Seminarium

POLITECHNIKA ×ÓDZKA
Wydzia÷Fizyki Technicznej, Informatyki i Matematyki Stosowanej
Kierunek:
Specjalność:
Matematyka
Matematyka Finansowa i Ubezpieczeniowa
Grupa 5: Jacek Janiak
SEMINARIUM cześć
¾ 1i2
Praca zaliczeniowa napisana w Instytucie Matematyki
pod kierunkiem profesora Jana Kubarskiego
×ódź luty 2009
1
1
Odwzorowania wieloliniowe
Twierdzenie 1 Niech E, F , G bed
¾ a¾ przestrzeniami liniowymi oraz E1 i G1
bed
¾ a¾ podprzestrzeniami odpowiednio przestrzeni E i G. Niech ' : E F ! G
bedzie
¾
odwzorowaniem dwuliniowym takim, ·ze ' (x1 ,y) 2 G1 dla dowolnych x1 2
E1 , y 2 F . Rozwa·zmy rzuty kanoniczne : E ! E=E1 oraz : G ! G=G1 .
Wówczas istnieje odwzorowanie dwuliniowe '
e : E=E1 F ! G=G1 dane wzorem
dla dowolnych x 2 E, y 2 F .
'
e ( x; y) = ' (x; y)
(1)
Dowód. Pokaz·emy, z·e odwzorowanie (1) jest poprawnie zde…niowane to jest
nie zalez·y od wyboru reprezentanta. Niech x0 2 x. Stad
¾ mamy, z·e x0 x 2 E1 .
Dalej
' (x0 x; y) 2 G1
poniewaz· x0
x 2 E1 , y 2 F . Stad
¾ wynika, z·e
' (x; y) = ' (x0
x; y) + G1 .
Mamy:
(' (x0 ; y) ' (x; y)) = 0
(' (x0 ; y))
(' (x; y)) = 0
(' (x0 ; y)) =
(' (x; y)) ,
czyli:
'
e ( x; y) = '
e ( x0 ; y) .
Pozostaje pokazać, z·e (1) jest odwzorowaniem dwuliniowym. Niech
x 2 E, y 2 F . Mamy:
'
e(
x; y)
Niech x1 , x2 2 E oraz y 2 F
'
e ( x1 + x2 ; y)
= '
e ( x; y)
=
(' ( x; y))
=
( ' (x; y))
=
(' (x; y))
=
'
e ( x; y) :
= '
e ( (x1 + x2 ) ; y)
=
(' (x1 + x2 ; y))
=
(' (x1 ; y) + ' (x2 ; y))
=
(' (x1 ; y)) + (' (x2 ; y))
= '
e ( x1 ; y) + '
e ( x2 ; y) :
×atwo sprawdzamy liniowość ze wzgledu
¾ na druga¾ wspó÷rzedn
¾ a.
¾
2
2
oraz
Uwaga 2 Je´sli dla pewnej podprzestrzeni F1 przestrzeni F zachodzi ' (x,y1 ) 2
G1 dla dowolnych x 2 E, y1 2 F1 to '
e ( x,y1 ) = 0. Istotnie dla x 2 E, y1 2 F1
mamy
'
e ( x; y1 ) = (' (x; y1 )) = 0 + G1 = 0.
Rozwa·zmy ponadto rzut kanoniczny
: E=E1
'
e ( x; y) =
F=F1 ! G=G1 dany wzorem
(' (x; y))
dla ka·zdego x 2 E, y 2 F . Poprawno´s´c de…nicji dwuliniowo´sci odwzorowania '
sprawdzamy analogicznie jak w poprzednim przypadku.
2
Iloczyn Tensorowy
Twierdzenie 3 [WHG, Strona 7] Ka·zdy niezerowy wektor z z iloczynu tensorowego E F mo·zna przedstawi´c w postaci
z=
r
X
xi
yi
i=1
dla pewnego r i pewnych wektorów xi i yi liniowo niezale·znych.
Dowód. Z uwagi na
2
dowolny wektor z jest suma¾ tensorów prostych
z=
r
X
xi
yi
i=1
dla pewnego r i pewnych wektór xi i yi . Niech r bedzie
¾
najmniejsza¾ z moz·liwych liczb naturalnych, dla której istnieje powyz·sze przedstawienie. Rozwaz·my
przypadek, gdy r = 1. Otrzymujemy
z = x1
y1 .
Oczywiście, z·e x1 6= 0 oraz y1 6= 0. Zatem fx1 g i fy1 g sa¾ zbiorami liniowo niezalez·nymi. Teraz niech r
2. Przypuśćmy niewprost, z·e wektory xi sa¾ liniowo
zalez·ne wiec
¾ istnieje pewien wektor, który moz·na zapisać w postaci kombinacji
pozosta÷
ych wektorów. Bez zmniejszenia ogólności za÷
óz·my, z·e ostatni wektor
przedstawimy jako kombinacje¾ wszystkich poprzednich. Mamy:
xr =
r 1
X
i
xi .
i=1
Rozwaz·my
z
=
r
X
xi
i=1
=
r 1
X
i=1
yi +
r 1
X
xi
yr =
i=1
xi
yi +
i
r 1
X
xi
i=1
yr =
r 1
X
xi
yi +
r 1
X
xi
i
yr
i=1
yi .
i=1
To przeczy minimalności r. Analogicznie pokaz·emy liniowa¾ niezalez·ność wektorów yi dla i 2 f1; :::; rg.
3
Literatura
[WHG] W.H.Greub, Multilinear Algebra, Springer-Verlag New York Inc.1967
4