Ciągłość i topologia topologia_i_ciaglosc_i_topologia

Rozdział 1
Ciągłość i topologia
Nadanie precyzyjnego sensu intiucyjnemu pojęciu ciągłości jest jednym z głównych tematów dziedziny matematyki, zwanej topologią. Definicja funkcji ciągłej znana z podstawowego wykładu Analizy Matematycznej dotyczy jednynie liczb rzeczywistych i wykorzystuje
dwie struktury, w które wyposażone są liczby rzeczywiste: dodawanie i porządek. Definicja
topologii w zbiorze motywowana jest pytaniem, jaka możliwie najsłabsza struktura jest
potrzebna, aby mówić o ciągłości w taki sposób, by w znanych przypadkach pokrywało się
ono z faktami z analizy matematycznej oraz z intuicją geometryczną związaną z potocznym
rozumieniem tego pojęcia.
1.1
Ciągłość funkcji wg. Cauchy
Z Analizy Matematycznej znana jest następująca definicja ciągłości funkcji:
Definicja 1.1.1 (Cauchy1 ). Niech f : R → R będzie będzie funkcją rzeczywistą. Mówimy,
że f jest ciągła jeśli dla każdego punktu x0 ∈ R i dla każdego > 0 istnieje δ > 0 taka, że
zachodzi implikacja:
|x0 − x| < δ
|f (x0 ) − f (x)| < =⇒
Następne stwierdzenie mówi, że aby mówić o ciągłości wystarczy relacja porządku liczb
rzeczywistych, a dokładniej warunek Cauchy można sformułować odwołując się jedynie do
odcinków otwartych:
Stwierdzenie 1.1.1. Funkcja f : R → R jest ciagła wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego
odcinka otwartego (c, d) ⊂ R i dowolnego punktu x ∈ f −1 ((c, d)) istnieje odcinek owarty
(a, b) 3 x taki, że (a, b) ⊂ f −1 ((c, d)), czyli przeciwobraz f −1 ((c, d)) jest sumą mnogościową
odcinków otwartych.
Ponieważ przeciwobraz sumy zbiorów jest sumą przeciwobrazów ostatnie stwierdzenie
można sformułować tak: odwzorowanie jest ciągłe jeśli przeciwobrazy sum mnogościowych
odcinków otwartych są sumami mnogościowymi odcinków otwartych.
1
Augustin Louis Cauchy (Paris 1789 - Sceaux (near Paris) 1857) pioneered the study of analysis, both real
and complex, and the theory of permutation groups. He also researched in convergence and divergence of infinite
series, differential equations, determinants, probability and mathematical physics. [Mac Tutor]
1
2
ROZDZIAŁ 1. CIĄGŁOŚĆ I TOPOLOGIA
1.2
Topologie i przestrzenie topologiczne
Definicja topologii w dowolnym zbiorze jest motywowana własnościami podzbiorów prostej
rzeczywistej będących sumami mnogościowymi odcinków otwartych, czyli takich podzbiorów U ⊂ R, że dla każdego punktu x ∈ U istnieją liczby s < x < t takie, że (s, t) ⊂ U.
Definicja 1.2.1. Niech X będzie zbiorem. Topologią w zbiorze X nazywamy rodzinę podzbiorów T ⊂ P(X) taką, że:
(T1) ∅, X ∈ T
(T2) Dla dowolnej rodziny zbiorów {Ui }i∈I takich, że Ui ∈ T suma mnogościowa
T
S
i∈I
Ui ∈
(T3) Dla dowolnej skończonej rodziny zbiorów {Ui }i∈I takich, że Ui ∈ T ich część wspólT
na i∈I Ui ∈ T
Przestrzenią topologiczną nazywamy parę (X, T ), gdzie X jest zbiorem, a T ustaloną
topologią. Zbiory należące do T nazywa się otwartymi w przestrzeni topologicznej (X, T ).
Zauważmy kilka własności topologii jako podzbiorów zbioru potęgowego P(X):
• Zbiór topologii w X jest częściowo uporządkowany przez inkluzję rodzin.
