docModel Coxa przy załozeniu proporcjonalnego hazardu
download 
Reklamacja Transkrypt
Model Coxa przy załozeniu proporcjonalnego hazardu
Model Coxa coxph Model Coxa przy założeniu proporcjonalnego hazardu - wstęp. Łukasz Łaniewski-Wołłk, Łukasz Zdanikowski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego 29 października 2008 Łukasz Łaniewski-Wołłk, Łukasz Zdanikowski Model Coxa przy założeniu proporcjonalnego hazardu - wstęp. Model Coxa coxph Wstęp Postać Modelu Właściwości modelu Obliczanie współczynników βi Wyznaczanie hazardu bazowego, metoda Coxa Plan prezentacji 1 Model Coxa Wstęp Postać Modelu Właściwości modelu Obliczanie współczynników βi Wyznaczanie hazardu bazowego, metoda Coxa 2 coxph składnia formula method Łukasz Łaniewski-Wołłk, Łukasz Zdanikowski Model Coxa przy założeniu proporcjonalnego hazardu - wstęp. Model Coxa coxph Wstęp Postać Modelu Właściwości modelu Obliczanie współczynników βi Wyznaczanie hazardu bazowego, metoda Coxa Wstęp Model proporcjonalnego hazardu Coxa jest często stosowaną techniką statystycznej analizy danych przeżycia. Dzięki niemu możemy wyizolować poszczególne elementy (zmienne niezależne/objaśniające) mające wpływ na prognozę „failure time”. Łukasz Łaniewski-Wołłk, Łukasz Zdanikowski Model Coxa przy założeniu proporcjonalnego hazardu - wstęp. Model Coxa coxph Wstęp Postać Modelu Właściwości modelu Obliczanie współczynników βi Wyznaczanie hazardu bazowego, metoda Coxa Wstęp Model proporcjonalnego hazardu Coxa jest często stosowaną techniką statystycznej analizy danych przeżycia. Dzięki niemu możemy wyizolować poszczególne elementy (zmienne niezależne/objaśniające) mające wpływ na prognozę „failure time”. Model można stosować nawet gdy nie działają klasyczne modele regresji z dwóch powodów: Łukasz Łaniewski-Wołłk, Łukasz Zdanikowski Model Coxa przy założeniu proporcjonalnego hazardu - wstęp. Model Coxa coxph Wstęp Postać Modelu Właściwości modelu Obliczanie współczynników βi Wyznaczanie hazardu bazowego, metoda Coxa Wstęp Model proporcjonalnego hazardu Coxa jest często stosowaną techniką statystycznej analizy danych przeżycia. Dzięki niemu możemy wyizolować poszczególne elementy (zmienne niezależne/objaśniające) mające wpływ na prognozę „failure time”. Model można stosować nawet gdy nie działają klasyczne modele regresji z dwóch powodów: zmienna zależna nie ma rozkładu normalnego (podczas gdy takie założenie jest czynione w klasycznych modelach), Łukasz Łaniewski-Wołłk, Łukasz Zdanikowski Model Coxa przy założeniu proporcjonalnego hazardu - wstęp. Model Coxa coxph Wstęp Postać Modelu Właściwości modelu Obliczanie współczynników βi Wyznaczanie hazardu bazowego, metoda Coxa Wstęp Model proporcjonalnego hazardu Coxa jest często stosowaną techniką statystycznej analizy danych przeżycia. Dzięki niemu możemy wyizolować poszczególne elementy (zmienne niezależne/objaśniające) mające wpływ na prognozę „failure time”. Model można stosować nawet gdy nie działają klasyczne modele regresji z dwóch powodów: zmienna zależna nie ma rozkładu normalnego (podczas gdy takie założenie jest czynione w klasycznych modelach), mamy do czynienia z obserwacjami uciętymi wykluczonymi w przypadku klasycznej analizy regresji. Łukasz Łaniewski-Wołłk, Łukasz Zdanikowski Model Coxa przy założeniu proporcjonalnego hazardu - wstęp. Model Coxa coxph Wstęp Postać Modelu Właściwości modelu Obliczanie