Niezawodność konstrukcji betonowych w ujęciu Eurokodów

POMORSKA OKRĘGOWA IZBA INŻYNIERÓW BUDOWNICTWA
dr inż. Marek Wesołowski
Politechnika Gdańska
Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska
Niezawodność konstrukcji betonowych
w ujęciu Eurokodów
Gdańsk-Słupsk, wrzesień 2014
1. Ogólny układ europejskich norm projektowania konstrukcji
Jak wiadomo, Eurokody (często opisywane skrótowym symbolem EC) są zbiorem zunifikowanych norm,
zatwierdzonych przez Europejski Komitet Normalizacyjny (Comité Européen de Normalisation – CEN),
które obowiązują we wszystkich krajach Unii Europejskiej i dotyczą projektowania wszelkich konstrukcji
budowlanych.
W zbiorze tym znajduje się wiodąca norma podstawowa (EN 1990) oraz dziewięć norm przedmiotowych
(EC1EC9), z których każda jest pakietem kilku norm szczegółowych:
EN 1990. Eurokod. Podstawy projektowania konstrukcji
EN 1991. Eurokod 1. Oddziaływania na konstrukcje
EN 1992. Eurokod 2. Projektowanie konstrukcji z betonu
EN 1993. Eurokod 3. Projektowanie konstrukcji stalowych
EN 1994. Eurokod 4. Projektowanie zespolonych konstrukcji stalowo-betonowych
EN 1995. Eurokod 5. Projektowanie konstrukcji drewnianych
EN 1996. Eurokod 6. Projektowanie konstrukcji murowych
EN 1997. Eurokod 7. Projektowanie geotechniczne
EN 1998. Eurokod 8. Projektowanie konstrukcji na oddziaływania sejsmiczne
EN 1999. Eurokod 9. Projektowanie konstrukcji aluminiowych
Podczas wstępnych prac normalizacyjnych przyjęto zasadę publikowania tekstu norm najpierw w trzech
językach oficjalnych: angielskim, francuskim i niemieckim, a następnie w tłumaczeniach na poszczególne
języki narodowe. Treść każdego Eurokodu jest analogiczna, niezależnie od wersji językowej (tłumaczenia
krajowe muszą być tak dokładne, że nawet ewidentne błędy oficjalnych wersji językowych są wiernie
przetłumaczone), przy czym odpowiedni załącznik krajowy (o ściśle wyznaczonych granicach), może być
dostosowany do specyfiki danego kraju członkowskiego UE.
2. Obciążenia konstrukcji budowlanych wg Eurokodów
Podstawowym punktem wyjścia do projektowania konstrukcji budowlanych jest odpowiednie
zdefiniowanie oddziaływań i ich kombinacji. W tym celu należy na wstępie zebrać adekwatne obciążenia.
Temu celowi służy pakiet norm, sygnowany jako Eurokod 1. Na dzień dzisiejszy, według polskiej wersji
językowej, w jego skład wchodzą następujące normy szczegółowe:
PN-EN 1991-1-1. Eurokod 1. Oddziaływania na konstrukcje,
Część 1-1. Oddziaływania ogólne
Ciężar objętościowy, ciężar własny, obciążenia użytkowe w budynkach,
Polski Komitet Normalizacyjny, Warszawa 2004
PN-EN 1991-1-2. Eurokod 1. Oddziaływania na konstrukcje,
Część 1-2. Oddziaływania ogólne
Oddziaływania na konstrukcje w warunkach pożaru,
Polski Komitet Normalizacyjny, Warszawa 2006
PN-EN 1991-1-3. Eurokod 1. Oddziaływania na konstrukcje,
Część 1-3. Oddziaływania ogólne
Obciążenie śniegiem,
Polski Komitet Normalizacyjny, Warszawa 2005
PN-EN 1991-1-4. Eurokod 1. Oddziaływania na konstrukcje,
Część 1-4. Oddziaływania ogólne
Oddziaływanie wiatru,
Polski Komitet Normalizacyjny, Warszawa 2008
PN-EN 1991-1-5. Eurokod 1. Oddziaływania na konstrukcje,
Część 1-5. Oddziaływania ogólne
Oddziaływania termiczne,
Polski Komitet Normalizacyjny, Warszawa 2005
2
PN-EN 1991-1-6. Eurokod 1. Oddziaływania na konstrukcje,
Część 1-6. Oddziaływania ogólne
Oddziaływania w czasie wykonywania konstrukcji,
