wolnej liczby naturalnej n

Zasada indukcji zupełnej
Zadanie 1. Udowodnić metodą indukcji matematycznej, że dla dowolnego dowolnej liczby naturalnej n zachodzą równości
n(n+1)
,
2
12 + 22 + . . . + n2 = n(n+1)(2n+1)
,
6
2 (n+1)2
n
13 + 23 + . . . + n3 =
,
4
2
2
n−1 2
,
1 − 2 + . . . + (−1) n = (−1)n−1 n(n+1)
2
1 · 2 + 2 · 3 + . . . + n(n + 1) = n(n+1)(n+2)
,
3
(a) 1 + 2 + . . . + n =
(b)
(c)
(d)
(e)
(f) 1 · 2 · 3 + 2 · 3 · 4 + . . . + n(n + 1)(n + 2) =
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
1
1·2
n
∑
+
1
2·3
+ ... +
1
n(n+1)
=1−
n(n+1)(n+2)(n+3)
,
4
1
,
n+1
(2i − 1) = n2 ,
i=1
n
∑
(2i − 1)3 = n2 (2n2 − 1),
i=1
n
∑
(4i − 3) = n(2n − 1),
i=1
n
∑
i=1
n
∑
i=1
2i = 2 + (n − 1)2n+1 ,
2 · 3i−1 = 3n − 1.
Zadanie 2. Udowodnić metodą indukcji matematycznej, że dla dowolnej liczby
naturalnej n prawdziwe są podzielności:
(a) 2|n2 + n,
(b) 6|n3 − n,
(c) 43|6n+2 + 72n+1 ,
(d) 4|5n − 1,
(e) 6|n3 + 5n,
(f) 25|2n+2 · 3n + 5n − 4,
(g) 64|32n+1 + 40n − 67.
Zadanie 3. Sprawdzić dla jakich liczb naturalnych prawdziwe są nierówności:
(a) 2n > n,
(b) 2 + 3n ­ 2n + 3,
(c) 2n + 1 < 2n ,
(d) n2 < 3n−1 ,
1
(e) n3 < 2n ,
(f) n3 < n!,
(g) 3n < n2 + 2n − 4.
Zadanie 4. Udowodnić metodą indukcji matematycznej, że:
(a) (x + y)n =
n ( )
∑
n
i
i=0
xn−i y i dla x, y ∈ R oraz n ∈ N,
wskazówka: dla dowolnych k, l ∈ N, l < k prawdziwa jest równość
( )
(b)
k
l
n
∑
i=0
+
(
( )
n
i
)
k
l+1
=
(
)
k+1
l+1
,
= 2n dla n ∈ N,
Zadanie 5. Niech k, n będą liczbami naturalnymi takimi, że k ¬ n. Podać i
uzasadnić (korzystając z indukcji matematycznej) liczbę wszystkich
(a) permutacji zbioru n-elementowego,
(b) k-elementowych podzbiorów dowolnego zbioru n-elementowego.
Zadanie 6. Wyprowadź znane ze szkoły wzory na sumę n pierwszych wyrazów
ciągu arytmetycznego i geometrycznego.
Zadanie 7. Wykazać, ze n prostych na płaszczyźnie takich, ze żadne trzy nie
przecinają sie w jednym punkcie, dzieli te płaszczyznę na
1
(n2
2
+ n + 2) czę-
ści. Wskazać miarę złożoności, względem której przebiega indukowanie (innymi
słowy: dokładnie określić, względem czego sie indukuje).
Zadanie 8. Udowodnić, że każdy n-kąt można podzielić na n−2 trójkąty nieprzecinającymi się prostymi. Wskazać miarę złożoności, względem której przebiega
indukowanie.
Zadanie 9. Wykazać, ze n kwadratów można zawsze pociąć prostymi w ten sposób, aby z uzyskanych kawałków można było złozyć jeden nowy kwadrat.Wskazać
miarę złożoności, względem której przebiega indukowanie.
2