docrozwiązanie - Olimpiada Fizyczna
download 
Reklamacja Transkrypt
rozwiązanie - Olimpiada Fizyczna
50OF II T3 KO OF Szczecin: www.of.szc.pl L OLIMPIADA FIZYCZNA (2000/2001). Etap II, zadanie 3, teoretyczne - T3. ŹródÃlo: 50 lat olimpiad fizycznych.Wybrane zadania z rozwiazaniami , Autor: pod red. Janiszewski P. Mostowski J. PWN, Warszawa 2002 Nazwa zadania: Ramka w polu magnetycznym DziaÃly: Elektromagnetyzm SÃlowa kluczowe: Pole magnetyczne, ramka, zewntrzne źródÃlo napiecia, amplituda drgań , Zadanie teoretyczne - T3, zawody II stopnia, L OF (2000/2001) Kwadratowa ramka o boku L jest zbudowana z cienkich jednorodnych pretów, z których każdy ma , mase, m i opór elektryczny R. Ramke, umieszczono w pionowym, jednorodnym polu magnetycznym o indukcji B w ten sposób, że może sie, ona obracać bez tarcia wokóÃl poziomej osi pokrywajacej sie, z , jednym z jej boków rys.1. Rozpatrz nastepuj ace sytuacje: , , a) W obwód ramki wÃlaczono źródà l o staà l ego napi ecia zewnetrznego U rys.2. Wyznacz poÃlożenie , , , równowagi, czyli kat odchylenia ramki od pionu. , b) Zewnetrzne źródà lo napiecia usunieto i zwarto końce tak, że ramka stanowi obwód zamkniety. , , , , Nastepnie ramk e odchylono od pionu i puszczono swobodnie. Oblicz po jakim czasie amplituda drgań , , zmaleje do poÃlowy. Przyjmij, że opór R jest duży (sÃlabe tÃlumienie i zaniedbywalny wpÃlyw samoindukcji), a amplituda drgań jest maÃla (przypadek maÃlych drgań). U g B α rys.1 rys2. Wskazówka 1. Równanie ruchu ciaÃla drgajacego w obecności siÃly oporu proporcjonalnej do , predkości: , ma = −kx − bv , (1) √ ma dla b < 2 km rozwiazanie w postaci: , x(t) = x0 exp(−λt) sin(ωt + φ) , (2) √ gdzie λ = b(2m) oraz ω = km − λ2 , a x0 i φ sa, wyznaczone przez warunki poczatkowe. , Wskazówka 2. Moment bezwÃladności jednorodnego preta o masie m i dà l ugości L, wzgledem osi , , 2. obrotu prostopadÃlej do preta i przechodz acej przez jego koniec wynosi I = (13)mL 0 , , Rozwiazanie , Oprac. PDFiA US - 1/3 - www.dydaktyka.fizyka.szc.pl 50OF II T3 KO OF Szczecin: www.of.szc.pl a) Oznaczmy przez α kat , odchylenia ramki od pionu. PoÃlożenie równowagi możemy wyznaczyć z warunku równości momentu siÃly grawitacyjnej oraz momentu siÃly z jaka, pole magnetyczne dziaÃla na ramke. wzgledem osi obrotu jest suma, momentów siÃly dziaÃlajacych na trzy , , Moment siÃly cieżkości , , niezamocowane ramiona ramki. Moment siÃly cieżkości dziaà l aj acy na prostopadà l e do osi obrotu ramie, , , ramki jest taki, jakby siÃla zaczepiona byÃla w środku cieżkości, a wiec , , (12)Lmg sin α. Moment siÃly cieżkości dziaà l aj acy na równolegà l e do osi obrotu rami e ramki wynosi Lmg sin α. A wiec , , , , caÃlkowity moment siÃly cieżkości dziaÃlajacy na ramke, wynosi , , µ Mg = ¶ 1 1 + + 1 Lmg sin α = 2Lmg sin α. 2 2 (3) Aby obliczyć moment siÃly, z jaka, pole magnetyczne dziaÃla na ramke, znajdźmy najpierw nateżenie , pradu elektrycznego pÃlynacego w obwodzie ramki. Z prawa Ohma znajdujemy , , J= U . 