Polski Komitet Normalizacyjny, Warszawa 2007
PN-EN 1991-1-7. Eurokod 1. Oddziaływania na konstrukcje,
Część 1-7. Oddziaływania ogólne
Oddziaływania wyjątkowe,
Polski Komitet Normalizacyjny, Warszawa 2008
PN-EN 1991-2. Eurokod 1. Oddziaływania na konstrukcje,
Część 2. Obciążenia ruchome mostów,
Polski Komitet Normalizacyjny, Warszawa 2007
PN-EN 1991-3. Eurokod 1. Oddziaływania na konstrukcje,
Część 3. Oddziaływania wywołane dźwignicami i maszynami,
Polski Komitet Normalizacyjny, Warszawa 2009
PN-EN 1991-4. Eurokod 1. Oddziaływania na konstrukcje,
Część 4. Silosy i zbiorniki,
Polski Komitet Normalizacyjny, Warszawa 2008
Wyżej wymienionym normom europejskim, mającym dziś status obowiązującej polskiej normy krajowej
(co poświadcza skrót literowy PN na początku oznaczenia każdej normy), odpowiadały w niedawnej jeszcze
przeszłości, jednakże w nieco innym układzie, odpowiednie, znane większości do dziś, przedmiotowe normy
polskie:
PN-82/B-02001. Obciążenia budowli.
Obciążenia stałe,
Polski Komitet Normalizacji, Miar i Jakości, Warszawa 1982
PN-82/B-02003. Obciążenia budowli.
Obciążenia zmienne technologiczne. Podstawowe obciążenia technologiczne i montażowe,
Polski Komitet Normalizacji, Miar i Jakości, Warszawa 1982
PN-82/B-02004. Obciążenia budowli.
Obciążenia zmienne technologiczne. Obciążenia pojazdami,
Polski Komitet Normalizacji, Miar i Jakości, Warszawa 1982
PN-86/B-02005. Obciążenia budowli.
Obciążenia suwnicami pomostowymi, wciągarkami i wciągnikami,
Polski Komitet Normalizacji, Miar i Jakości, Warszawa 1986
PN-80/B-02010. Obciążenia w obliczeniach statycznych.
Obciążenie śniegiem,
Polski Komitet Normalizacji, Miar i Jakości, Warszawa 1980
PN-77/B-02011. Obciążenia w obliczeniach statycznych.
Obciążenie wiatrem,
Polski Komitet Normalizacji i Miar, Warszawa 1977
PN-87/B-02013. Obciążenia budowli.
Obciążenia zmienne środowiskowe. Obciążenie oblodzeniem,
Polski Komitet Normalizacji, Miar i Jakości, Warszawa 1987
PN-88/B-02014. Obciążenia budowli.
Obciążenie gruntem,
Polski Komitet Normalizacji, Miar i Jakości, Warszawa 1988
3
PN-86/B-02015. Obciążenia budowli.
Obciążenia zmienne środowiskowe. Obciążenie temperaturą,
Polski Komitet Normalizacji, Miar i Jakości, Warszawa 1986
Jak widać, zakres norm polskich zasadniczo nie odbiegał od aktualnie obowiązującego zestawu norm
europejskich, jednakże ich zawartość była już niekiedy mocno zdezaktualizowana (co dotyczyło przykładowo
norm obciążenia wiatrem i śniegiem).
3. Projektowanie konstrukcji z betonu wg Eurokodów
Szczegółowe dane dotyczące projektowania konstrukcji betonowych, żelbetowych i sprężonych zawiera
pakiet norm, opisywany jako Eurokod 2. Aktualnie, według polskiej wersji językowej, w jego skład wchodzą
następujące cztery normy:
PN-EN 1992-1-1. Eurokod 2. Projektowanie konstrukcji z betonu,
Część 1-1. Reguły ogólne i reguły dla budynków,
Polski Komitet Normalizacyjny, Warszawa 2008
PN-EN 1992-1-2. Eurokod 2. Projektowanie konstrukcji z betonu,
Część 1-2. Reguły ogólne. Projektowanie z uwagi na warunki pożarowe,
Polski Komitet Normalizacyjny, Warszawa 2008
PN-EN 1992-2. Eurokod 2. Projektowanie konstrukcji z betonu,
Część 2. Mosty z betonu. Obliczanie i reguły konstrukcyjne,
Polski Komitet Normalizacyjny, Warszawa 2010
PN-EN 1992-3. Eurokod 2. Projektowanie konstrukcji z betonu,
Część 3. Silosy i zbiorniki na ciecze,
Polski Komitet Normalizacyjny, Warszawa 2008
