Zapisz jako PDF

Kinematyka relatywistyczna
Spis treści
1 Transformacja Lorentza
1.1 Ogólna postać transformacji
1.2 Transformacja Galileusza
1.3 Transformacja Lorentza
1.4 Składanie prędkości
1.5 Uogólnienie
2 Wykres Minkowskiego
2.1 Przedstawienie osi czasu
2.2 Przedstawienie współrzędnej przestrzennej
2.3 Konstrukcja wykresu Minkowskiego
2.4 Transformacja odwrotna
2.5 Interpretacja
3 Dylatacja czasu
3.1 Prezentacja graficzne
3.2 Pomiar
3.3 Czas życia cząstek
4 Interwał czasoprzestrzenny
4.1 Względność równoczesności
4.2 Interwał
4.3 Przyczynowość
5 Skrócenie Lorentza
5.1 Pomiar długości
5.2 Paradoks "tyczki w stodole"
6 Paradoks bliźniąt
6.1 Paradoks
6.2 Układy odniesienia
6.3 Obserwacje kosmonauty
6.4 Obserwacje ziemianina
7 Efekt Dopplera
7.1 Przypadek klasyczny
7.2 Przypadek relatywistyczny
7.3 Przedstawienie graficzne
7.4 Przypadek ogólny
7.5 Prawo Hubbla
Transformacja Lorentza
Ogólna postać transformacji
Transformacja Lorentza ma bardzo szczególne własności, nie jest "jednym z wielu" możliwych
przekształceń. Korzystając tylko z:
zasady bezwładności (definicji układu inercjalnego)
zasady względności (równoprawności układów odniesienia)
można pokazać, że związek między współrzędnymi zdarzenia w dwóch układach odniesienia musi
mieć postać:
gdzie nieznana pozostaje jedynie stała
Transformacja Galileusza
Przyjęcie
odpowiada transformacji Galileusza
albo (w zapisie macierzowym):
gdzie
Konsekwencjami transformacji Galileusza jest:
uniwersalność czasu
względność prędkości
W transformacji Galileusza czas jest wyróżniony! Nie ma symetrii między wymiarami przestrzennymi
i czasem.
Transformacja Lorentza
Postulat Einsteina stałości prędkości światła oznacza przyjęcie
Lorentza:
. Wprowadzając tzw. czynnik
Otrzymujemy wzory na transformację Lorentza
albo (w zapisie macierzowym):
Pełna symetria między
(współrzędna czasową) i
Dla wygody często przyjmuje się konwencje
(współrzędną przestrzenną)!!!
i pomija
we wzorach.
Składanie prędkości
Rozważmy teraz ciało O", które w układzie O' porusza się z prędkością v' w kierunku osi x'.
czyli
Jaką prędkość
ciała O" zmierzy obserwator O?
Dla ruchu jednostajnego możemy zapisać
Podstawiając wyrażenia na
i z transformacji Lorentza dostajemyL
Ostatecznie otrzymujemy:
lub, dla prędkości wyrażonych w jednostkach prędkości światła
W podejściu Einsteina składanie prędkości nie polega na ich prostym dodawaniu.
W szczególności prędkość światła pozostaje stała (
odniesienia.
) niezależnie od układu
Transformacja Lorentza przechodzi w transformację Galileusza w granicy
Uogólnienie
Wyrażenia na Transformację Lorentza uzyskaliśmy przy założeniu, że początki układów mijają się w
chwili
. Zdarzenie to ma w obu układach współrzędne
zdarzenie odniesienia
. Jest to więc wspólne
W ogólności Transformację Lorentza opisuje transformację różnicy współrzędnych dwóch wybranych
zdarzeń A i B:
Przyjmując
:
Jeśli przyjmiemy, że w obu układach
współrzędnych zdarzenia B.
to otrzymamy jak poprzenio transformację
Wykres Minkowskiego
Przedstawienie osi czasu
Niech zegar referencyjny w układzie O' błyska z upływem każdej jednostki czasu. Zdarzenia temają
współrzędne:
Z transformacji Lorentza uzyskujemy współrzędne tych zdarzeń w układzie O:
Zdarzenia te leżą na lini świata ciała O', a jednocześnie pokazują nam upływ czasu w jego układzie
odniesienia. Tym samym "tyknięcia" te obrazują nam oś ct'.
Przedstawienie współrzędnej przestrzennej
Niech zegary rozmieszczone wzdłuż osi x' układu O' wyślą w tej samej chwili t'=0 błysk światła. W O'
zdarzenia te mają współrzędne:
Z transformacji Lorentza uzyskujemy współrzędne tych zdarzeń w układzie O:
Zdarzenia te pokazują nam jak w układzie O wyglądają zdarzenia równoczesne w O', odwzorowują
nam też jednostkę długości. Możemy traktować to jako obraz ośi x'.
