uogólniony przepływ poiseuille`a płynu mikropolarnego drugiego

M E C H AN I K A
TEORETYCZNA
I STOSOWANA
3/4, 20 (1982)
UOGÓLNIONY PRZEPŁYW POISEUILLE'A PŁYNU MIKROPOLARN EG O
DRUGIEGO RZĘ DU W SZCZELIN IE MIĘ D ZY DWOMA
WSPÓŁOSIOWYMI WALCAMI
EDWARD WAL I C K I ,
JANUSZ Z A C H W I E J Ą
Bydgoszcz
Wstę p
Skomplikowane przepływy cieczy newtonowskich i nienewtonowskich w kanał ach,
mają ce miejsce w rozmaitych procesach przemysł owych, nie są jak dotą d szczegół owo
zbadane. Dotyczy to zwłaszcza płynów mikropolarnych Eringena ze wzglę du na cechują cą
je mikrobezwł adność oraz dodatkowy moment masowy i naprę ż enie momentowe. Tym
samym, celem wyznaczenia wielkoś ci opisują cych pole przepływu, należy rozwią zywać
ukł ad równań wynikają cych z zasad zachowania: masy, energii, pę du oraz momentu
pę du pierwszego a w szczególnych przypadkach również wyż szych rzę dów. Stwarza to
problemy zarówno natury czysto matematycznej jak również fizycznej wobec koniecznoś ci
wyznaczenia wartoś ci dodatkowych współczynników lepkoś ci.
Pierwszej próby konstrukcji ogólnej teorii oś rodka z mikrostrukturą dokonali bracia
E. i F . Cosserat w 1909 roku, jednakże dopiero w ostatnim dwudziestoleciu problem ten
został podję ty na nowo, skupiają c uwagę badaczy. Współ czesne poglą dy odnoś nie pł ynów
mikropolarnych bazują głównie na założ eniach teorii naprę ż eń momentowych oraz teorii
mikropł ynów Eringena [1]. Tenże [2] wraz z Suhubim [3] rozwiną ł ogólną teorię oś rodka
mikropolarnego, dyskutują c w [4] termodynamiczne ograniczenia wartoś ci współ czynników
lepkoś ci dla płynów mikropolarnych. Podobne problemy był y przedmiotem rozważ ań
Kazakii i Arimana [5]. Ciekawy przeglą d prac na temat płynów z mikrostrukturą został
dokonany przez Arimana, Turka i Sylvestra [6, 7].
Porównanie zał oż ń
e fizycznych stanowią cych podstawę modeli pł ynów Stokesa oraz
Eringena prowadzi do wniosku, że ten ostatni wierniej opisuje przepływy zawiesin, co
potwierdziły badania Kline'a, Allena i De Silvy [8] nad mechanicznymi i Teologicznymi
własnoś ciami zawiesin, emulsji, płynych kryształ ków oraz krwi i płynów fizjologicznych.
Ahmadi, Koh i G oldschmidt [9, 10] uogólnili teorię pł ynów mikropolarnych na przypadek
oś rodka w którym mikroruch opisywany jest dodatkowo wektorem mikrorotacji drugiego
rzę du. Równania ruchu tych płynów wyprowadzone w pracach [11, 12] nie został y dotą d
rozwią zane dla przypadków bardziej złoż onych przepł ywów.
Celem niniejszej pracy jest analiza uogólnionego przepł ywu Poiseuille'a pł ynu mikropolarnego drugiego rzę du w przestrzeni mię dzy dwoma współ osiowymi cylindrami, ze
szczególnym uwzglę dnieniem wpływu wielkoś ci szczeliny n a kształ t profili prę dkoś ci
i mikrorotacji.
