Ułamki zwykłe

Ułamki zwykłe
mgr Janusz Trzepizur
Ułamek jako część całości
W ułamku wyróżniamy licznik i mianownik.
licznik
kreska ułamkowa
1
2
mianownik
1
2
(czytamy: jedna druga) czyli połowa całości.
Dwie takie połowy tworzą całość.
Jaką część figury zamalowano?
Odp.: Zamalowano
(czytamy: trzy ósme) figury.
W liczniku piszemy liczbę zamalowanych części.
W mianowniku piszemy liczbę wszystkich części
z których składa się ta figura.
Jaką część poniższych figur zamalowano?
Ułamek zwykły jako iloraz
licznik
kreska ułamkowa
1
2
mianownik
1
1: 2 = 2
Iloraz dwóch liczb możemy zapisać w postaci ułamka,
gdzie dzielna jest licznikiem, znak dzielenia kreską
ułamkową, a dzielnik mianownikiem.
Ułamki właściwe
Ułamek nazywamy właściwym, jeżeli licznik jest liczbą
mniejszą od mianownika.
3
5
3<5
Przykłady ułamków właściwych:
5<8
,
1<6
,
3<4
Ułamki niewłaściwe
Ułamek nazywamy niewłaściwym, jeżeli licznik jest
liczbą większą lub taką samą jak liczba w mianownika.
6
5
6>5
6
6
6=6
Przykłady ułamków niewłaściwych:
7>3
,
9>7
,
3=3
Liczbę 1 można zapisać w postaci ułamka, w którym licznik równy
jest mianownikowi.
1=
5
5
5=5
1=
1
1
1=1
Każdą liczbę naturalną można zapisać w postaci ułamka, w
którym licznik jest wielokrotnością mianownika.
3=
5=
2·3
2
3·5
3
6
2
=
15
=3
6:2=3
15 : 3 = 5
Liczba mieszana
Liczbą mieszaną nazywamy liczbę złożoną z
całości i ułamka właściwego.
2
3
5
Zamiana liczby mieszanej na
ułamek niewłaściwy
Każdą liczbę mieszaną możemy zamienić na ułamek niewłaściwy
w następujący sposób:
1. Mnożymy liczbę z mianownika przez liczbę całości.
2. Sumę otrzymanego iloczynu i liczby z licznika zapisujemy nad
kreską ułamkową.
3. Mianownik pozostawiamy bez zmian.
2
3
5
=
2·5+3
5
=
13
5
Zamiana ułamka niewłaściwego na
liczbę mieszaną
Każdy ułamek niewłaściwy możemy zamienić na liczbę mieszaną
w następujący sposób:
1. Dzielimy liczbę z licznika przez liczbę z mianownika.
2. Otrzymaną część całkowitą ilorazu zapisujemy przed ułamkiem,
a resztę z dzielenia wpisujemy do licznika.
3. Mianownik pozostawiamy bez zmian.
13
5
=2
3
5
2
13 : 5
- 10
3
Skracanie ułamków
Aby skrócić ułamek, trzeba licznik i mianownik podzielić przez
taką samą liczbę różną od 0.
12
16
=
12 : 4
16 : 4
=
3
4
Ponieważ licznik i mianownik można było podzielić przez
taką samą liczbę (w tym przypadku liczbą taką jest 4).
Ponieważ nie
znajdziemy liczby
która byłaby
wspólnym
dzielnikiem liczb 3 i
4, wówczas
mówimy, że ten
ułamek jest
nieskracalny.
Po skróceniu wartość ułamka się nie zmienia.
Jeżeli ułamek nie można skrócić (czyli znaleźć takiej liczby, która
byłaby dzielnikiem licznika i mianownika), to mówimy, że jest on
ułamkiem nieskracalnym.
Zadanie 1
Skróć ułamki:
=
=
=
=
=
Rozszerzanie ułamków
Aby rozszerzyć ułamek, należy jego licznik i mianownik pomnożyć
przez taką samą liczbę, różną od zera.
2
3
=
2·4
3·4
8
= 12
Po rozszerzeniu
wartość ułamka się
nie zmienia.
Porównywanie ułamków
Jeśli dwa ułamki mają jednakowe mianowniki, to większy jest ten,
który ma większy licznik.