Konstrukcja wykresu Minkowskiego
Osie układu O' rysujemy jako nachylone do osi układu O pod kątem
Przy czym odkładane wzdłuż osi układu O' jednostki są wydłużone. Widziane w układzie O jednostki
osi O' wynoszą:
Transformacja odwrotna
Wykres Minkowskiego możemy także narysować z punktu widzenia obserwatora O'. Odpowiada on
wtedy odwrotnej transformacji Lorentza.
Sytuacja jest w pełni symetryczna, także obserwator O' widzi wydłużenie osi układu O!
Obaj obserwatorzy stwierdzą wydłużenie jednostek w poruszającym się układzie.
Wybierając zgodne zwroty osi układów naruszyliśmy symetrie: układ O porusza się w kierunku
przeciwnym do zwrotu osi x', a O' zgodnie z x. Dlatego wykresy nie wyglądają identycznie.
Interpretacja
Transformacje Lorentza możemy też zapisać jako "hiper obrót" w czasoprzestrzeni:
gdzie
jest parametrem transformacji, a
i
to tzw. funkcje hiperboliczne.
Parametr transformacji jest zdefiniowany zależnością
Znając
możemy wyznaczyć
z zależności
Okazuje się, że składanie transformacji Lorentza w tej formie sprowadza się do dodawanie (!)
współczynników transformacji (tak jak w przypadku kątów obrotu). Dlatego też współczynnik
nazywany jest kątem hiperbolicznym.
Funkcje hiperboliczne można zdefiniować wzorami:
przy czym obowiązuje tożsamość
Dylatacja czasu
Prezentacja graficzne
Zegar układu O' jest obserwowany z ukladu O. Rejestrowane są współrzędne czasowe i przestrzenne
jego kolejnych "tyknięć".
Problem nie jest symetryczny: zegar spoczywa w O', obserwator O porównuje jego wskazania z
różnymi zegarami swojej siatki
Obserwator O stwierdzi, że zegar w O' chodzi wolniej:
Obserwator O' stwierdzi, że pomiar obserwatora O był źle wykonany, bo zegary w O
nie są zsynchronizowane,
chodzą za wolno.
Pomiar
W roku 1972 przeprowadzono eksperyment z zegarami atomowymi, które wysłano w podróż
samolotem dookoła świata (Hafele i Keating, 1972). Przy rozważanych prędkościach porównywalny
jest wpływ oddziaływań grawitacyjnych (opisanych przez Ogólną Teorię Względności).
Przewidywane różnice czasu (w porównaniu z nieruchomym zegarem):
Przewidywania [ns] Lot na wschód Lot na zachód
efekt kinematyczny -184
18
96
10
efekt grawitacyjny
144
14
179
18
suma
-40
23
275
21
Uzyskane wyniki doświadczalne
Pomiar [ns] Lot na wschód Lot na zachód
zegar 1
-57
277
zegar 2
-74
284
zegar 3
-55
266
zegar 4
-51
266
Średnia
-59
10
273
7
Czas życia cząstek
Z istotnym wpływem dylatacji czasu mamy w fizyce cząstek elementarnych. Cząstkami, które
stanowią większość tzw. wtórnego promieniowania kosmicznego przy powierzchni Ziemi sa miony.
Średni czas życia mionu w spoczynku to
= 2.2 s
Gdyby nie było dylatacji czasu to nawet poruszając się z prędkością światła miony pokonywałyby
średnio jedynie
659m
Miony produkowane w górnych warstwach atmosfery, na wysokości powyżej 10km. Gdyby nie było
dylatacji czasu nie miałyby szans dotrzeć do Ziemi. Produkowane w oddziaływanich pierwotnego
promieniowania kosmicznego miony mają jednak bardzo duże energie,
tym poruszają się z prędkościami bardzo bliskimi prędkości światła
.
Dla tego bez problemu docierają do powierzni Ziemi:
20km
Interwał czasoprzestrzenny
Względność równoczesności
3 GeV, a w związku z
Dwa zdarzenia równoczesne w układzie O nie są równoczesne w układzie O'.
Kolejność w jakiej zaobserwuje je obserwator O' zależy od położenia zdarzeń w stosunku do kierunku
ruchu względnego.