Także i tym normom europejskim odpowiadały w przeszłości odpowiednie przedmiotowe normy polskie,
jednakże należy zauważyć, że w normalizacji europejskiej dokonano innego przypisania poszczególnych
typów konstrukcji do odpowiednich pakietów normowych, uzależniając to od cech dominującego materiału
konstrukcyjnego. Stad też nie dziwi w powyższym zestawieniu norma mostowa (PN-EN 1992-2) lub też
norma zbiornikowa (PN-EN 1992-3), gdyż obydwie one dotyczą elementów, w których podstawowym
materiałem jest beton.
4. Teoretyczne podstawy projektowania konstrukcji wg Eurokodów i kryteria niezawodności
Podstawowym pojęciem z probabilistyki, jakim operują Eurokody w zakresie opisywania charakteru
oddziaływań na konstrukcje budowlane oraz ich cech materiałowych, jest kwantyl.
Dla przypomnienia: kwantylem rzędu p (0 < p < 1) zmiennej losowej X typu ciągłego nazywamy
wielkość p taką, że spełniony jest warunek
P( X   p )  p
przy czym P() oznacza prawdopodobieństwo zajścia określonego zdarzenia.
W analizie obiektów budowlanych przyjęto podstawowe założenie, że parametry wytrzymałościowe
materiałów konstrukcyjnych, wartości oddziaływań na konstrukcje i ich cechy geometryczne, są ciągłymi
zmiennymi losowymi, opisanymi rozkładami normalnymi (obraz graficzny przypisany rozkładom normalnym
pokazano na rys.1).
Charakterystyczne wielkości obciążeń oraz ich efektów zdefiniowano w tym kontekście jako kwantyle
95% (prawdopodobieństwo obciążenia mniejszego od założonego powinno być odpowiednio wysokie),
natomiast charakterystyczne cechy materiałowe jako kwantyle 5% (prawdopodobieństwo wytrzymałości
mniejszej od założonej powinno być odpowiednio niskie). Wielkości geometryczne w zależności od
charakteru (działania korzystne lub niekorzystne) mogą przyjmować jedną z dwóch wyżej wymienionych
wartości.
4
Rys.1. Opis rozkładu normalnego – krzywej Gaussa
Przyjmując, że cechy wytrzymałościowe danego materiału opisane są rozkładem normalnym, można
wyznaczyć jego następujące parametry:
Wytrzymałość średnia
fm 
f
i
n
Wytrzymałość charakterystyczna
f k  f m  k  s  f m  1  k  v 
Wytrzymałość obliczeniowa
fd 
fk
m
Przy czym odchylenie standardowe oblicza się z zależności
s
 f i  f m 2
n 1
natomiast współczynnik zmienności definiuje się jako
v
s
fm
Według pierwotnych wieloletnich zaleceń nie istniejącego już w chwili obecnej Europejskiego Komitetu
Betonu (Comité Euro-International du Béton – CEB), przyjętych także jako punkt odniesienia w normach
europejskich, w stanach granicznych nośności zdefiniowano wytrzymałość obliczeniową materiału w sposób
pośredni, poprzez wykorzystanie odpowiedniej wytrzymałości charakterystycznej (będącej kwantylem 5%,
któremu odpowiada z kolei wartość k = 1,64), dzieląc ją przez częściowy współczynnik bezpieczeństwa,
przez co otrzymuje się relację
5
fd 
fk
m
 fm 
1  1,64 
m
Warto wspomnieć, że według wytycznych byłego RWPG, kryterium bezpieczeństwa zdefiniowano na
poziomie kwantyla 0,15% (1-p = 99,85%), wyznaczając wytrzymałość obliczeniową materiału bezpośrednio
z definicji rozkładu normalnego, czyli według zależności
f d  f m  (1  3,00  )
Porównując ze sobą obydwa wyrażenia, otrzymuje się równanie
1  1,64 
m
 1  3,00 
z którego można wyznaczyć poszukiwaną wartość częściowego współczynnika bezpieczeństwa
m 
1  1,64 
1  3,00 
Przykładowo, przyjmując dla betonu średni współczynnik zmienności na poziomie 13,5% (co odpowiada
