Ekstrema lokalne funkcji wielu zmiennych - E-SGH

Ekstrema lokalne funkcji wielu zmiennych
L
à ukasz Woźny∗
dnia 4 listopada 2005
Rozpatrzmy funkcje, f : X → R, gdzie X ⊂ Rn jest zbiorem otwartym:
Definicja 1 Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x0 ∈ X minimum (maksimum) lokalne wtt, gdy
∃r > 0 ∀x ∈ K(x0 , r)
f (x0 ) ≤ f (x)
(f (x0 ) ≥ f (x))1 .
Twierdzenie 1 Jeżeli funkcja f ma w otoczeniu punktu x0 ∈ X ciagÃ
, le
0 (x ) = 0, to:
pochodne czastkowe
drugiego
rz
edu
i
f
0
,
,
• f ma minimum (maksimum) lokalne w x0 , gdy macierz f 00 (x0 ) jest
dodatnio (ujemnie) określona,
• f nie ma ekstremum lokalnego w x0 , gdy macierz f 00 (x0 ) jest nieokreślona.
Definicja 2 Niech f, g1 , g2 , . . . , gm : X → R, gdzie X ⊂ Rn jest zbiorem
otwartym a n > m. Niech ponadto:
G = [g1 , g2 , . . . , gm ]T ,
M = {x ∈ X : G(x) = 0}.
Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x0 ∈ M minimum (maksimum) lokalne
warunkowe na zbiorze M wtt, gdy:
∃r > 0 ∀x ∈ M ∩ K(x0 , r)
f (x0 ) ≤ f (x)
(f (x0 ) ≥ f (x))2 .
Definicja 3 Punkt x0 ∈ M nazywamy punktem regularnym ograniczeń wtt
0
rz G0 (x0 ) = m a wiec
, wiersze macierzy G (x0 ) sa, liniowo niezależne.
∗
[email protected].
Jeżeli nierówność jest speÃlniona dla wszystkich argumentów x ∈ X, to x0 nazywamy
minimum (maksimum) globalnym f na X
2
Jeżeli nierówność jest speÃlniona dla każdego x ∈ M , to x0 nazywamy minimum (maksimum) globalnym f na M
1
1
Definicja 4 Funkcja, Lagrange’a dla problemu ekstremum warunkowego zadanego przez f i G nazywamy funkcje, L : X → R o wartościach
L (x, λ) = f (x) + λT G(x),
gdzie x ∈ X ⊂ Rn jest wektorem zmiennych, a λ ∈ Rm jest wektorem
parametrów (mnożników Lagrange’a).
Twierdzenie 2 W problemie zadanym przez różniczkowalne f, g1 , g2 , . . . , gm
funkcja f może mieć ekstremum lokalne na M tylko w takim x0 , że:
• x0 jest punktem nieregularnym w M ,
• x0 wraz z wektorem λ0 speÃlnia ukÃlad:
½
L 0 (x, λ) = 0,
G(x)
= 0.
Twierdzenie 3 Jeśli w problemie na ekstremum warunkowe zadanym przez
f i G funkcje f, g1 , g2 , . . . , gm maja, ciagÃ
drugiego rzedu,
, le pochodne czastkowe
,
,
x0 jest punktem regularnym w M i L 0 (x0 , λ0 ) = 0 to:
• f ma minimum (maksimum) lokalne na M , jeśli forma kwadratowa
zadana macierza, L 00 (x0 , λ0 ) jest dodatnio (ujemnie) określona na H =
Ker G0 (x0 ),3
• f nie ma ekstremum lokalnego na M , jeśli forma kwadratowa zadana
macierza, L 00 (x0 , λ0 ) jest nieokreślona na H = Ker G0 (x0 )
Przypomnijmy: H = Ker G0 (x0 ) = {h ∈ Rn : G0 (x0 )h = 0} a dodatnia
(ujemna) określoność L 00 (x0 , λ0 ) na jadrze
H oznacza, że (L 00 (x0 , λ0 )h|h) >
,
(<)0 dla h ∈ H \ {0}.
Opracowane na podstawie:
Dubnicki W., J. KÃlopotowski, T. Szapiro, Analiza matematyczna. Podrecz,
nik dla ekonomistów , Warszawa 1999.
3
W szczególności, gdy macierz L 00 (x0 , λ0 ) jest dodatnio (ujemnie) określona.
2