Interwał
Interwał czasoprzestrzenny między dwoma zdarzeniami definiujemy jako:
Interwał jest niezmiennikiem transformacji Lorentza ! Można go traktować jako "odległość" w
czasoprzestrzeni. Nie zależy od układu odniesienia, w którym go mierzymy.
Przyczynowość
Jeśli interwał czasoprzestrzenny między dwoma zdarzeniami A i B
to można znaleźć taki
układ odniesienia, w którym zdarzenia A i B będą zachodzić w tym samym miejscu. O takim
interwale mówimy, że jest czasopodobny (typu czasowego).
określa wtedy odstęp czasu między zdarzeniami w tym układzie.
Jeśli zdarzenia A i B związane są z ruchem jakiejś cząstki (należą do jej lini świata) mówimy, że jest
to czas własny tej cząstki.
Jeśli interwał jest czasopodobny to zdarzenia A i B mogą być powiązane przyczynowo. Ich kolejność
jest zawsze ta sama.
Jeśli
to można znaleźć taki układ odniesienia, w którym zdarzenia A i B będą zachodzić w
tej samej chwili. O takim interwale mówimy, że jest przestrzeniopodobny (typu przestrzennego).
określa odległość przestrzenną między zdarzeniami w tym układzie.
Jeśli interwał jest przestrzeniopodobny, zdarzenia A i B NIE mogą być powiązane przyczynowo !
Kolejność zdarzeń zależy od układu odniesienia.
Jeśli interwał
to w żadnym układzie odniesienia zdarzenia A i B nie będą zachodzić w tej
samej chwili ani w tym samym miejscu
O takim interwale mówimy, że jest to interwał zerowy
Zdarzenia A i B może połączyć przyczynowo jedynie impuls świetlny
Podsumowując:
- interwał czasopodobny
- interwał przestrzeniopodobny
- interwał zerowy
Jeśli przyjmiemy, że zdarzenie O ma miejsce "tu i teraz" i
zdarzenie A przyporządkować do jednej z 3 kategorii:
, wtedy możemy każde inne
bezwzględna przyszłość: zdarzenia na które możemy mieś wpływ, to zdarzenia dla których
i
na rysunku poniżej zawarte wewnątrz górnego stożka
bezwzględna przeszłość: zdarzenia które mogły mieś wpływ na nas
i
na rysunku poniżej zawarte wewnątrz dolnego stożka
zdarzenia bez związku przyczynowego
obejmują obszar na zewnątrz obu stożków
Skrócenie Lorentza
Pomiar długości
Rozważmy rakietę o długości
poruszającą się w dodatnim kierunku osi X układu O. Niech O'
będzie układem związanym z rakietą.
Jaką długość rakiety zmierzy obserwator w układzie O?
Pomiar długości to równoczesny pomiar położenia obu końców. Oznaczmy te pomiary jako zdarzenia
A i B.
Pomiar odległości między zdarzeniami AB w układzie O:
(!)
W układzie O' odległość między zdarzeniami A i B jest z definicji równa długości rakiety (nawet jeśli
zdarzenia nie są równoczesne - rakieta spoczywa w tym układzie)
Otrzymujemy:
Obserwator w układzie O zmierzy mniejszą długość niż długość mierzona w układzie własnym
rakiety - skrócenie Lorentza
Skrócenie Lorentza ma związek ze względnością równoczesności. Obserwator O uważa, że
równocześnie zmierzył położenie obu końców rakiety (zdarzenia A i B).
Obserwator O' stwierdzi, że pomiary A i B nie były równoczesne,
! Wcześniej zmierzono
położenie przodu niż tyłu rakiety. W tym czasie rakieta przesunęła się i to tłumaczy zły pomiar.
Paradoks "tyczki w stodole"
Rozważmy biegacza O', który wbiega do stodoły o długości
z tyczką o długości
Obserwator O powie, że tyczka się skóciła i zmieściła w stodole. (zakładając, że
.
).
Natomiast biegacz O' stwierdzi, że to stodoła się skróciła. Tyczka nie mogła się w niej zmieścić.
Obaj mają rację !!!
Różni ich zdanie na temat kolejności zdarzeń: minięcia wrót stodoły przez końce tyczki. Zdarzenia te
są rozdzielone przestrzennie (
) więc kolejność zależy od układu odniesienia.
Dla obserwatora O koniec tyczki najpierw minie pierwsze drzwi stodoły, a dopiero potem początek
tyczki uderzy w drugie drzwi.
Dla obserwatora O' najpierw początek tyczki uderzy w drugie drzwi, a dopiero potem koniec tyczki
minie pierwsze drzwi stodoły. Tyczka nie może wcześniej się zatrzymać - między tymi zdarzeniami
nie ma związku przyczynowego.