• W dowolnym zbiorze X definiuje się dwie topologie: minimalną (antydyskretną)
Tαδ = {∅, X} oraz maksymalną (dyskretną) Tδ = P(X). Dla dowolnego zbioru X
przestrzeń (X, Tαδ ) nazywamy przestrzenią antydyskretną, a przestrzeń (X, Tδ ) nazywamy przestrzenią dyskretną.
• Dla dowolnej topologii T w X :
Tαδ ⊂ T ⊂ Tδ .
Stwierdzenie 1.2.1. Jeśli {Ts }s∈S jest rodziną topologii w zbiorze X, to ich przecięcie
T
Ts też jest topologią.
1.3
Odwzorowania ciągłe i homemorfizmy
Definicja 1.3.1. Niech (X, TX ) oraz (Y, TY ) będą przestrzeniami topologicznymi. Odwzorowanie zbiorów f : X → Y nazywa się ciągłym jeśli dla każdego zbioru V ∈ TY jego
przeciwobraz f −1 (V ) ∈ TX .
Powyższa definicja jest równoważna następującemu warunkowi, nawiązującemu do def
finicji ciągłości wg. Cauchy: (X, TX ) −
→ (Y, TY ) jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy
∀x∈X ∀V 3f (x) ∃U 3x f (U ) ⊂ V.
Zauważmy, że każde przekształcenie określone na przestrzeni dyskretnej o wartościach
w dowolnej przestrzeni topologicznej oraz każde przekształcenie określone na dowolnej
przestrzeni topologicznej o wartościach w przestrzeni antydyskretnej jest ciągłe.
1.4. ZBIORY DOMKNIĘTE
3
f
g
Stwierdzenie 1.3.1. Jeśli odwzorowania (X, TX ) −
→ (Y, TY ) →
− (Z, TZ ) są ciągłe, to ich
g◦f
złożenie (X, TX ) −−→ (Z, TZ ) też jest ciągłe. Dla dowolnej przestrzeni topologicznej (X, TX )
id
odwzorowanie identycznościowe (X, TX ) −−X
→ (X, TX ) jest ciągłe.
Definicja 1.3.2. Przekształcenie ciągłe f : (X, TX ) → (Y, TY ) nazywa się homeomorfizmem jeśli istnieje przekształcenie ciągłe g : (Y, TY ) → (X, TX ) takie, że f ◦ g = IdY oraz
g ◦ f = IdX .
Odnotujmy kilka własności homeomorifzmów:
f
f
• Homeomorfizm (X, TX ) −
→ (Y, TY ) jest bijekcją zbiorów X −
→ Y , ale nie każda ciągła
bijekcja jest homeomorfizmem; np. jeśli zbiór X ma co najmniej dwa punkty, to
identyczność Id : (X, Tδ ) → (X, Taδ ) jest ciągła, ale nie jest homeomorfizmem!
f
• Jeśli (X, TX ) −
→ (Y, TY ) jest homeomorfizmem, to obraz dowolnego zbioru otwartego
jest zbiorem otwartym, bowiem jeśli g jest ciagłym przekształceniem odwrotnym, to
f (U ) = g −1 (U ) a ten zbiór na mocy ciągłości g jest otwarty.
f
• Jeśli (X, TX ) −
→ (Y, TY ) jest ciągłą bijekcją taką, to dla dowolnego zbioru U ∈ TX
jego obraz f (U ) ∈ TY , to f jest homeomorfizmem; uzasadnienie jak wyżej.
1.4
Zbiory domknięte
Definicja 1.4.1. Niech (X, T ) będzie przestrzenią topologiczną. Podzbiór A ⊂ X nazywa
się domknięty (w topologii T ) jeśli X\A ∈ T . Rodzinę podzbiorów domkniętych oznaczamy
FT
Zauważmy, że odwzorowanie −c : P(X) → P(X) przypisujące każdemu zbiorowi jego
dopełnienie ustala bijekcję między rodziną zbiorów otwartych T i rodziną zbiorów domkniętych FT .
