Skumulowane
wskaźniki struktury
jednostek
Skumulowane
odsetki łącznych
wartości cechy
xśrodek*ni
zi=(xśrodek*ni)/(suma z ni)
Sk w1
Sk z1
wi=ni/(suma z ni)
Na odpowiednich osiach odkładamy wartości sk_wi i sk_zi;
Współczynnik koncentracji Lorenza
Wzór współczynnika koncentracji
Zajęcia 3.
Materiały pomocnicze do dwiczeo
STATYSTYKA
mgr Emilia Modranka,
[email protected]
Strona 4 z 6
 sk _ zi  sk _ zi 1 
0,5   
  wi
2

i 1 
KL 
0,5
k
Dla pierwszego wyrazu
sk _ zi  sk _ zi1 sk _ zi
=
2
2
KL należy do przedziału <0,1>; KL=0 – brak koncentracji, KL=1 – silna koncentracja.
Słaba koncentracja jest związana z dośd równomiernym podziałem łącznej wartości badanej cechy pomiędzy
jednostki statystyczne opisywane przez daną cechę.
Kurtoza – współczynnik koncentracji
Jest względną miarą skupienia poszczególnych wartości zmiennej wokół średniego poziomu wartości danej
cechy.
m4
K
s x4
s 4x - odchylenie standardowe do IV potęgi m4 - moment centralny czwartego rzędu:
Moment centralny czwartego rzędu
Szereg szczegółowy
∑( x
m4 
i
Szereg rozdzielczy punktowy
 x)4
i
N
∑( x  x )

∑n
i
m4
4
Szereg rozdzielczy przedziałowy
 ni
i
i
m4
i
∑( x  x )

∑n
4
 ni
i
i
i
i
Współczynnik ekscesu
K'
m4
s
4
x
3
Gdzie: oznaczenia analogiczne jak w kurtozie
Współczynnik koncentracji oraz ekscesu informuje o tym, czy koncentracja wartości badanej zmiennej wokół
średniej w danym rozkładzie jest większa, czy mniejsza niż w zbiorowości o rozkładzie normalnym.
Ze względu na stopieo skupienia można wyróżnid następujące przedziały wartości współczynnika koncentracji
(kurt ozy) i ekscesu.
Rodzaj rozkładu
K
K’
Platokurtyczny (spłaszczony)
K<3
K’<0
Normalny
K=3
K’=0
Leptokurtyczny (wysmukły)
K>3
K’>0
Zajęcia 3.
Materiały pomocnicze do dwiczeo
STATYSTYKA
mgr Emilia Modranka,
[email protected]
Strona 5 z 6
Rysunek 2. Krzywe liczebności przy różnym stopniu skupienia wokół wartości średniej
Zajęcia 3.
Materiały pomocnicze do dwiczeo
STATYSTYKA
mgr Emilia Modranka,
[email protected]
Strona 6 z 6