15*
396 E. WAU C K I , J. ZACHWIEJĄ
1. Równania ruchu
R ówn an ia ruchu nieś ciś liweg
o pł ynu mikropolarnego drugiego rzę du, wyprowadzone
w oparciu o zasady zachowania masy, pę du oraz momentu pę du pierwszego i drugiego
rzę du mają postać [11, 12]
(1.1) (1.2) (1.3) d i vF = 0,
dV
d - jr~ - e/
/ dv dV \
eUjf + - Jj7 x i] = efi - y„rot(rotv) + (uu+ pv + yv)gi:ad(divv) + k„rotV- 2/ c„ v- / 9 0 rot/ ł ,
(1- 4) 3 dV
- JJQ - dj = e/ 2 + 2(/ 30 - rlv)fi + (y„ - 0 , ) r o t v +
+ 3 [(a 0 + a, + a 2 ) grad (div /«) - a 2 rot(rot/ t)],
gdzie: V—wektor prę dkoś ci przepł ywu
g —• gę stość
p — ciś nienie
v — wektor mikrorotacji pierwszego rzę du
H — wektor mikrorotacji drugiego rzę du
/ — wektor sił masowych jednostkowych
/ t — wektor jednostkowych momentów masowych pierwszego rzę du
f2 — wektor jednostkowych momentów masowach drugiego rzę du
i — wektor mikrobezwł adnoś ci
j — gę stość mikrobezwł adnoś ci
Av —• współ czynnik lepkoś ci obję toś ciowej
k„ — współ czynnik lepkoś ci sprzę ż enia
(j.v — współ czynnik lepkoś ci ś cinania
<xe, fiv, $u — współ czynniki lepkoś ci obrotowych
a 0 , <*i, «2 > Vv —' dodatkowe współ czynniki lepkoś ci
Pomię dzy wartoś ciami współ czynników lepkoś ci istnieją wzajemne zwią zki. Warunki
termodynamiczne nakł adają n a nie nastę pują ce ograniczenia [11]
0, 3 a o + 2 a 0 ^ 0 , - a
2/ x„ + k v ź 0, 2
< a
1
< a
2
, /c„ > 0,
a 2 > 0,
2. Konfiguracja przepł ywu
Rozważ ony zostanie przepł yw pł ynu mikropolarnego drugiego rzę du w szczelinie
pomię dzy dwom a współ osiowymi cylindrami przy uż yciu równań (1.1 - 1.4). W tym celu
wprowadzimy ukł ad współ rzę dnych walcowych czynią c jednocześ nie zał oż enia stacjonar-
UOGÓLNIONY PRZEPŁYW POISEUILLE'A
397
noś ci przepł ywu oraz dopuszczalnoś ci pominię cia sił i momentów masowych. W obran ym
ukł adzie współ rzę dnych wektory V, v,fi posiadają nastę pują ce skł adowe;
V~vx(r) (2- 1) v~v0(r) n ~ Mz
(f).
Równania ruchu (1.2 - 1.4) wobec nał oż onych warunków, oraz po uwzglę dnieniu równ an ia
(1.1) sprowadzają się d o ukł adu:
(2.2)
(2.3)
dr [ r dr
— 4-
(2.4)
dr
T dr
= 0.
Rys. 1. Schemat ukł adu geometrycznego przepł ywu
Rozwią zania równań (2.2 - 2.4) podlegają nastę pują cym warunkom brzegowym :
(2.5) vz = V dla r = i ? 2 ,
vz = 0 dla r = R 2,
vz = fiz = 0 dla r = ^ i r = R 2.
przy czym i? 2 > 7?!.
3. Rozwią zanie równań ruchu
W celu rozważ enia wpł ywu wielkoś ci szczeliny R 2—Ri n a kształ t profili prę dkoś ci
i mikrorotacji wprowadzono nastę pują ce zmienne bezwymiarowe:
r =
(3.1)
~
JSŁf
398 E. WALICKI J. ZACHWIEJĄ
Z godn ie z przyję tymi zmiennymi bezwymiarowymi (3.1), liczby podobień stw
a wyraż ają ce stosun ki wielkoś ci charakterystycznych wystę pują cych w rozważ anym przepł ywie
d o stał ych m ateriał owych dają się wyrazić jako :
Re = - - - - — - • — newtonowska liczba Reynoldsa,
JRem = ~- ~—.- - - —- — m ikropolarn a liczba Reynoldsa,
QU(R2—RI) k v Rw = • C3 o) K }
— mikrorotacyjna liczba Reynoldsa
y
L p
"
3QU(R 2- RJ)
, _ . P
— liczba Reynoldsa oddział ywania pomię dzy
prę dkoś cią przepł ywu i mikrorotacją ,
3
4 ( / ^"T
2 =_- 3gtt(
L P 3 =
Q
Z" V dodatkowe liczby podobień stwa.