Ze wzorów De Morgana2 wynikają następujące własności rodziny zbiorów domkniętych
FT , dwoiste do własności rodziny zbiorów otwartych T , wymienionych w Definicji 1.2.1:
1. X, ∅ ∈ FT ,
2. Dla dowolnej skończonej rodziny {Ai }i∈I
S
i∈I Ai ∈ FT ,
⊂
3. Dla dowolnej rodziny {Ai }i∈I ⊂ FT ich część wspólna
FT
T
i∈I
suma mnogościowa
Ai ∈ FT .
Odnotujmy fakty dotyczące ciągłości odwzorowań w terminach zbiorów domkniętych,
analogiczne do sformułowanych poprzednio dla zbiorów otwartych.
f
1. Przeształcenie (X, TX ) −
→ (Y, TY ) jest ciągłe wtedy i tylko wtedy gdy przeciwobraz
f −1 (B) dowolnego podzbioru domknietego B ⊂ Y jest domknięty w X.
2
Augustus De Morgan (Madurai, Tamil Nadu, India 1806 - 1871 London, UK) became the first professor
of mathematics at University College London and made important contributions to English mathematics. [Mac
Tutor]
4
ROZDZIAŁ 1. CIĄGŁOŚĆ I TOPOLOGIA
f
2. Jeśli (X, TX ) −
→ (Y, TY ) jest homeomorfizmem, to obraz dowolnego zbioru domkniętego jest zbiorem domkniętym.
f
3. Jeśli (X, TX ) −
→ (Y, TY ) jest ciągła bijekcją taką, że dla dowolnego zbioru domkniętego A ⊂ X jego obraz f (A) ⊂ Y jest zbiorem domkniętym to f jest homeomorfizmem.
1.5
Własność Hausdorffa
Definicja 1.5.1 (Własność Hausdorffa3 ). Przestrzeń topologiczną (X, T ) nazywamy przestrzenią Hausdorffa jeśli dla dowolnych różnych punktów x0 , x1 ∈ X istnieją zbiory U0 , U1 ∈
T takie, że x0 ∈ U0 , x1 ∈ U1 oraz U0 ∩ U1 = ∅.
Przykład 1.5.1. Na płaszczyźnie z topologią Zariskiego dowolne dwa niepuste zbiory otwarte mają niepuste przecięcie (na rysunku dwa zbiory - jeden po usunięciu punktów xi , drugi
yj ):
3
Felix Hausdorff (Breslau (Wrocław) 1868 - Bonn 1942) worked in topology creating a theory of topological
and metric spaces. He also worked in set theory and introduced the concept of a partially ordered set. [Mac
Tutor]
1.6. TOPOLOGIE POCHODZĄCE OD METRYKI
5
h
Stwierdzenie 1.5.1. Jeśli (X, TX ) −
→ (Y, TY ) jest homeomorfizmem i (X, TX ) jest przestrzenią Haudorffa, to (Y, TY ) też jest przestrzenią Hausdorffa.
1.6
Topologie pochodzące od metryki
Definicja 1.6.1 (Metryka). Metryką w zbiorze X nazywa się funkcję d : X × X → R spełniającą następujące warunki:
1. d(x, y) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = y,
2. d(x, y) = d(y, x), dla x, y ∈X,
3. d(x, y) ¬ d(x, z) + d(z, y), dla x, y, z ∈ X. (nier. trójkąta)
Liczba d(x, y) nazywa się odległością punktów x, y ∈ X w metryce d. Parę (X, d) nazywamy
przestrzenią metryczną.
Uwaga 1.6.1. Jeśli A ⊂ X jest dowolnym podzbiorem przestrzeni metrycznej (X, dX ), to
obcięcie odwzorowania d do zbioru A × A zadaje metrykę na A - odpowiednią przestrzeń
metryczną oznaczamy (A, dX |A).
Definicja 1.6.2. Kulą (otwartą) w przestrzeni metrycznej (X, d) o środku w punkcie
x0 ∈ X i promieniu r > 0 nazywamy zbiór
B(x0 , r) := {x ∈ X | d(x0 , x) < r},
a kulą domkniętą zbiór D(x0 , r) := {x ∈ X | d(x0 , x) ¬ r}
Stwierdzenie 1.6.1. Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną. Rodzina podzbiorów zbioru X:
T (d) := {U ⊂ X | ∀x∈U ∃r>0 B(x, r) ⊂ U }
jest topologią w X, spełniajacą warunek Hausdorffa.