współczynników βi Wyznaczanie hazardu bazowego, metoda Coxa Plan prezentacji 1 Model Coxa Wstęp Postać Modelu Właściwości modelu Obliczanie współczynników βi Wyznaczanie hazardu bazowego, metoda Coxa 2 coxph składnia formula method Łukasz Łaniewski-Wołłk, Łukasz Zdanikowski Model Coxa przy założeniu proporcjonalnego hazardu - wstęp. Model Coxa coxph Wstęp Postać Modelu Właściwości modelu Obliczanie współczynników βi Wyznaczanie hazardu bazowego, metoda Coxa Postać funkcji hazardu w modelu Coxa h(t, x1 (t), · · · , xn (t)) = h0 (t)exp(β1 x1 (t) + · · · + βn xn (t)) Gdzie h(t, x1 (t), · · · , xn (t)) oznacza funkcję hazardu w momencie t przy danych n zmiennych objaśniających - pewnych cechach badanego obiektu. Łukasz Łaniewski-Wołłk, Łukasz Zdanikowski Model Coxa przy założeniu proporcjonalnego hazardu - wstęp. Model Coxa coxph Wstęp Postać Modelu Właściwości modelu Obliczanie współczynników βi Wyznaczanie hazardu bazowego, metoda Coxa Postać funkcji hazardu w modelu Coxa h(t, x1 (t), · · · , xn (t)) = h0 (t)exp(β1 x1 (t) + · · · + βn xn (t)) Gdzie h(t, x1 (t), · · · , xn (t)) oznacza funkcję hazardu w momencie t przy danych n zmiennych objaśniających - pewnych cechach badanego obiektu. Jak widać funkcja hazardu jest iloczynem dwóch składników: 1 pierwszy z nich to nieujemna funkcja hazardu h0 (t) zwana hazardem odniesienia lub hazardem bazowym. Nie zależy ona od żadnego parametru, jedynie od czasu t, Łukasz Łaniewski-Wołłk, Łukasz Zdanikowski Model Coxa przy założeniu proporcjonalnego hazardu - wstęp. Model Coxa coxph Wstęp Postać Modelu Właściwości modelu Obliczanie współczynników βi Wyznaczanie hazardu bazowego, metoda Coxa Postać funkcji hazardu w modelu Coxa h(t, x1 (t), · · · , xn (t)) = h0 (t)exp(β1 x1 (t) + · · · + βn xn (t)) Gdzie h(t, x1 (t), · · · , xn (t)) oznacza funkcję hazardu w momencie t przy danych n zmiennych objaśniających - pewnych cechach badanego obiektu. Jak widać funkcja hazardu jest iloczynem dwóch składników: 1 pierwszy z nich to nieujemna funkcja hazardu h0 (t) zwana hazardem odniesienia lub hazardem bazowym. Nie zależy ona od żadnego parametru, jedynie od czasu t, 2 drugi człon ma postać log-liniowej funkcji i zależy jedynie od wartości zmiennych objaśniających x1 (t), · · · , xn (t). Łukasz Łaniewski-Wołłk, Łukasz Zdanikowski Model Coxa przy założeniu proporcjonalnego hazardu - wstęp. Model Coxa coxph Wstęp Postać Modelu Właściwości modelu Obliczanie współczynników βi Wyznaczanie hazardu bazowego, metoda Coxa Plan prezentacji 1 Model Coxa Wstęp Postać Modelu Właściwości modelu Obliczanie współczynników βi Wyznaczanie hazardu bazowego, metoda Coxa 2 coxph składnia formula method Łukasz Łaniewski-Wołłk, Łukasz Zdanikowski Model Coxa przy założeniu proporcjonalnego hazardu - wstęp. Model Coxa coxph Wstęp Postać Modelu Właściwości modelu Obliczanie współczynników βi Wyznaczanie hazardu bazowego, metoda Coxa Zalety modelu proporcjonalnego hazardu Coxa Z takiej postaci funkcji hazardu wynikają następujące własności oraz zalety modelu: funkcja hazardu przyjmuje wartości większe lub równe 0, model coxa jest modelem nieparametrycznym, tzn. w przeciwieństwie do modeli parametrycznych nie ma konieczności założenia z góry pewnego rozkładu zmiennej zależnej, Łukasz Łaniewski-Wołłk, Łukasz Zdanikowski Model Coxa przy założeniu proporcjonalnego hazardu - wstęp. Model Coxa coxph Wstęp Postać Modelu