4>3
4
5
>
5=5
2>1
3
5
2
3
>
3=3
5<7
1
3
5
9
<
9=9
7
9
Jeśli dwa ułamki mają jednakowe liczniki, to większy jest ten,
który ma mniejszy mianownik.
5=5
3=3
5
4
3
2
<
4>3
5
3
<
2>1
3
1
9=9
9
5
>
5<7
9
7
Dodawanie ułamków zwykłych o
jednakowych mianownikach
Dodawanie ułamków zwykłych o tych samych mianownikach
polega na dodaniu do siebie liczników i przepisaniu bez zmian
mianownika.
4
5
3
5
+ =
4+3
5
7
5
= =1
2
5
Odejmowanie ułamków zwykłych o
jednakowych mianownikach
Odejmowanie ułamków zwykłych o tych samych mianownikach
polega na odjęciu do siebie liczników i przepisaniu bez zmian
mianownika.
4
5
-
3
5
=
4-3
5
=
1
5
Dodawanie liczb mieszanych
W dodawaniu liczb mieszanych, dodajemy najpierw liczby
całkowite, a następnie ułamki.
2
4
3
2
4
1
4
+
+1 == 4
Najpierw dodajemy całości:
3+1=4
1
4
3
4
=
3
4
Dodawanie ułamków zwykłych o
różnych mianownikach
Dodawanie ułamków zwykłych o różnych mianownikach polega
na sprowadzeniu ułamków do wspólnego mianownika i wykonaniu
działania.
2
3
1
4
8
12
3
12
+ = + =
Wspólna najmniejsza wielokrotność
liczb 3 i 4 to 12 – wspólny mianownik
tych liczb.
8+3
12
=
11
12
Odejmowanie ułamków zwykłych o
różnych mianownikach
Odejmowanie ułamków zwykłych o różnych mianownikach polega
na sprowadzeniu ułamków do wspólnego mianownika i wykonaniu
działania.
2
2
1
3
6
6
2
6
- = - =
Wspólna najmniejsza wielokrotność
liczb 2 i 3 to 6 – wspólny mianownik
tych liczb.
6-2
6
4
6
4
6
= =
=
2
3
4:2 2
=
6:2 3
skracamy ułamek
Odejmowanie liczb mieszanych
W odejmowaniu liczb mieszanych, odejmujemy najpierw liczby
całkowite, a następnie ułamki.
2
3
3
2
3
1
3
-
- 1 == 2
Najpierw odejmujemy całości:
3–1=2
1
3
1
3
=
1
3
Ponieważ odjemnik jest większy od
odjemnej, to nie możemy wykonać
odejmowania.
3
1
3
2
3
4
3
2
3
2
3
- 1 ==2 -1 = 1
Dlatego całość zmniejszamy o jeden. A jeden zapisujemy w
postaci ułamka i dodajemy do ułamka liczby mieszanej.
3
1
3
3
3
1
3
=2 + = 2
4
3
Mnożenie ułamków zwykłych przez liczbę
Mnożenie ułamka przez liczbę polega na pomnożeniu liczby przez
licznik ułamka (jeżeli istnieje taka możliwość, przed mnożeniem
skracamy liczbę z mianownikiem) i przepisaniu mianownika bez
zmian.
4·
2
3
=
4·2
3
8
=
3
2
8
3
= =2
2
3
2
8:3
-6
2
2
3
4
8·
2
6
=
4·2
3
8
3
= =2
2
3
· =
8
3
3
8=
8
1
4
8
1
2
63
Największy wspólny dzielnik liczb 8 i 6 to 2, dlatego licznik
pierwszego i mianownik drugiego dzielimy przez 2
Skracanie ułamków „na krzyż”, polega na podzieleniu
licznika pierwszego i mianownika drugiego przez taką
samą liczbę i odwrotnie.
Mnożenie ułamków przez siebie
Mnożenie ułamka przez siebie polega na pomnożeniu ich
liczników i zapisaniu otrzymanego wyniku w liczniku oraz
obliczeniu iloczynu mianowników i zapisaniu uzyskanego wyniku
w mianowniku.
Przed wykonaniem obliczeń skracamy, jeżeli jest to możliwe,
wybrane liczby z licznika z wybranymi liczbami z mianownika.
