praca domowa 4
Transkrypt
praca domowa 4
Matematyka w ubezpieczeniach III rok matematyki finansowej praca domowa nr.4 18 maja 2016 1. Rozważmy dwa rodzaje polis: - polisa I, wystawiona na 40-latka, jest 15-letnim ubezpieczeniem terminowym na życie ze świadczeniem rosnącym z roku na rok o 1000 zł, począwszy od sumy ubezpieczenia 1000 w pierwszym roku; świadczenia są wypłacane na koniec roku śmierci; - polisa II ma te same parametry, z tym, że świadczenie maleje co roku o 1000, począwszy od kwoty wyjściowej 15 000 zł. Wiadomo, że 1 = 0, 075. A40:15 Niech S oznacza obecną wartość wszystkich wypłat z portfela 100 niezależnych polis, w których występuje po 50 polis obu typów. Obliczyć E(S). 2. Wyznaczyć Cov(δāT , v T ) 3. Pokazać, że V ar(āT ) wynosi 2 (āx − 2 āx ) − (āx )2 . δ 4. Udowodnić, że 2 Ax = 1 − (2d − d2 )2 äx . 5. Używając nierówności Jensena pokazać, że dla δ > 0 zachodzi nierówność āx < āe̊x . 6. Osoba w wieku 65 lat ma do wyboru dwie, aktuarialnie równoważne, renty dożywotnie. Obydwie renty wypłacają raz w roku świadczenie w każdą rocznicę polisy, od zaraz do końca życia. W rencie R1 płatności są dokonywane nie krócej niż 5 lat. W rencie R2 gwarantowany okres świadczeń wynosi 10 lat. Oblicz (podaj najbliższą wartość) o ile procent wysokość świadczenia z renty R1 jest większa od wysokości świadczenia z renty R2. Dane są i = 5% D65 = 320 000 N65 = 3 350 000 N70 = 1 970 000 N75 = 1 050 000 Uwaga! Za każdy zadanie można otrzymać 1 punkt przeliczeniowy. Pracę wykonać należy w zespołach dwuosobowych i oddać w terminie do 6.06.2016.