4R (4) Moment siÃly dziaÃlajacej na przewodnik równolegÃly do osi obrotu (prostopadÃly do pola magnetycznego) , wynosi MB = L2 JB cos α . (5) Moment siÃly dziaÃlajacej Ãlacznie na oba prostopadÃle do osi obrotu boki ramki wynosi zero. PoÃlożenie , , równowagi wyznaczone jest przez równość momentów siÃl Mg i MB , a wiec , 2Lmg sin α = L2 B Ostatecznie tgα = U cos α . 4R LBU . 8mgR (6) (7) b) Moment bezwÃladności ramki wzgledem osi pokrywajacej sie, z górnym bokiem jest suma, mo, , mentów bezwÃladności poszczególnych elementów. Moment bezwÃladności ramienia równolegÃlego do osi obrotu wynosi mL2 . Ze wskazówki 2 wiemy, że moment bezwÃladności każdego z pretów prostopadÃlych , do osi obrotu jest równy 13 mL2 , a wiec caà l kowity moment bezwà l adności jest równy , 5 I = mL2 . 3 (8) Moment siÃly cieżkości, jak pokazaliśmy w poprzednim punkcie, w przybliżeniu maÃlych wychyleń jest , równy (9) Mg = 2mgL sin α ∼ = 2mgLα. W tej sytuacji inna jest fizyczna przyczyna pojawienia sie, pradu elektrycznego w obwodzie ramki. , Powstaje on w wyniku zmiany strumienia pola magnetycznego przechodzacego przez powierzchnie, , ramki. Jeśli ramka nachylona jest pod katem α do pionu, strumień ten wynosi , Φ = L2 B sin α ∼ = L2 Bα, (10) gdzie, podobnie jak poprzednio, użyliśmy przybliżenia maÃlych katow. Zmiana strumienia pola mag, netycznego wynosi wiec , dΦ dα = L2 B . (11) dt dt Ta zmiana strumienia pola magnetycznego indukuje w obwodzie ramki prad , elektryczny równy J= Oprac. PDFiA US BL2 dα . 4R dt - 2/3 - (12) www.dydaktyka.fizyka.szc.pl 50OF II T3 KO OF Szczecin: www.of.szc.pl Podstawiajac pradu do wyprowadzonego w poprzednim punkcie wyrażenia , teraz te, wartość nateżenia , , na moment siÃly MB otrzymujemy w przybliżeniu maÃlych wychyleń MB = L4 B 2 dα . 4R dt (13) Skorzystamy teraz z równania ruchu obrotowego ramki pod wpÃlywem obliczonych powyżej momentów siÃl d2 α I 2 = Mg + MB . (14) dt Wstawiajac , wartość momentu bezwÃladności oraz momentów siÃl dostajemy 5 L4 B 2 dα d2 α mL2 2 = −2mgLα − . 3 dt 4R dt (15) Jest to wÃlaśnie równanie ruchu ciaÃla drgajacego w obecności siÃly oporu proporcjonalnej do predkości. , , Zatem zgodnie ze wskazówka, 1 znajdujemy wartość λ λ = 3L2 B 2 (40mR) . (16) Obecność pola magnetycznego prowadzi wiec , do zmniejszania amplitudy drgań ramki. Ponieważ λ jest odwrotnie proporcjonalne do R, a wiec , , tÃlumienie jest maÃle dla dużych wartości R. Jeśli poczatkowo amplituda drgań byÃla równa α0 , to po czasie t jej wartość wyniesie α0 exp(−λt), zgodnie ze wskazówka. , Dwukrotne zmniejszenie amplitudy nastapi po czasie τ , takim źe exp(−λτ ) = 21 . A wiec , , τ = ln 2λ. W rozwiazaniu pomineliśmy efekty samoindukcji, co jest uzasadnione dla dużych wartości R. , , Oprac. PDFiA US - 3/3 - www.dydaktyka.fizyka.szc.pl
