dr inż. Sławomir Bielecki
Transkrypt
dr inż. Sławomir Bielecki
Zakres wykładu Fale mechaniczne Fale elektromagnetyczne Równanie falowe Fale stojące Przenoszenie energii przez fale Efekt Dopplera Figury Lissajous Rozprzestrzenianie się fal elektromagnetycznych Prowadzący: dr inż. Sławomir Bielecki adiunkt Zakład Racjonalnego Użytkowania Energii ITC PW Literatura pok. 405A TC [email protected] http://itc.pw.edu.pl/Pracownicy/Naukowo-dydaktyczni/Bielecki-Slawomir I.W.Sawieliew: I.W.Sawieliew: Wykłady z fizyki, tom 2. PWN 1998 (rozdz.:XIV, XV) D.Halliday, R.Resnick: R.Resnick: Fizyka 2. PWN 1998 (rozdz. 19,20, 41, 42.5) L.D.Landau, J.M.Lifszyc: J.M.Lifszyc: Teoria pola. PWN 2009 (rozdz. VI) 2 Fala poprzeczna Fale mechaniczne Zaburzenie – wytrącenie pewnego obszaru ośrodka ze stanu równowagi Ruch falowy – rozchodzenie się zaburzeń równowagi ośrodka sprężystego (o zdolności powrotu do stanu pierwotnego – przed odkształceniem po usunięciu oddziaływania). Impuls falowy – rozchodzące się w ośrodku pojedyncze odkształcenie Fala podłużna Fale (procesy rozchodzenia się drgań w przestrzeni): przestrzeni): Poprzeczne – cząsteczki ośrodka drgają prostopadle do kierunku rozchodzenia się fal Podłużne - cząsteczki ośrodka drgają wzdłuż kierunku rozchodzenia się fal (rozprzestrzenianie się zagęszczeń i rozrzedzeń ośrodka). Liniowe – rozchodzą się wzdłuż jednego kierunku Powierzchniowe – rozchodzą się po powierzchni Przestrzenne - rozchodzą się po przestrzeni Długość Amplituda Okres, częstotliwość Prędkość rozchodzenia Faza początkowa 3 4 Równanie fali Fala harmoniczna – fala, w której drgania są sinusoidalnie zmienne. Każdą falę można otrzymać ze złożenia odpowiedniej ilości fal harmonicznych (superpozycja) Wychylenie w punkcie x=0 w chwili początkowej: To samo wychylenie yo można zaobserwować w innym punkcie x w chwili: Wychylenie y(x,t) w punkcie x z chwili t można zaobserwować w punkcie początkowym x=0 w chwili: Zatem, ogólnie: Twierdzenie Fouriera: Fouriera: Dowolne drganie okresowe o okresie T można przedstawić jako sumę (kombinację liniową) drgań harmonicznych o okresach: Tn= T/n , gdzie n jest liczbą naturalną. Liczba falowa: 5 Równanie fali: 6 Skąd: Fala płaska w przestrzeni (x,y,z): Różniczkując dwukrotnie: Zatem: Równanie falowe Dla fali płaskiej, rozchodzącej się wzdłuż osi x: 7 8 Prędkość fali w naprężonej strunie Siła naprężająca strunę: F Skąd: Masa przypadająca na jednostkę długości struny: ale: Elementarny wycinek struny (o długości dx) i masie: Równanie falowe Zakładamy dla uproszczenia, że końce wycinka struny tworzą z osią x małe kąty, więc: Czyli otrzymujemy, że prędkość: Siła wypadkowa wychylająca strunę w kierunku y: II zasada dynamiki: 9 10 Fale stojące Przenoszenie energii przez fale Powstają, w wyniku interferencji dwóch fal o równych częstotliwościach, długościach i amplitudach, ale rozchodzącymi się w przeciwnych kierunkach wzdłuż tej samej linii Np. gdy fala odbija się od powierzchni prostopadłej do kierunku rozchodzenia się fali. Wprawiając koniec struny w drgania poprzeczne źródło zaburzenia wykonuje pracę, która objawia się w postaci energii kinetycznej i potencjalnej punktów struny (ośrodka) Siła F jaka działa na koniec struny porusza struną w górę i w dół wprawiając jej koniec w drgania w kierunku y. Moc przenoszona: Strzałki – punkty w których: „nowa” amplituda Prędkość poprzeczna: Składowa siły wzdłuż y: Węzły – punkty w których: Interferencja fal o różnych częstotliwościach wywołuje dudnienia. Zatem: Zakładając: (małe kąty, znak minus wynika z ujemnego nachylenia struny ) Otrzymujemy: 11 12 Fale elektromagnetyczne Jeżeli drganie struny (fala harmoniczna): Poprzednio wyprowadziliśmy na podstawie równań Maxwella równania falowe dla fal elektromagnetycznych: czyli: Dla jednorodnego ośrodka neutralnego i nieprzewodzącego: σ=0 i j=0 o przenikalnościach: ε=εr εο i µ=µr µο: Równania się upraszczają: Ponieważ: więc: Tymczasem, równanie falowe: Moc (szybkość przepływu energii) oscyluje w czasie. Moc zależy od kwadratu częstotliwości i kwadratu amplitudy. Fale stojące nie przenoszą