średniej krajowej w warunkach polskich) otrzymuje się
c 
1  1,64  0,135
 1,309  1,3
1  3,0  0,135
i taką właśnie wartość przyjęto w polskiej normie PN-76/B-03264.
Podstawowy warunek pożądanego stanu konstrukcji polega na oczywistym fakcie, aby nośność elementu
konstrukcyjnego R była większa od efektu oddziaływań zewnętrznych E, co można zapisać w postaci
RE
i wyrazić następnie w dwojaki sposób:
 jako miara współczynnika bezpieczeństwa ()
R
1
E
 jako miara wskaźnika niezawodności ()
RE 0
Na tej podstawie można wyznaczyć prawdopodobieństwo wystąpienia lub też przekroczenia stanu
granicznego rozpatrywanego elementu konstrukcyjnego
Pf  P(Z  0)   f
W powyższej zależności wartość f stanowi miarę bezpieczeństwa konstrukcji, lub szerzej i ogólniej,
miarę niezawodności konstrukcji.
Zalecenia Połączonego Komitetu Bezpieczeństwa Konstrukcji Budowlanych (Joint Committee for
Structural Safety – JCSS) podają następujące miary bezpieczeństwa konstrukcji f :
6
Skutki ekonomiczne
Średnia liczba
osób
zagrożonych
małe
poważne
bardzo poważne
mała < 0,1
10-3
10-4
10-5
średnia
10-4
10-5
10-6
duża > 10
10-5
10-6
10-7
Zakłada się przy tym, że roczne ryzyko zagrożenia życia ludzkiego (równe prawdopodobieństwu
katastrofy podzielonemu przez liczbę zagrożonych ludzi) nie powinno być większe niż 10-5. Dla stanów
granicznych użytkowalności przyjmuje się f = 10-110-2 z tym, że decydujące są w tym przypadku skutki
ekonomiczne.
5. Podstawowe modele obliczeniowe
Według metodologii przyjętej przez JCSS, rozróżnia się dwie zasadnicze możliwości wyznaczania
prawdopodobieństwa przekroczenia stanu granicznego:
•
•
metody poziomu 2 – polegające na założeniu, że zmienne losowe mają rozkłady normalne, zmienne
R oraz E są niezależne oraz że funkcja Z może być aproksymowana funkcja liniową,
metody poziomu 3 – bez wprowadzania założeń upraszczających.
Metody poziomu 2 nadają się bezpośrednio do zastosowań praktycznych (do bardziej zaawansowanych
analiz projektowych lub też do odpowiedniej kalibracji współczynników bezpieczeństwa, występujących w
metodach poziomu 1).
Metody poziomu 3 służą w zasadzie do celów studialnych, głównie do oceny prawidłowości założeń
upraszczających, przyjmowanych w metodach poziomu2.
Należy w tym miejscu zauważyć, że jeżeli funkcja Z jest liniowa, a zmienne losowe Xi są określone przez
rozkłady normalne, wartości prawdopodobieństwa przekroczenia stanu granicznego obliczone metodami
poziomu 2 stanowią ścisłe rozwiązania.
W najprostszym przypadku, dla funkcji Z opisanej dwiema zmiennymi losowymi: X1 = E oraz X2 = R,
analizowane zagadnienie w odniesieniu do bezpieczeństwa lub niezawodności wymaga rozpatrywania
uporządkowanej pary (E, R) zmiennych losowych E i R.
W myśl pojęć probabilistycznych taką uporządkowana parę można zinterpretować jako dwuwymiarową
zmienną losową, która jest scharakteryzowana dwuwymiarową funkcja gęstości fE,R(e, r) o następujących
parametrach:
•
wartościach oczekiwanych mE mR
•
wariancjach 2E 2R
i która może być przedstawiona w formie graficznej jako ”wzgórek” gęstości o warstwicach eliptycznych, co
pokazano na rys.2.
Gdy, zgodnie z poczynionymi wcześniej założeniami, zmienne losowe R oraz E mają rozkłady normalne i
są niezależne (czyli także nieskorelowane,  = 0), to funkcja gęstości dwuwymiarowej zmiennej losowej
wyraża się równaniem
 1  (e  mE ) 2 (r  mR ) 2  
f E , R (e, r ) 
 exp   