Właściwości modelu Obliczanie współczynników βi Wyznaczanie hazardu bazowego, metoda Coxa Zalety modelu proporcjonalnego hazardu Coxa cd. założenie proporcjonalności: praktycznie rzecz biorąc, zakłada się, że dla dwóch obserwacji o różnych wartościach dla zmiennych niezależnych x = (x1 , · · · , xn ) i x̃ = (x̃1 , · · · , x̃n ), stosunek funkcji hazardu dla tych dwóch obserwacji nie zależy bezpośrednio od czasu, a jedynie od zmiennych objaśniających, tzn: h(t,x1 (t),··· ,xn (t)) h(t,x̃1 (t),··· ,x̃n (t)) = exp(β1 (x1 (t) − x̃1 (t)) + · · · + βn (xn (t) − x̃n (t)) Oznacza to, że jeśli przypatrzymy się dwóm niezwiązanym ze sobą obiektom w tym samym czasie, to różnice w natężeniu zdażeń będą zależały jedynie od różnic między zmiennymi objaśniającymi. Należy pamiętać że same cechy są zmienne w czasie. Łukasz Łaniewski-Wołłk, Łukasz Zdanikowski Model Coxa przy założeniu proporcjonalnego hazardu - wstęp. Model Coxa coxph Wstęp Postać Modelu Właściwości modelu Obliczanie współczynników βi Wyznaczanie hazardu bazowego, metoda Coxa Zalety modelu proporcjonalnego hazardu Coxa cd. znając współczynniki βi jesteśmy w stanie, bez jakiejkolwiek wiedzy o h0 (t), określić wrażliwość funkcji hazardu na zmiany i-tej cechy. Mianowicie gdy i-ta zmienna zależna wzrośnie o jednostkę (a pozostałe będą bez zmian), to funkcja hazardu wzrośnie exp(βi ) razy. taka postać h(t) pozwala wyznaczyć współczynniki βi przy minimalnych założeniach o hazardzie bazowym. Łukasz Łaniewski-Wołłk, Łukasz Zdanikowski Model Coxa przy założeniu proporcjonalnego hazardu - wstęp. Model Coxa coxph Wstęp Postać Modelu Właściwości modelu Obliczanie współczynników βi Wyznaczanie hazardu bazowego, metoda Coxa Sprawdzanie założenia proporcjonalności Założenie proporcjonalności nie musi być zawsze spełnione (czasami przy współczynnikach βi pojawia się jawnie zależność od czasu), aby to sprawdzić możemy użyć dwóch metod: Metoda graficzna. Polega ona na narysowaniu wykresów funkcji hazardu w zależności od czasu dla kilku grup obserwacji. Jeśli wykresy się przecinają to spełnione jest założenie proporcjonalności. Zastosowanie modelu poszerzonego hazardu Coxa dla zmiennych zależnych od czasu. Następnie po wykonaniu estymacji sprawdzamy, czy współczynnik tej dodatkowej zmiennej okaże się nieistotny. Jeżeli tak, to założenie niezależności do czasu jest spełnione. Łukasz Łaniewski-Wołłk, Łukasz Zdanikowski Model Coxa przy założeniu proporcjonalnego hazardu - wstęp. Model Coxa coxph Wstęp Postać Modelu Właściwości modelu Obliczanie współczynników βi Wyznaczanie hazardu bazowego, metoda Coxa Plan prezentacji 1 Model Coxa Wstęp Postać Modelu Właściwości modelu Obliczanie współczynników βi Wyznaczanie hazardu bazowego, metoda Coxa 2 coxph składnia formula method Łukasz Łaniewski-Wołłk, Łukasz Zdanikowski Model Coxa przy założeniu proporcjonalnego hazardu - wstęp. Model Coxa coxph Wstęp Postać Modelu Właściwości modelu Obliczanie współczynników βi Wyznaczanie hazardu bazowego, metoda Coxa Zakładając, że h0 (t) jest dowolne nie możemy dostać żadnych informacji o współczynnikach βi na podstawie badań okresów, w których nie zaszło żadne zdażenie, ponieważ w tych przedziałach funkcja h0 (t) może być równa zero. Dlatego musimy rozważać prawdopodobieństwa warunkowe: P(T = t(i) |R(t(i) )) wystąpienia zdażenia w momencie t(i) na zbiorze R(t(i) ) wszystkich takich obserwacji, dla których „failure time” lub czas „ocenzurowania” jest co najmniej równy t(i) . Łukasz Łaniewski-Wołłk, Łukasz Zdanikowski Model Coxa przy założeniu proporcjonalnego hazardu - wstęp. Wstęp Postać Modelu Właściwości modelu Obliczanie współczynników βi Wyznaczanie hazardu bazowego, metoda Coxa Model Coxa coxph Przypadek ciągły Dla przypadku ciągłego niech t(1) , · · · , t(k) oznaczają różne czasy zdażeń tzn., że żadne dwa z nich nie występują jednocześnie (w przypadku dyskretnym założenie to nie jest prawdziwe). Na zbiorze dyskretnym ozn. R(t(i) ) = Ri . P(T = t(i) |R(t(i) )) = P(T = t(i) |T >= t(i) ) X P(T = t(j) |T >= t(j) ) = j∈Ri = h(t(i) , x(i) ) X h(t(j) , x(j) ) j∈Ri = = exp(βx(i) ) X exp(βx(j) ) = j∈Ri exp(β1 x(i)1 + · · · + βn x(i)n ) X exp(β1 x(j)1 + · · · + βn x(j)n ) j∈Ri Gdzie x(j) to j-ta obserwacja, której „failure time” (lub czas ucięcia) przypadł na t(j) . Łukasz Łaniewski-Wołłk, Łukasz Zdanikowski Model Coxa przy założeniu proporcjonalnego hazardu - wstęp. Model Coxa coxph Wstęp Postać Modelu Właściwości modelu Obliczanie współczynników βi Wyznaczanie hazardu bazowego, metoda Coxa Estymacja współczynników Znajdując maksimum funkcji log-wiarygodności można obliczyć estymator współczynników ai . L(β) = k X βx(i) − i=1 k X i=1 log[ X exp(βx(j) )], j∈Ri gdzie i = 1 · · · k to wszystkie momenty wystąpienia zdażenia (nie bierzemy pod uwagę obserwacji ocenzurowanych). Łukasz Łaniewski-Wołłk, Łukasz Zdanikowski Model Coxa przy założeniu proporcjonalnego hazardu - wstęp. Wstęp Postać Modelu Właściwości modelu Obliczanie współczynników βi Wyznaczanie hazardu bazowego, metoda Coxa Model Coxa coxph Zdażenia jednoczesne Jeżeli możliwe jest wystąpienie zdażeń w tym samym czasie mamy: P(T = t(i) |R(t(i) )) = exp(βs(i) ) X , exp(βs(j) ) j∈(Ri ,mi ) gdzie s(i) jest sumą wszystkich obserwacji x, których „failure time” jest równy t(i) , natomiast suma w mianowniku ułamka brana jest po wszystkich, różnych podzbiorach m(i) ze zbioru R(t(i) ). Przez m(i) rozumiemy wszystkie obserwacje, których czas zajścia zdażenia przypada na moment t(i) . Łukasz Łaniewski-Wołłk, Łukasz Zdanikowski Model Coxa przy założeniu proporcjonalnego hazardu - wstęp. Model Coxa coxph Wstęp Postać Modelu Właściwości modelu Obliczanie współczynników βi Wyznaczanie hazardu bazowego, metoda Coxa Funkcja log-wiarygodności będzie miała wówczas postać: L(β) = k X βs(i) − i=1 k X i=1 log[ X exp(βs(j) )], j∈Ri Współczynniki modelu estymujemy metodą największej wiarogodności. Łukasz Łaniewski-Wołłk, Łukasz Zdanikowski Model Coxa przy założeniu proporcjonalnego hazardu - wstęp. Model Coxa coxph Wstęp Postać Modelu Właściwości modelu Obliczanie współczynników βi Wyznaczanie hazardu bazowego, metoda Coxa Plan prezentacji 1 Model Coxa Wstęp Postać Modelu Właściwości modelu Obliczanie współczynników βi Wyznaczanie hazardu bazowego, metoda Coxa 2 coxph składnia formula method Łukasz Łaniewski-Wołłk, Łukasz Zdanikowski Model Coxa przy założeniu proporcjonalnego hazardu - wstęp. Model Coxa coxph Wstęp Postać Modelu Właściwości modelu Obliczanie współczynników βi Wyznaczanie hazardu bazowego, metoda Coxa Po wyznaczeniu współczynników βi możemy przystąpić do wyznaczania hazardu bazowego. Cox w swojej oryginalnej pracy z 1972 roku rozważa czas dyskretny i kładzie prawdopodobieństwa w punktach różnych zdażeń t(1) , · · · , t(k) (nie ma wśród nich czasów obcięcia a jedynie czasy „failure time”). Prawdopodobieństwa te są połączone równaniem pi (x) 1 − pi (x) = exp(βx) pi 1 − pi ozn. Gdzie pi (x) = P(T = t(i) |x, T t(i) ) = π(i) oraz pi (x) = P(T = t(i) |x, T t(i) ) = h0 |t=t(i) Po przekształceniach otrzymujemy: h0 |t=t(i) = π(i) exp(−βx̃) 1 − π(i) + π(i) exp(−βx̃) Gdzie x̃ jest wybrany dowolnie, najlepiej tak aby zminimalizować drugi człon w kolejnych równaniach. Następnie szukamy maksimum funkcji log-wiarygodności. Można pokazać, że szukanie rozwiązania dla wartości zmiennych niezależnych różnych od zera (równych x(t(j) )) spełnia następujące równanie. Łukasz Łaniewski-Wołłk, Łukasz Zdanikowski Model Coxa przy założeniu proporcjonalnego hazardu - wstęp. Wstęp Postać Modelu Właściwości modelu Obliczanie współczynników βi Wyznaczanie hazardu bazowego, metoda Coxa Model Coxa coxph πˆ(i) = m(i) πˆ(i) (1 − πˆ(i) ) − r(i) r(i) X exp(−β̂(x(t(j) ) − x̃(t(j) )) − 1 j∈R(t(i)) 1 − πˆ(i) + πˆ(i) exp(−β̂(x(t(j) ) − x̃(t(j) )) Rozwiązania takich równań można znaleźć inercyjnie. Łukasz Łaniewski-Wołłk, Łukasz Zdanikowski Model Coxa przy założeniu proporcjonalnego hazardu - wstęp. Model Coxa coxph składnia formula method Plan prezentacji 1 Model Coxa Wstęp Postać Modelu Właściwości modelu Obliczanie współczynników βi Wyznaczanie hazardu bazowego, metoda Coxa 2 coxph składnia formula method Łukasz Łaniewski-Wołłk, Łukasz Zdanikowski Model Coxa przy założeniu proporcjonalnego hazardu - wstęp. Model Coxa coxph składnia formula method ”efron” ”breslow ” , . . .) coxph(model, data = dane, method = ”exact” model - opis modelu, jak funkcjach lm czy glm data - dane do analizy (opcjonalne) method - wybór metody radzenia sobie z jednoczesnymi zdarzeniami Łukasz Łaniewski-Wołłk, Łukasz Zdanikowski Model Coxa przy założeniu proporcjonalnego hazardu - wstęp. Model Coxa coxph składnia formula method Plan prezentacji 1 Model Coxa Wstęp Postać Modelu Właściwości modelu Obliczanie współczynników βi Wyznaczanie hazardu bazowego, metoda Coxa 2 coxph składnia formula method Łukasz Łaniewski-Wołłk, Łukasz Zdanikowski Model Coxa przy założeniu proporcjonalnego hazardu - wstęp. Model Coxa coxph składnia formula method Model formułuje się za pomocą wyrażenia: modelowana ∼ modelujca gdzie w wypadku modelu Cox’a, czy regresji krzywych przeżycia mamy: modelowana jest to obiekt typu Surv . np: Surv (time, state). modelujca to zbiór zmiennych przedzielonych “+” które chcemy użyć w modelu jako zmienne przewidujące. Dla przykładu: Surv (data, stan) ∼ waga + wzrost + ilosc.czulkow zbada czas przebywania na ziemi kosmitów pod kątem ich ilości czułków. Łukasz Łaniewski-Wołłk, Łukasz Zdanikowski Model Coxa przy założeniu proporcjonalnego hazardu - wstęp. Model Coxa coxph składnia formula method Jeśli użyjemy zmiennej jakościowej (płeć, typ itp.) zostaną dodane do modelu zmienne zero-jedynkowe dla każdej z wartości oddzielnie. np: Jeśli użyjemy plec która ma wartości M, K , N, to model weźmie pod uwagę 2 zmienne plecM i plecK , które przyjmą 1 odpowiednio dla M i K (plecN była by zależna - więc nie jest uwzględniana) Wyrażenie a : b dla zmiennych jakościowych będzie oznaczało wzięcie każdej pary wartości oddzielnie pod uwagę. Przykład: Surv (okrazenie, stan) ∼ rozgrzewka + plec rozpatrzy oddzielnie wpływ rozgrzewki i wpływ płci na ilość okrążeń. Surv (minuta, stan) ∼ rozgrzewka : plec rozpatrzy wpływ rozgrzewki oddzielnie dla każdej z