Matematyka – Ćwiczenia Zestaw 1. Pochodne cząstkowe.

Wydział Zarządzania – Matematyka – Ćwiczenia
Zestaw 1. Pochodne cząstkowe.
Zadanie 1.1. Wyznaczyć pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji:
a) f (x, y) = x3 y + 2xy
c) f (x, y) =
x2
b) f (x, y) = ex (cos x + x sin y)
y
+ y2
d) f (x, y) =
x−y
x+y
2
e) z = xy
f) z = exy
g) z = ln (x + x2 − y 2 )
h) z = arc tg
i) f (x, y, z) = x2 y 2 z 4 + 3xy
j) f (x, y, z) = x5 y 10 − x3 sin z + y 2 ex
k) f (x, y, z) = ln (x + y + z)
l) f (x, y, z) = sin (x2 + y 2 + z 2 )
m) u = ex (x2 + y 2 + z 2 )
n) u = exyz
y
x
Zadanie 1.2. Obliczyć wszystkie pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji:
a) f (x, y) = x3 + xy 2 − 5xy 3 + y 5 b) f (x, y) = xy +
c) f (x, y) = sin(x + y)
x
e) z = ln
y
d) f (x, y) = exy
g) f (x, y) = x2 + xey
h) u = e3x
x2
y3
f) z = arc tg xy
2 +4y
Zadanie 1.3. Znaleźć gradienty podanych funkcji we wskazanych punktach:
a) f (x, y) = x2 y 3 − x sin y,
P0 (−2, 0)
y
√
P0 14 , 9
b) f (x, y) = x y + √ ,
x
p
c) z = x2 − y 2 ,
P0 (−5, 3)
d) z = ln(x2 + y 2 ),
P0 (3, −4)
e) f (x, y, z) = x3 + 3xyz + yz 3 ,
4
f) f (x, y, z) = (3x2 y + z 4 ) ,
g) u = x5 y 10 − x3 sin z + y 2 ex ,
P0 (5, −2, 1)
P0 (−1, 0, 1)
P0 (−1, 1, 0)