2
3
· =
5
7
2·5
3·7
=
10
21
Mnożenie liczb mieszanych
Mnożenie liczb mieszanych polega na zamianie ich na ułamki
niewłaściwe i wykonaniu działania.
Po zamianie liczb mieszanych na ułamki niewłaściwe skracamy
je, jeżeli jest to możliwe, wybrane liczby z licznika z wybranymi
liczbami z mianownika.
2
2·3+2
8
=3
23= 3
3
2
7
1 ·2
2
3
= · = · = =3
9
7
2
1·7+2
9
=7
17 = 7
8
3
1
3 8
7 1
24
7
3
7
Potęgowanie ułamków zwykłych
Potęgowanie ułamków polega na pomnożeniu przez siebie
określonej liczby ułamków zwykłych.
2
3
2
1
2
2
=
2
2
3
2
3
= · =
5
2
2
5
2
5
2
4
9
25
4
= · = =6
1
4
Odwrotność ułamka
Odwrotnością ułamka nazywamy ułamek, w którym zamienione
zostały miejscami liczba z licznika z mianownikiem.
Liczba zero nie ma swojej odwrotności.
Każdą liczbę mieszaną i każdą liczbę naturalną możemy zapisać
w postaci ułamka zwykłego i podać jej odwrotność.
2
3
3
2
2
3
Ułamkiem odwrotnym do 3 jest ułamek 2 .
Dzielenie ułamków zwykłych
Aby podzielić dowolną liczbę przez ułamek, należy tę liczbę
pomnożyć przez odwrotność ułamka.
2
3
2
3
: = · =
5
7
7
5
2
3
: 2= · =
2
3
2
2
= 1
1
2
1
2
2·7
3·5
2·1
3·2
=
2
6
14
15
= =
1
3
Obliczanie ułamka danej liczby
Aby obliczyć ułamek danej liczby, należy ten ułamek pomnożyć
przez daną liczbę.
Oblicz 2/3 liczby 120
40
2
3
1
· 120 = 80
Zadanie 1
Przerwa trwa 1/6 godziny. Oblicz, ile to minut.
Jedna godzina to 60 minut, więc
10
1
6
1
· 60 = 10
Odp.: Przerwa trwa 10 minut.
Zadanie 2
W klasie jest 30 uczniów. Jeżeli 2/3 klasy to dziewczyny, to
ilu chłopców jest w tej klasie?
Chłopcy stanowią
1-
2
1
3 = 3
10
1
3
1
· 30 = 10
Odp.: Chłopców w tej klasie jest 10.
Obliczanie liczby z danego jej ułamka
Aby obliczyć liczbę, mając wartość danego jej ułamka musimy
podzielić tę wartość przez ułamek.
2/3 tej liczby – to 20. Jaka to liczba?
10
20 :
2
3
=20 · = 30
Odp.: Liczba tą jest 30.
3
21
Zadanie 1
W klasie jest 8 chłopców, którzy stanowią ¼ całej klasy. Ile
jest wszystkich uczniów w tej klasie?
8:
1
4
= 8 · = 32
4
1
Odp.: Wszystkich uczniów w tej klasie jest 32.
Zadanie 2
Ania poświęca 1/3 wolnego czasu na oglądanie telewizji, a
pozostałe 6 godzin na naukę. Ile czasu Ania ogląda
telewizję?
Na naukę Ania poświęca 6 godzin co stanowi
1 – 1/3 = 2/3 jej wolnego czasu.
6:
2
3
3
wolny
czas Ani
=6 · =9
3
2
1
czas na
oglądanie TV
Odp.: Ania na oglądanie telewizji poświęca 9 h – 6 h = 3 h.
wolny czas
Ani
czas na naukę
Bibliografia
• H. Lewicka i E. Rosłon, „Matematyka wokół nas” (klasa 4 i 5), Nowa
Era, Warszawa 1999.
• J. Brdnarczuk i J. Bednarczuk, „Matematyka w segregatorze” (klasa
4 i 5), WSiP, Warszawa 2006.
• Ł. Badowski, A. Chmielecka, A. Trajnerowicz, Ewa i Krzysztof
Werner-Malento, „Kompendium szóstoklasisty MATEMATYKA”,
Papilon.
• S. Durydlwka i S. Łęski, „Mogę zostać Pitagorasem” (klasa 5),
Adam, Warszawa 1999.