energii – magazynują energię w drgających elementach ośrodka (energia nie może przepłynąć przez węzły, węzły nie drgają, więc ich energia kinetyczna i potencjalna jest równa „0”) Zatem, prędkość fali e-m w ośrodku: 13 14 Fale e-m rozchodzą się w próżni z prędkością c≈3*108 m/s. W ośrodku, prędkość rozchodzenia zależy od jego przenikalności. W próżni: ε=εr εο µ=µr µο εr=1 µr =1 skąd: Zatem, prędkość fali e-m w ośrodku: Wartość bezwzględna gęstości strumienia energii: wc=EH=S Wektory E i H są wzajemnie prostopadłe i tworzą z kierunkiem rozchodzenia się fali układ prawoskrętny, zatem kierunek wektora ExH jest zgodny z kierunkiem przenoszenia energii. W próżni i ośrodku nieprzewodzącym wektory pola elektrycznego i magnetycznego drgają w jednakowej fazie. Można pokazać, że (relacja między amplitudami fali pola elektr. i magnet.): Wektor Poyntinga: S=ExH Powyższe właściwości S słuszne również w ośrodkach dielektrycznych i przewodzących. Gęstość energii pola e-m w próżni: 15 16 Figury Lissajous Powstają, gdy ruchy falowe (harmoniczne) wywołują przemieszczenia w kierunkach prostopadłych względem siebie, a stosunek ich częstotliwości jest liczbą całkowitą. Wypadkowe zaburzenie jest sumą wektorową poszczególnych przemieszczeń, jego postać zależy od amplitud, częstotliwości oraz fazy przesunięcia względem siebie. 17 18 Figury Lissajous – więcej możliwości: Efekt Dopplera Strzał co czas T, prędkość każdego pocisku vv. Strzelający biegnie z prędkością vs. 19 20 Przypadek 2-wymiarowy Prędkość źródła: Gdy biegnie z prędkością vs w kierunku przeciwnym do strzału: wersor kierunku. Składowa radialna prędkości: Analogia do ruchu falowego: pociski – maksimum fali o okresie T i długości λo, żołnierz – źródłem fali. Odległość między maksimami fali o poruszającym się źródle: Rzeczywista częstotliwość fali fo,=1/T Częstotliwość fali rejestrowana f1. Zmiana częstotliwości spowodowana efektem Dopplera: 21 22 Zjawisko Dopplera – rozbieżność między częstotliwością fali wysyłanej przez źródło (nadajnik) a częstotliwością odbieraną przez odbiornik, w przypadku gdy obiekty te poruszają się względem siebie (lub ośrodka będącego nośnikiem fali). W optyce – gdy źródło światła się oddala, częstotliwość fali świetlnej maleje, np. kolor żółty staje się czerwonym (obserwacja przy b.dużych prędkościach – c=3*108m/s) – wykorzystywane w astronomii (przesunięcie widma gwiazdy w kierunku podczerwieni świadczy o oddalaniu się gwiazdy). W akustyce – oddalając z prędkością vo się od źródła dźwięku o częstotliwości f słyszymy dźwięk niższy o częstotliwości f' - znak „-”, zbliżając się (z prędkością vo) – dźwięk wyższy (o częstotliwości f') – znak „+”, v – prędkość dźwięku. Gdy źródło fali porusza się z prędkością większą od prędkości emitowanej fali: Fala uderzeniowa Samolot naddźwiękowy „fala uderzeniowa dźwiękowa” „Fala uderzeniowa świetlna” Prędkość rozchodzenia się światła (fal świetlnych) zależy od ośrodka – jest mniejsza od prędkości światła w próżni c0. Cząstka (np. elektron) może poruszać się w danym ośrodku z prędkością wyższą od prędkości rozchodzenia się fal świetlnych w tym ośrodku (ale mniejszą niż c0) - „wyprzedzić światło”. 23 Zjawisko „nadświetlne”- powstaje stożek świetlny uderzeniowa. Efekt Wawiłowa - Czerenkowa – świetlna fala 24 Rozchodzenie się fal e-m Falowód Pusta rura metalowa bez przewodnika wewnętrznego Kabel koncentryczny (dla czytelności pominięto na rysunku wektor pola magnetycznego) Pole elektryczne – radialne, magnetyczne – koncentrycznie wokół wewnętrznego przewodnika. Rozkład pól (dla czytelności pominięto na rysunku wektor pola elektrycznego) 25 26 Antena dipolowa Promieniowanie 1. Podać równanie fali płaskiej w przestrzeni i wyjaśnić użyte w równaniu wielkości. 2. Od jakich wielkości zależy równanie falowe? 3. Który rodzaj fali ma zdolność do magazynowania energii, od czego zależy wielkość mocy przesyłanej przez fale? 4. Od czego zależy prędkość rozchodzenia się fali elektromagnetycznej? 5. Jak powstają figury Lissajous? 6. Na czym polega zjawisko Dopplera, czy występuje ono również w optyce? 27 28