Wystę pują ca w zwią zkach (3.2) wielkość C/ posiada sens pewnej charakterystycznej
prę dkoś ci, którą jest ś rednia prę dkość przepł ywu pł ynu newtonowskiego o tej samej
liczbie R eyn oldsa, w identycznym ukł adzie geometrycznym. W celu przeanalizowania
wpł ywu warun ków C ouette'a i Poiseuille'a na przepł yw uogólniony wprowadzono wielkoś ci
bezwymiarowe a i /?. D zię ki temu rozpatrywaną prę dkość ś rednią moż na wyrazić w nastę pują cej postaci:
—
(
< 3 3 )
p \ \ ~k k 22mkI
gdzie:
h (3.4)
Jeż eli przyjmiemy stał y wydatek cieczy, wówczas a+ jS = 1. W zależ noś ciac
wielkoś ci I—T—} i vm są odpowiednio gradientem ciś nienia w przepł ywie Poiseuille'a oraz
\ az / ,„
prę dkoś cią przemieszczania się wewnę trznego walca w przepł ywie C ouette'a.
R ozwią zan ie ukł adu równań (2.2- 2.4) w postaci bezwymiarowej ma form ę :
(3.5) g. = C l
UOGÓLNIONY PRZEPŁYW POISEUILLE'A 399
r +
L (3 6)
- ^ -
1- fej
lnfc
S { W ) ] W
r
C 5 2
2
1 2a fl- W 2
2
1- fc
/_
2
+ (a - f ) C2 I o [y (r + - j- ^- Jj + (a - <p ) C 3 K o [c> (r + - j ^
4«(l- fc)
2
Lp2
przy czym:
(3.8) j
2
gdzie:
, Rw / Rem. \ , , Lp3 „ Rw • Lp3
2
2
2
a = 12 1 6 = d = R in t \ R in t / L p l Lp2Lp4
Stał e cał kowania C i , C 2 , C 3 , C 4 , C 5 ) C 6 m oż na wyznaczyć z warun ków brzegowych
(2.5), które we współ rzę dnych bezwymiarowych mają postać:
v- = 0 dla 7 = 1,
(3.9) l
*• " fc2 1 +
T ^ F " 21nfe
r e = ~jit = 0 d la?
= °>
dla / • = 0; 1.
W równaniach (3.5 - 3.7) I o , I i , K o , K i , są odpowiedn io: zmodyfikowanymi funkcjami
Bessela zerowego i pierwszego rzę du oraz funkcjami M acD on alda także zerowego i pierwszego rzę du.
Łatwo zauważ yć, że uzyskane rozwią zania sł uszne są jedynie dla k > 0, wówczas
bowiem speł niony jest warunek ograniczonej wartoś ci vx, v9, //,, w pun kcie o współ rzę dnej
r = 0. Przypadek rozwią zań dla k = 0 należy rozpatrzeć osobn o. Odpowiada on waru n ko m
400 ' E. WALICKI J. ZACHWIEJĄ
przepł ywu P oiseuille'a w rurze koł owej. Tym samym rozwią zania ukł adu równań (2.2 - 2.4)
przy waru n kach brzegowych
v2 — ve = ]H Z = 0 ^ ' vz,v0,'jix d la 7 = 1
skoń czon
e dla r = 0,
przedstawiają się nastę pują co:
[o(P)or)]
vz = 2 ( l - r 2 )
(3.11) cp (3.12) (3.13) yi
ve =
Ji 2
^ \ (
2
) [ I ( ) l ( ) ]
gdzie:
B= 4
(3.14)
A = P on ieważ przy R ± ~* 0 r - * —=— tym samym ulegną odpowiednio zmianie okreś lenia
R2
pozostał ych wielkoś ci bezwymiarowych.
Waru n ki (1.5) dyktują zwią zki pomię dzy liczbami podobień stwa:
JL , L p l ^ Rw / 3 6 \ 2Lp2 1 \ 2 8
L p 4/ + 3 L p 4 '
1 < 4
Lp2~ 3R w"'
Wartoś ci liczb podobień stw
a R em , R int, Rw został y przyję te w oparciu o wyniki prac
ALLE N A i K L I N E 'A [13] oraz ARIM AN A, TU R KA i SYLVESTRA [14]. Wartoś ci dodatkowych
liczb podobień stwa L p l , Lp2, Lp3, Lp4 wynikają bezpoś rednio z ograniczeń termodyn am iczn ych.