2
2   E   R
 R2  
 2  E
1
natomiast jej rozkłady brzegowe wynoszą odpowiednio
7

f E (e) 

f E , R (e, r )dr 
 (e  mE ) 2 
1
 exp 

2   E2 
 E  2

f E , R (e, r )de 
 (r  mR ) 2 
1
 exp 

2   R2 
 R  2


oraz

f R (r ) 


Powyższe zależności w tym ujęciu służą do bezpośredniego zdefiniowania stanów bezpiecznych oraz
stanów niebezpiecznych.
Rys.2. Graficzna interpretacja dwuwymiarowej zmiennej losowej
Zmienną losową Z = R – E można także wyrazić w inny sposób. Jeżeli bowiem (zgodnie z założeniem)
zmienne losowe R oraz E mają rozkłady normalne i są niezależne, to zmienna losowa Z ma także rozkład
normalny, natomiast jej wartość oczekiwana i wariancja wynoszą odpowiednio
mZ  mR  mE
 Z2   R2   E2
Interpretację graficzną w taki sposób zdefiniowanej zmiennej Z można w poglądowy sposób przedstawić
na wykresie, co pokazuje rys.3.
8
Rys.3. Wykres funkcji stanu granicznego
Zaznaczone pole na wykresie jest geometryczną miarą prawdopodobieństwa przekroczenia stanu
granicznego (awarii), które można obliczyć z zależności
0
Pf  P( Z  0)   f Z ( z )dz

Z przedstawionego wykresu można także wyznaczyć wartość wskaźnika niezawodności, wykorzystując
relację
mZ     Z  0
z której otrzymuje się

mZ
Z

mR  mE
 R2   E2
Standaryzując zmienną losową Z o rozkładzie normalnym N(mZ, Z) otrzymuje się standaryzowany
rozkład zero-jedynkowy N(0, 1) dla którego z dostępnych tablic można odczytać odpowiednie
prawdopodobieństwa Pf przypisane wybranym wartościom wskaźnika niezawodności  :

1,00
1,64
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
Pf
1,58 10-1
5,00 10-2
2,27 10-2
1,35 10-3
3,17 10-5
2,87 10-7
9,90 10-8
Definiując globalny współczynnik bezpieczeństwa w postaci

mR
mE
można, wykorzystując definicję wskaźnika niezawodności 
9

mR  mE
 R2   E2
wyrazić go formułą
  1

mE
  R2   E2
i przedstawić w formie graficznej, pokazanej na rys.4.
Rys.4. Graficzna interpretacja globalnego współczynnika bezpieczeństwa
W tej samej konwencji można zinterpretować określone stany wytężenia w kontekście wymaganego
poziomu bezpieczeństwa (lub szerzej: niezawodności), co przykładowo prezentuje rys.5.
Rys.5. Graficzna interpretacja stanów bezpiecznych
dla przykładowych kwantyli 95% (obciążenia) oraz 5% (nośność)
Wykorzystując zdefiniowane wcześniej pojęcie funkcji zapasu, można ten sam stan przedstawić w
kontekście wskaźnika niezawodności, co pokazano na rys.6.
10
Rys.6. Graficzny obraz stanu granicznego w interpretacji funkcji zapasu
dla przykładowych kwantyli 95% (obciążenia) oraz 5% (nośność)
Przedstawione powyżej zależności probabilistyczne stanowią podstawę zapewnienia wymaganej
niezawodności konstrukcji budowlanych w normach europejskich (Eurokodach). Szczegółowe dane i
wymagania z tego zakresu przedstawiono w Eurokodzie nienumerowanym, nazywanym niekiedy Eurokodem
”zero” (EN 1990. Eurokod. Podstawy projektowania konstrukcji).
11