Analiza Matematyczna dla Informatyków Lista 1 Zadanie 1 Czy
Transkrypt
Analiza Matematyczna dla Informatyków Lista 1 Zadanie 1 Czy
Analiza Matematyczna dla Informatyków Lista 1 Zadanie 1 Czy zdanie Jeżeli 3 jest liczba, parzysta, , to o ile 3 jest liczba, nieparzysta, , to 3 jest podzielne przez 2.” jest ” prawdziwe? A co można powiedzieć o prawdziwości zdania: Jeżeli n jest liczba, parzysta, , to o ile n jest liczba, nieparzysta, , to 3 jest ” podzielne przez 2.”? Zadanie 2 Sprawdzić, czy nastepuj ace zdania sa, tautologiami: , , p ⇒ (q ⇒ p) (¬p) ⇒ p ⇒ p p ⇒ (¬q ∧ q) ⇒ r p ⇒ (q ⇒ (p ∧ q)) (¬p) ⇒ (p ⇒ q) (p ∨ q) ⇒ r ⇒ (p ⇒ r) ∨ (q ⇒ r) p ⇒ (q ⇒ r) ⇒ [(p ⇒ q) ⇒ (p ⇒ r)] (p ⇒ q) ∧ (¬q) ⇒ (¬p) (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r) ⇒ (p ⇒ r) Zadanie 3 Rozstrzygnać , poprawność poniższych wnioskowań Sherlocka Holmesa, odpowiedź uzasadnić: Jeżeli morderca jest lekarzem, to zna dzialanie tej rzadkiej trucizny. Dowody wskazuja, na to, że morderca zna dzialanie tej trucizny. Zatem morderca jest lekarzem. Jeżeli morderca jest lekarzem, to zna dzialanie tej rzadkiej trucizny. Dowody wskazuja, na to, że morderca nie umial przewidzieć dzialania tej trucizny. Zatem morderca nie jest lekarzem. Zadanie 4 Definiujemy dwa spójniki logiczne ↓ (kreske, Sheffera, operator NAND) oraz ⊥ (spójnik Pierce’a, operator NOR) w nastepuj acy sposób: , , def p ↓ q = (¬p ∨ ¬q) def p ⊥ q = (¬p ∧ ¬q) . oraz Podać tabele ich wartości logicznych. (*) Wyrazić koniunkcje, kreski Sheffera, a nastepnie przy użyciu , , alternatywe, , negacje, , implikacje, przy użyciu wylacznie , spójnika Pierce’a. Zadanie 5 Zapisać przy użyciu kwantyfikatorów oraz ocenić wartość logiczna, poniższych zdań. Odpowiedź uzasadnić. a) b) c) d) e) f) Suma dowolnych dwóch liczb rzeczywistych jest wieksza od ich różnicy. , Iloczyn pewnych dwóch liczb rzeczywistych jest mniejszy od ich ilorazu. Istnieja, liczby rzeczywiste nie bed kwadratem żadnej liczby rzeczywistej. , , ace Nie istnieje liczba rzeczywista, której kwadrat bylby mniejszy od zera. Uklad równan: x + y = 2, 2x + 2y = 3 nie ma rozwiazań. , Liczby 5 i 17 nie maja, wspólnego dzielnika. Zadanie 6 Niech A, B, C, D ⊆ X sa, zbiorami. Spradzić, czy nastepuj ace wlasności sa, prawdziwe: , , X \ (A ∪ B) = (X \ A) ∩ (X \ B); X \ (A ∩ B) = (X \ A) ∪ (X \ B); A ∩ (B \ C) = (A ∩ B) \ (A ∩ C); A ∪ (B \ C) ⊇ (A ∪ B) \ (A ∪ C); (A \ B) \ (C \ D) ⊂ (A \ C) ∪ (D \ B); (A × B) ∩ (C × D) = (A ∩ C) × (B ∩ D). Zadanie 7 Wyznaczyć i