Paradoks bliźniąt
Paradoks
Kosmonauta wyrusza w podróż na
, jego brat bliźniak zostaje na Ziemi. Obaj bracia obserwatorzy mierzą czas pomiędzy dwoma zdarzeniami:
wylotem rakiety
powrotem na Ziemię
Poruszając się względem siebie z prędkością porównywalną z prędkością światła każdy z nich
stwierdzi, że jego brat powinien być młodszy, zgodnie z formułą na dylatację czasu. Obaj nie mogą
mieć racji...
Ale dla obu z nich oba zdarzenia zaszły też w tym samym miejscu. Może powinni być w tym samym
wieku (z niezmienniczości interwału)?!
Jak rozstrzygnąc czy i który z braci będzie młodszy?
Przyjmijmy, że podróż odbywa się z prędkością
podróż zajmie
(
). Według obserwatora na Ziemi
Dzięki dylatacji czasu, mierzony przez kosmonautę czas podróży skróci się do:
Dla kosmonauty odległość, którą musi przebyć skróci się do
Lorentza). Podróż będzie jego zdaniem trwała
lat świetlnych (skrócenie
lat
to samo powiedział jego brat...
Ale dla kosmonauty bieg zegarów na Ziemi ulega spowolnieniu (dylatacja czasu). Jego zdaniem, w
czasie jego lotu do układu -Centaura na Ziemi mija tylko
lat
Tyle samo czasu mija na Ziemi w czasie jego podróży powrotnej. Łącznie w trakcie całej podróży
powinno minąć
lat
Ale brat na Ziemi stwierdzi, że minęło 11.5 lat
Gdzie znika ponad 6 lat !?
Układy odniesienia
Istotne dla zrozumienia tego paradoksu jest zauważenie, że mamy tu do czynienia z trzema (a nie
dwoma) układami odniesienia:
układ O związany z Ziemią
układ O' związany z rakietą w trakcie jej podróży do
układ O" związany z rakietą w trakcie podróży powrotnej
Kosmonauta obserwuje wskazania zegara na Ziemi najpierw w układzie O', a po zawróceniu w
układzie O". Na zegarze tym przybywa "skokowo" ponad 6 lat w momencie zmiany przez kosmonautę
układu współrzędnych.
Zegar na Ziemi nie może być wprost porównywany z zegarem referencyjnym kosmonauty, zawsze
porównywany jest z najbliższym zegarem układu współporuszającego się. Kluczowa jest
synchronizacja zegarów, która zmienia się przy zmianie układu odniesienia.
Kosmonauta obserwuje wskazania zegara na Ziemi porównując go zawsze z najbliższym zegarem
jego układu:
w chwili startu (
) jest to jego własny zegar Z.
tuż przed dotarciem do celu jest to zegar Z' z układu O'
tuż po zawróceniu jest to zegar Z" z układu O".
Także obserwator na Ziemi może obserwować wskazania zegarów kosmonauty ( Z, Z' i Z")
porównując je ze swoją siatką zegarów.
Obserwacje kosmonauty
Czas na Ziemi według kosmonauty
Dolatując do celu, po
mineło
lata.
latach (według swojego zegara Z), kosmonauta stwierdza, że na Ziemi
Kosmonauta opiera się na wskazaniach zegara Z' zsynchronizowanego z Z.
Po zawróceniu informacja o wskazaniach zegara na Ziemi pochodzi od zegara Z", też
zsynchronizowanego z Z ale w nowym układzie odniesienia.
Według zegara Z" w chwili zawracania zegar na Ziemi wskazywał
Obserwacje ziemianina
lat.
Wskazania zegarów kosmonauty rejestrowane
przez obserwatora na Ziemi
Według obserwatora na Ziemi bieg zegara Z kosmonauty jest spowolniony na skutek dylatacji czasu.
Kosmonauta źle ocenił bieg czasu na Ziemi gdyż:
najpierw użył zegara Z', który spieszył się względem Z
potem użył zegara Z", który spóźniał się względem Z
Według obserwatora nia Ziemi, zawrócenie rakiety Z, oraz zdarzenia porównania czasu na Ziemi z
przelatującymi zegarami Z' i Z" nie były równoczesne.
W chwili zawracania zegar Z' dawno minął Ziemię, a zegar Z" jeszcze do niej nie doleciał.
Dokonany przez kosmonautę pomiar czasu jaki upłynął na Ziemi jest nieprawidłowy, ze względu na
zmianę układu odniesienia.
Na ziemi minęło 11.5 lat.