płci. Łukasz Łaniewski-Wołłk, Łukasz Zdanikowski Model Coxa przy założeniu proporcjonalnego hazardu - wstęp. Model Coxa coxph składnia formula method strata(a, b, . . .) strata jest przydatną funkcją do używania w modelu Cox’a zmiennych jakościowych numerowanych. Dla przykładu strata(a) wygeneruje nam zmienną o wartościach tekstowych ”a = 1”, ”a = 2”, itd. Funkcję strata można też stosować do większej ilości zmiennych. np: strata(a, b, shortlabel = TRUE ) wygeneruje nam teksty ”1, 2” ”2, 4” itd. Przykład: Surv (godzina, stan.ostrza) ∼ strata(metal, ostrze) + obroty oceni niezawodność ostrza w grupach metal-ostrze przy założeniu że obroty zawsze identycznie wpływają na zniszczenie. Łukasz Łaniewski-Wołłk, Łukasz Zdanikowski Model Coxa przy założeniu proporcjonalnego hazardu - wstęp. Model Coxa coxph składnia formula method Interakcje miedzy zmiennymi (tak jak a : b) można także badać dla zmiennych ciągłych. W modelu a : b dla zmiennych ilościowych oznacza poprostu ich iloczyn. Jeśli zaś napiszemy a ∗ b, do modelu zostanie włączone zarówno a, b jak i a : b. Przykład: Surv (minuta, praca.oddana) ∼ IQ ∗ frekwencja oceni wpływ IQ, frekwencji na zajęciach i ich interakcji na czas pisania pracy. Może się okazać, że frekwencja pływa na wynik np. tylko dla wysokiego IQ. Łukasz Łaniewski-Wołłk, Łukasz Zdanikowski Model Coxa przy założeniu proporcjonalnego hazardu - wstęp. Model Coxa coxph składnia formula method Plan prezentacji 1 Model Coxa Wstęp Postać Modelu Właściwości modelu Obliczanie współczynników βi Wyznaczanie hazardu bazowego, metoda Coxa 2 coxph składnia formula method Łukasz Łaniewski-Wołłk, Łukasz Zdanikowski Model Coxa przy założeniu proporcjonalnego hazardu - wstęp. Model Coxa coxph składnia formula method Argument method opisuje sposób postępowania, gdy dwa lub więcej wyrażeń nastąpi jednocześnie. W przeciwnym przypadku wszystkie 3 metody działają identycznie. efron Jeśli m zdarzeń nastąpiło w jednym momencie, to k-te zdażenie ma wagę m−k m i liczone są jak w metodzie “breslow”. breslow Wszystkie m przypadków liczymy tak jak by wystąpiły w momencie gdy, żyją wszystkie inne przypadki jeszcze żyły. exact Metoda ta liczy “dokładny” udział wszystkich m przypadków, uśredniając po możliwościach ułożenia ich w czasie. Łukasz Łaniewski-Wołłk, Łukasz Zdanikowski Model Coxa przy założeniu proporcjonalnego hazardu - wstęp. Model Coxa coxph składnia formula method Inaczej niż w wielu pakietach domyślnie wybierany jest efron, ponieważ bierze on z dobrym przybliżeniem pod uwagę pokrywające się przypadki. Najdokładniejszy jest exact, lecz jest kosztowny obliczeniowo. Zaś breslow jest najbardziej rozpowszechnioną metodą - szybką i zakładającą że żadne dwa czasy się nie pokryją. Łukasz Łaniewski-Wołłk, Łukasz Zdanikowski Model Coxa przy założeniu proporcjonalnego hazardu - wstęp. Model Coxa coxph składnia formula method Możemy przejść do R i pooglądać wykresiki. survfit(coxph(. . .)) da nam dopasowaną według modelu Cox’a krzywą przeżycia. Zaś basehaz(coxph(. . .)) da nam funkcje hazardu bazowego h0 naszego modelu. predict(coxph(. . .), type = ”risk”) da nam ryzyko dla każdego pacjenta. Oczywiście sensowniej jest przywidywać ryzyko dla nowych (jeszcze żywych) pacjentów: predict(coxph(. . .), nowi.pacjenci, type = ”risk”) Łukasz Łaniewski-Wołłk, Łukasz Zdanikowski Model Coxa przy założeniu proporcjonalnego hazardu - wstęp.