naszkicować na osi liczbowej lub w ukladzie wspólrzednych nastepuj ace zbiory: , , , 3 2 4 3 2 x ∈ R : 4x − 21x + 29x − 6 = 0 x ∈ R : x − 3x − 2x − 6x − 8 = 0 √ {x ∈ R : 1 ≤ | log2 x| ≤ 2} x ∈ R : x2 − 2x + 1 < 1 2 2 (x, y) ∈ R : y > x (x, y) ∈ R2 : |x| + |y| ≤ 1 n o 2 2 (x, y) ∈ R2 : 2x + 3y + 5 = 0 (x, y) ∈ R2 : x4 + y9 = 1 (x, y, z) ∈ R3 : 3x + 4y + 2z − 1 = 0 (x, y, z) ∈ R3 : (x − 1)2 + (y + 2)2 + (z − 3)2 = 25 n o p (x, y, z) ∈ R3 : z = x2 + y 2 (x, y, z) ∈ R3 : y = x2 + z 2 − 1 . Zadanie 8 Rozwiazać nierówności: , 2x − 1 < 1, 3x + 5 1 1 > , |x − 2| 1 + |x − 1| |x| − 1 1 ≥ . 2 x −1 2 2 Zadanie 9 Wyznaczyć dziedzine, i zbiór wartości nastepuj acych funkcji: , , √ x 1 f (x) = , g(x) = 2 h(x) = x − 1, 1, 1+x x −x+ 4 1 k(x) = min x, x , a nastepnie naszkicować ich wykresy. , Zadanie 10 Wyznaczyć dziedziny funkcji q f (x) = log 12 (1 − sin 2x) − log 12 (1 − cos 2x) √ 1 10 + 3x − x2 g(x) = logx2 −1 22x+1 − − . 8 x2 − 4x i Zadanie 11 Pokazać, że funkcja f (x) = x + x1 , x 6= 0, jest funkcja, nieparzysta, , rosnac , a, na przedziale [1, +∞) oraz malejac a na przedziale (0, 1]. , , Zadanie 12 Zbadać parzystość (nieparzystość) nastepuj acych funkcji , , p x−1 2x + 1 f (x) = log , g(x) = x · x , h(x) = log x + 1 + x2 , x+1 2 −1 k(x) = sin x + cos x. Zadanie 13 Niech f : D → R, gdzie D jest niepustym podzbiorem R symetrycznym wzgledem 0. Pokazać, że f można , przedstawić jako sume, funkcji parzystej i nieparzystej. Zadanie 14 Dla jakich liczb a, b, c ∈ R odwzorowanie f : R 3 x 7→ ax2 + bx + c ∈ R jest iniekcja, , suriekcja, , bijekcja? , Zadanie 15 Sprawdzić, czy podane funkcje p x , g(x) = x − x2 , f (x) = 2 x +1 sa, różnowartościowe i wyznaczyć ich zbiory wartości. h(x) = ex−1 , k(x) = log 5x − x2 − 6 Zadanie 16 Niech f : R → R2 jest odwzorowaniem określonym wzorem f (x) = (x + 2, 2x + 1). Sprawdzić czy f jest iniekcja, lub suriekcja. , Zadanie 17 Niech f, g : R → R bed , a, funkcjami określonymi wzorami x+1 dla x < 1 f (x) = i x2 + x dla x ≥ 1 g(x) = x . x2 + 1 0, −x2 , dla x ≤ 0, dla x > 0. Utworzyć g ◦ f . Zadanie 18 Dane sa, dwa odwzorowania f, g : R → R: 0, dla x ≤ 0, f (x) = x, dla x > 0 i g(x) = Naszkicować wykresy tych odwzorowań i wyznaczyć zlożenia g ◦ f i f ◦ g. Zadanie 19 Przedstawić funkcje f (x) = q log 12 (1 − sin 2x) i |2x+1| g(x) = log2 2 1 − 8 w postaci zlożenia funkcji elementarnych. Zadanie 20 Niech f : R2 → R i g : R → R bed , a, odwzorowaniami określonymi wzorami f (x, y) = 2x − y i g(x) = Utworzyć g ◦ f . x 1+x2 .