Obaj obserwatorzy zgadzają się, że dla kosmonauty minęło 7.7 lat.
Efekt Dopplera
Przypadek klasyczny
W klasycznym zagadnieniu efektu Doppleta dla dźwięku rozważaliśmy dwa przypadki:
Ruchome źródło
Częstość dźwięku i długość fali mierzone przez obserwatora nieruchomego względem ośrodka
wynoszą
Ruchomy obserwator
Częstość i długość fali emitowanej przez nieruchome względem ośrodka źródło, mierzone przez
ruchomego obserwatora wynoszą
W przypadku dźwięku efekt zależy nie tylko od względnego ruchu źródła i obserwatora, ale także od
ruchu względem ośrodka.
Ale światło nie potrzebuje "ośrodka". Powinien się liczyć tylko ruch względny !...
Przypadek relatywistyczny
Jeśli źródło i/lub obserwator poruszają się z dużymi prędkościami należy uwzględnić dylatację czasu!
Jest ona dana przez współczynnik Lorentza
Ruchome źródło
Poruszające się źródło drga (z punktu widzenia obserwatora) z częstością
razy mniejszą:
Ruchomy obserwator
Zegar poruszającego się obserwatora chodzi wolniej, mierzona przez niego częstość jest więc
większa:
Widzimy, że w przypadku relatywistycznym oczekiwana zmiana częstości nie zależy od wyboru
układu odniesienia. Pełna symetria !
Przedstawienie graficzne
Ruch źródła
razy
Wysłanie impulsu w układzie O':
W układzie O (
)
Na pokonianie odległości
obserwatora O:
światło potrzebuje
czasu. Dotarcie impulsu światła do
Mierzony przez O czas dotarcia impulsu to wyznaczony okres drgań
Ruch obserwatora
Wysłanie impulsu w układzie O:
Dotarcie impulsu do obserwatora O':
Opóźnienie w odebraniu impulsu możemy wyznaczyć zapisując prędkość O' względem O:
i odwracając tą zależność:
Współrzędne dotarcia impulsu w O wynoszą więc:
Według O' (dylatacja czasu)
Mierzony przez O' czas dotarcia impulsu to wyznaczony okres drgań
Przypadek ogólny
Niech źródło światła przelatuje w odległości h od obserwatora znajdującego się w początku układu
O:
Przyjmijmy, że w chwili , mierzonej w układzie O', wysłany zostaje impuls świetlny w kierunku
obserwatora
Współrzędne tego zdarzenia w układzie O (z transformacji Lorentza):
Możemy teraz policzyć czas dotarcia impulsu do obserwatora O (zdarzenie B):
Współczynnik przesunięcia dopplerowskiego możemy policzyć z różnicy
dwóch impulsów wysłanych w odstępie czasu :
między czasami dotarcia
gdzie: - emitowana długość fali (w układzie źródła), - mierzona długość fali, a
(kąt z jakiego według obserwatora O nadlatuje impuls światła).
to kąt obserwacji
Przesunięcie długości fali obserwujemy także dla
!!!
Klasycznie nie ma w tym przypadku zmiany częstości...
Prawo Hubbla
Efekt Dopplera obserwowany w warunkach laboratoryjnych dla dla fal elektromagnetycznych jest na
ogól bardzo niewielki (z wyjątkiem akceleratorów cząstek i ciężkich jonów).
Duże efekty widoczne są natomiast w obserwacjach astronomicznych
W widmie światla emitowanego przez wzbudzone atomy widoczne są charakterystyczne linie
widmowe, są to tzw. Linie emisyjne. Częściej jednak obserwujemy tzw. linie absorpcyjne
widoczne w świetle przechodzącym przez gaz pochłaniający fale odpowiadające jego
charakterystycznym liniom widmowym.
W obu przypadkach pozycja linii jest ściśle określona (dla danego atomu)
Mierząc linie absorpcyjne w widmie galaktyk możemy wnioskować o ich ruchu i wyznaczyć ich
prędkość względem nas. Na rysunku poniżej linie absorpcyjne w widmie odległej supergromady
galaktyk (BAS11) (po prawej stronie) porównane są z liniami w widmie słonecznym (po lewej
stronie).
Dzięki efektowi Dopplera wiemy, że Wszechświat się rozszerza. W 1929 roku Edwin Hubble jako
pierwszy powiązał obserwowane prędkości mgławic z ich odległością od Ziemi. Zauważył on, że
prędkość 'ucieczki' rośnie z odległością od Ziemi:
gdzie
- odległość obiektu od Ziemi, a
Obecne pomiary dają wartość
- stała Hubbla.
(
).