R ys. 2 - 4 ilustrują wpł yw wielkoś ci szczeliny n a kształ t profili bezwymiarowych prę dkoś ci : liniowej prę dkoś ci przepł ywu oraz mikrorotacji pierwszego i drugiego rzę du okreś lonych zależ noś ciam
i (3.1). D o ko n an o również analizy wpł ywu wartoś ci dodatkowych
liczb podobień stwa n a kształ t profilu bezwymiarowej mikrorotacji drugiego rzę du dla
przepł ywu w szczelinie oraz przepł ywu Poiseuille'a w kanale walcowym. Wyniki przedstawion o n a rys. 5- 6,
4. Wnioski
D yskusja formuł (3.5- 3.7) oraz (3.11- 3.14) jak również analiza prezentowanych
wykresów prowadzi do nastę pują cych wniosków:
O 0,1 02 0,3 0A 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
r
Nr
1
i
Rint
0,0833
3
a - oe=0 ' J3 = 1
b - oc=0,5 p=0,5
c - a = 1 p=0
Rw
0,1
Rem
0,0625
LP1
0,01
LP2
0,1
Lp3
0,1
[pL
k
0.1
0,125
0,250
0,500
Rys. 2. Wpływ wielkoś ci szczeliny na kształ t profili prę dkoś ci przepływu pł ynu mikropoł arnego drugiego
rzę du
1
Nr
1
/
3
Rinł
0,0833
0 0,1 0,2 0?. OA 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
a - ot=0 p =1
b - a=0,5 0=0,5
e - a=1 p=0
Rw
0,1
Rem
0,0625
Lp1
0,01
lP2
0,1
LP3
0,1
Lp i
k
0,1
0.125
0,250
0,500
Rys. 3. Wpływ wielkoś ci szczeliny na kształ t profili mikrorotacji pierwszego rzę du
[401]
402
E. WALicKr, J. Z AC H WIEJĄ
0,0i8
O.Oii
/>
O.OiO
0,036
-
V
0,028
2
0,024
ao2o
0,016
0,012
0,008
0,00i
0,0
W
/ 2 b
vi -
w
- 0.0OA
- 0,008
- 0,012
1 - 0.016,
0 1 1 1 1
0,1 02 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
r
a - • oc=0 (3=1
b - a=0,5 p=0,5
c - M = 1 p=0
Nr
1
2
3
Rint
0,0833
Rw
0,1
Rem
0,0625
Lp'1
0,01
LP2
0,1
Lp3
0,1
Lp i
k
0,1
0,125
0,250
0,500
Rys. 4. Wpływ wielkoś ci szczeliny na kształ t profili mikrorotacji drugiego rzę du
1. Wzrost wymiaru szczeliny pocią ga za sobą zmniejszenie się wartoś ci vz zarówno w przepł ywie Couette'a jak i przepł ywie Poiseuille'a. Podobnie rzecz się ma z bezwymiarową
mikrorotacją pierwszego rzę du vQ.
2. Wartość liczbowa bezwymiarowej mikrorbtacji drugiego rzę du maleje ze wzrostem
wielkoś ci szczeliny w przypadku przepł ywu Couette'a. W przepł ywie Poiseuille'a
w są siedztwie oraz pewnej odległ oś ci od wewnę trznej powierzchni walcowej istnieją
obszary w których wzrost wymiaru szczeliny wywołuje zmniejszenie liczbowej wartoś ci
bezwymiarowej mikrorotacji drugiego rzę du. W okolicach zewnę trznej powierzchni
efekt jest odwrotny.
3. W są siedztwie zewnę trznej powierzchni walcowej nastę puje zmiana znaku wartoś ci
bezwymiarowej mikrorotacji drugiego rzę du.
4. W rozpatrywanym zakresie zmian wartoś ci dodatkowych liczb podobień stw
a wzrostowi
Lp3 w przepł ywie Poiseuille'a i Couette'a w szczelinie towarzyszy wzrost bezwzglę dnej
wartoś ci bezwymiarowej mikrorotacji drugiego rzę du, a wzrostowi Lp2 jej spadek.
