Zestaw II

Zestaw II
Podpowiedź: możemy zapisać, że jeśli ρx pxq to funkcja gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej X oraz
ρy pyq to funkcja gęstości prawdopodobieństwa zmiennej
losowej Y oraz znana jest relacja Y “ f pXq to można
zapisać równość:
ż
ÿ
1
ρY pyq “ ρX pxqδ py ´ f pxqq dx “
ρX pxi pyqq,
1
|f pxi pyqq|
i
Marcin Abram
e-mail: [email protected]
http://th.if.uj.edu.pl/~abram/
3 marca 2014 r.
Wprowadzenie
Dla ciągłej zmiennej losowej u definiujemy funkcję gęstości prawdopodobieństwa (rozkładu prawdopodobieństwa) ρpuq, taką że ρpuqdu ” P ru ă u1 ă u ` dus, gdzie
prawa strona określa prawdopodobieństwo, że zmienną u1
można znaleźć w przedziale od u do u ` du. Scałkowana
funkcja rozkładu to dystrybuanta˚
żu
Rpuq “
ρpxqdx.
gdzie sumowanie zachodzi po wszystkich rozwiązaniach xi
równania f pxq “ y.
Dla funkcji gęstości wielu zmiennych należy użyć Jakobianu J:
ˇ
˙ˇ
ˆ
ˇ
Bxi ˇˇ
ˇ
ρX p~xq,
ρY p~y q “ ˇdet J
Byi ˇ
(gdzie założono, że odwzorowanie f p~xq “ ~y jest iniekcją).
´8
Zadanie 3 (1 punkt)
Dystrybuanty to funkcja niemalejąca o wartościach z przedziału r0,1s. Definiujemy ponadto:
Wyznacz funkcję gęstości prawdopodobieństwa dla
zmiennej losowej Y zdefiniowanej jako:
‚ wartość oczekiwana funkcji f :
ż
Epf q “ f puqdRpuq.
iv) Y “ arctg λx , dla X o rozkładzie Cauchy’ego;
v) Y “ X1 ` X2 , dla X1 i X2 będących niezależnymi
zmiennymi losowymi o rozkładach Gaussa (µ, σ).
‚ wariancja funkcji jako f :
`
˘
V pf q “ E rf ´ Epf qs2 ,
Podpowiedź: Rozważając przypadek z Y “ X1 ` X2 ,
można najpierw rozważyć ogólniejszą transformację: Y1 “
X1 ` X2 oraz Y2 “ X1 , następnie policzyć
ρY~ py1 ,y2 q, a na
ş
koniec wykorzystać fakt, że ρY py1 q “ R ρY~ py1 ,y2 q dy2 .
‚ kowariancję między zmiennymi losowymi x oraz y:
covpx,yq “ E prx ´ Epxqsry ´ Epyqsq .
Kowariancja określa czy (i jak) zmienne są ze sobą
skorelowane. Jeśli:
Zadanie 4 (1 punkt)
Tresowana mysz żyje w pudełku podzielonym na 4 pokoje. Pokój A ma tylko jedno przejście do pokoju B. Pokój
B ma jedno przejście do pokoju A i trzy przejścia do pokoju C. Pokój C ma trzy przejścia do pokoju B i jedno
przejście do pokoju D. Pokój D ma tylko jedno przejście
do pokoju C (patrz rysunek).
ž covpx,yq “ 0 to x i y są nieskorelowane,
ž covpx,yq ą 0 to x i y są dodatnio skorelowane,
ž covpx,yq ă 0 to x i y są ujemnie skorelowane.
Zadanie 1 (1 punkt)
Wykaż, że:
i) Epcx ` yq “ cEpxq ` Epyq,
ii) V pcx ` yq “ c2 V pxq ` V pyq ` 2c ¨ covpx,yq.
iii) Jeśli zmienne x i y są niezależne, to są one też nieskorelowane, oraz że dla takich zmiennych V px ` yq “
V pxq ` V pyq.
Zadanie 2 (1 punkt)
Na dźwięk dzwonka mysz przechodzi z równym prawdopodobieństwem przez jedno z przejść. Wylicz, jaką część
życia mysz spędza w każdym z pokoi. Załóż, że dzwoi) Y “ 2X, dla X o rozkładzie jednostajnym na odcinku nek odzywa się regularnie i czas między poszczególnymi
r´a,as;
dzwonkami jest dużo mniejszy niż czas życia myszy.
n
ii) Y “ X , dla X o rozkładzie jednostajnym na odcinku
r0,1s;
Zadanie 5 (1 punkt)
Wyznacz funkcję gęstości prawdopodobieństwa dla
zmiennej losowej Y zdefiniowanej jako:
iii) Y “ X 2 , dla X o rozkładzie Gaussa z µ “ 0 i σ “
?1 ;
2
Oznaczmy, że jeśli zmienna u ma rozkład jednorodny z
przedziału od 0 do 1, to u P Up0,1q. Teraz, jeśli znamy
dystrybuantę pewnego rozkładu F , to wówczas zmienna
˚ Czasem
też oznaczana jako F . Nie ma to jednak wielkiego znaczenia tak długo jak wiemy o czym mówimy.
1
x “ F ´1 puq ma rozkład o dystrybuancie F . Może to posłużyć do generowania rozkładów opisanych żądaną funkcją. Przykładowo chcielibyśmy wygenerować rozkład wykładniczy ρpxqş “ e´x dla x ą 0. Obliczamy dystrybu1
x
antę F pxq “ 0 e´x dx1 “ 1 ´ e´x . Zapiszmy więc, że
jeśli F pxq “ u to x “ ´ lnp1 ´ uq. Ponieważ 1 ´ u jest
tym samym co u, to ostatecznie mamy, że zmienna losowa x “ ´ lnpuq gdzie u P Up0,1q ma żądany rozkład
ρpxq “ e´x .
Używając podobnej techniki wygeneruj rozkłady:
‚ potęgowy ρ2 pxq “ nxn´1 , gdzie x P r0,1s,
‚ Cauchy’ego ρ3 pxq “
1
λ
π x2 `λ2 ,
gdzie x P R.
Zadanie 6 (1 punkt)
Rozkład dyskretny Bernoullego definiujemy jako
ˆ ˙
N n
P pnq “
p p1 ´ pqN ´n ,
n
gdzie p to prawdopodobieństwo pojedynczego sukcesu, a
P pnq to prawdopodobieństwo, że w N próbach powiedzie
nam się dokładnie n razy. Wykaż, że dla powyższego rozkładu Epnq “ N p i V pnq “` N˘pp1`´ pq.˘
N ´1 N
Wskazówka: zauważ, że N
n “ n´1 n .
Zadanie domowe (1 punkt) :
Do oddanie przed kolejnymi zajęciami.
Jeśli zmienne są niezależne, to są też nieskorelowane.
Nie działa to jednak w druga stronę. Podaj przykład na
to, że jeśli dwie zmienne losowe są nieskorelowane, to mogą
być jednocześnie zależne.
: Zadanie domowe nie jest obowiązkowe. Jednak to zadanie jest
warte 1 punkt. Nie każdy zestaw będzie kończyc się zadaniem domowym. Przewiduję około 4 zadania domowe w ciągu semestru. Zachęcam więc do jego zrobienia – jest to sposób na zdobycie dodatkowych
punktów. Zadanie domowe można przynieść na najbliższe ćwiczenia
lub wysłać w formie elektronicznej w terminie do 10 marca do godziny 1400 .
2