6
ROZDZIAŁ 1. CIĄGŁOŚĆ I TOPOLOGIA
Dowód. Spełnienie przez zdefinowaną wyżej rodzinę warunków (1), (2) w definicji topologii
1.2.1 jest oczywiste. Jeśli U1 , .., Uk ∈ T (d) oraz x ∈ U1 ∩ ... ∩ Uk i dla każdego i = 1, .., k
istnieje liczba ri > 0 taka, że B(x, ri ) ⊂ Ui , to dla r := min{r1 , .., rk } zachodzi inkluzja
B(x, r) ⊂ U1 ∩ ... ∩ Uk .
Zauważmy, że dowolna kula otwarta B(x, r) ∈ T (d), bowiem dla dowolnego punktu
y ∈ B(x, r) z nierówności trójkata wynika, że dla s := r−d(x, y) zachodzi inkluzja B(y, s) ⊂
B(x, r).
Podobnie warunek Hausdorffa wynika natychmiast z warunku (1) i z nierówności trójkąta. Jeśli x1 , x2 ∈ X są różnymi punktami i d := d(x1 , x2 ) > 0 to kule B(x1 , d2 ) i B(x2 , d2 )
są rozłącznymi otoczeniami otwartymi tych punktów.
Uwaga 1.6.1. Podzbiór U ∈ T (d) wtedy i tylko wtedy, gdy jest sumą kul otwartych.
Nie każda topologia pochodzi od metryki, choćby dlatego, ze nie każda ma własność
Hausdorffa. Z drugiej strony dwie różne metryki mogą wyznaczać tę samą topologię. Np.
dla dowolnej metryki d jej ”obcięcie” z góry przez dowolną liczbę > 0 np. 1, czyli d0 (x, y) :=
min{d(x, y), 1} wyznacza tę samą topologię co d. Stąd następna definicja:
Definicja 1.6.3 (Metryki równoważne i topologia metryzowalna). Metryki d1 , d2 w zbiorze
X nazywają się równoważne jeśli T (d1 ) = T (d2 ). Jeśli (X, T ) jest przestrzenią topologiczną
taką, że istnieje metryka d na X taka, że T = T (d) to mówimy, że przestrzeń (X, T ) jest
metryzowalna.
Stwierdzenie 1.6.2. Jeśli przestrzeń (X, TX ) jest metryzowalna, a przestrzeń (Y, TY ) jest
z nią homeomorficzna, to jest także metryzowalna.
Dowód. Jeśli g : (Y, TY ) → (X, TX ) jest homeomorfizmem, a dX : X × X → R metryką
taką, że TX = T (dX ) to definiujemy metrykę ”przenosząc” ją przez odwzorowanie g :
dY : Y × Y → R wzorem dY (y1 , y2 ) := dX (g(y1 ), g(y2 )).
f
Stwierdzenie 1.6.3. Odwzorowanie (X, T (dX )) −
→ (Y, T (dY )) jest ciągłe wtedy i tylko
wtedy, gdy dla każdego punktu x0 ∈ X i dla każdej liczby > 0 istnieje liczba δ > 0 taka,
że f (B(x0 , δ)) ⊂ B(f (x0 ), ).
1.6. TOPOLOGIE POCHODZĄCE OD METRYKI
7
Definicja 1.6.4. Ciąg punktów {xn } przestrzeni metrycznej (X, d) jest zbieżny do punktu
x0 ∈ X wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnej liczby > 0 istnieje liczba n() taka, że dla
wszystkich n > n(), xn ∈ B(x0 , ) tzn. d(xn , x0 ) < .
f
Stwierdzenie 1.6.4. (X, T (dX )) −
→ (Y, T (dY ))
gdy zachowuje granice ciągów, tzn.
jest ciągłe ⇐⇒ wtedy i tylko wtedy,
x0 = lim{xn } =⇒ f (x0 ) = lim{f (xn )}.
Dowód. Powtórz dowód równoważności definicji ciagłości wg Heinego i Cauchy znany z
Analizy Matematycznej I.