Wię kszym liczbom Lpl odpowiadają wię ksze wartoś ci bezwymiarowej mikrorotacji
- 0,006
Nr
Rint
02 0,3 0£ 05 06 0,7 0,8 09 ID
Rw
Rem
0
10
1|)
2a
2b 0,0833
3a
3b
40
4b
0,1
0,0625
Lp1
LP2
Lp3
Lp4-
0,01
0,015
0,02
0,1
0,1
0,1
0.1
0,1
0,01
0,01
0,01
0,01
0,01
0,01
0.1
0.1
0,1
0.15
0,1
0.1
0,1
0,1
0,1
0.08
0.1
0,1
0,08
0.15
0,1
0.1
- 0,020
'O 0,1 0,2 0 3 0 , i 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1J0
a - b - c - 0,1
Nr
0,1
0,1
0,1
0,08
0,15
0
1
2
3
Rys. 6. Wpł yw wartoś ci dodatkowych liczb podobień stw
a na kształ t profili
mikrorotacji drugiego rzę du dla przepł ywu Poiseuille'a w kanale walcowym
u
Rint
0,0833
ot=0 a=05 ot=1 0=1 0=05 •
r
(3=0
Rw
Rem
Lp1
LP2
Lp3
Lp4
0J_
0,1
0.1
0,1
0.1
0.1
0.1
0,1
0.01
0.02
0,0625 0.01
0,01
0.01
0,15
0.1
0.1
0.15
0.1
0.1
0,1
0.15
Rys. 5. Wpł yw wartoś ci dodatkowych liczb podobień stw
a na kształ t
profili mikrorotacji drugiego rzę du
404 E. WALICKI J. ZACHWIEJĄ
drugiego rzę du, natomiast wpływ Lp4 okazał się nieznaczny. Analogiczne zmiany
zachodzą w przypadku przepł ywu Poiseuille'a w kanale walcowym.
Wnioski tak sformuł owane są słuszne dla prawie wszystkich punktów płaszczyzny
przepł ywu przechodzą cej przez normalną do obu powierzchni walcowych.
Literatura cytowana w tekś cie
. 1. A. C. ERIN G EN , Int. J. Engng. Sci. 2, 205, 1964.
2. A. C. ERIN G EN , Int. J. Engng. Sci. 8, 819, 1970.
3. A. C. ERIN G EN , E, SUHTJBI, Int. J. Engng. Sci. 2, 189, 1964.
4. A. C. ERIN G EN , J. M ath . Mech. 16, 1, 1966.
5. Y. KAZAKIA, T. AM M AN , Reol. Acta, 10, 319, 1971.
6. T . AM M AN , M . A. T U R K , N . D . SYLVESTER, Int, J. Engng. Sci. 11, 905, 1973.
7. T. ARIM AN , M . A. T U R K , N . D . SYLVESTER, I nt. J. Engng. Sci. 12, 273, 1974.
8. K. A. KLI N E , S. J. ALLEN , C. N . D E SILVA, Biorheology, 5, 111, 1968.
9. G . AH M AD I, S. L. K O H , V. W. GOLDSCHMIDT, Recent Adv. Engng. Sci. Part 2, 5, 9, 1970.
10. G . AH M AD I, S. L. K O H , V. W. GOLDSCHMIDT, Iranian J. Sci. and Techn. 1, 233, 1971.
11. G . AH MAD I, Bulletin de L'Academie Polonaise des Sciences, 6, 15, 1977.
12. G . AH M AD I, Rheol. Acta, 14, 710, 1975.
13. S. J. ALLEN , K. A. KLIN E, Trans. Soc. Rheol. 12, 4457, 1968.
14. M . A. T U R K , N . D . SYLVESTER, T . ARIMAN , J. Biomech, 5, 185, 1973.
P e 3 IO M e
OBOEU TEH H OE TE ^I E H H E n YAC E H JlH BT O P O rO PflflA M H KPOIIOJIH PH OK JKH flKOCTH
ME>KflY RBYMfl KOAKCH AJIbH BIMM I T H J I H I WAM H
B pa6oTe npeflCTaBJieHo p em eirae ypaBH einoi H3o6pa>i<aiomHX flBtD KeH ue MHKponoJiapnoH >KHflKOCTH BToporo nopfl/ tfo B OSOSIHSHHOM Teneiaw n yaceftjui B aa3ope MOKRY #ByM*r KoaKCHajiLHMMii
HHJIHHflpeMH. npOBefleH aHaHH3 BJIH H H H H ao6aBOqHbIX KO3l|)tbHU,HeHTOB BH3KOCTH H BejIHiIHHM 3a30pa
n a {popiviy npocpHJiH CKOBOCTH H MH KpopoTannn. Pe3yjibTaTbi H JunocTpH poseH Bi
Summary
TH E G EN ER ALI Z ED POISEU ILLE F LOW OF A SECON D ORD ER M ICROPOLAR F LU ID IN
TH E CLEAREN CE BETWEEN TWO CYLIN D ERS
The solution is presented of the set of equations describing a generalized Poiseuille flow of a second
order micropolar fluid in the clearence between the cylinders of the same axis. The effect is discussed of
additional coefficients of viscosities and the width of clearance between the cylinders on the shapes of profiles of linear an d micropolar velocities. The results are given in the form of diagrams and tables.
Praca zosiala zł oż ona w Redakcji dnia 7 kwietnia 1981 roku