01_liczby_rzeczywist..
Transkrypt
01_liczby_rzeczywist..
Matura z matematyki 2010. Poziom podstawowy. Liczby rzeczywiste. 1 Liczby rzeczywiste W tej lekcji powtórzymy najwa»niejsze wªasno±ci liczb rzeczywistych. Prosimy o zapoznanie si¦ z regulaminem na ostatniej stronie. 1.1 Pot¦gi i pierwiastki Przypomnijmy denicj¦ pot¦gi i pierwiastka oraz podstawowe wzory. Denicja. (a) pot¦ga o wykªadniku naturalnym n ∈ N: • dla n = 0 : a0 = 1 (o ile a 6= 0), • dla n ∈ N+ : an = a · a · . . . · a (n czynników); 6= 0, n ∈ N+ ); (b) pot¦ga o wykªadniku caªkowitym ujemnym: a−n = (c) pot¦ga o wykªadniku wymiernym: je±li a ≥ 0, m, n ∈ N+ , to: m • an = 1 (a an √ n am , m • a− n = 1 √ n m a . Denicja. √ n (a) dla a ≥ 0 : a = b ⇐⇒ a = bn (n ∈ N+ ); (b) dla a < 0 nie okre±lamy pierwiastka stopnia parzystego z liczby a. Mo»na okre±li¢ tylko √ √ pierwiastek stopnia nieparzystego. Je±li n jest liczb¡ nieparzyst¡, to n a = − n −a. Prawa dziaªa« na pot¦gach i pierwiastkach. Przy stosownych zaªo»eniach zachodz¡ wzory: m n am · an = am+n , aan = am−n , (am )n = am·n , (a · b)n = an · bn , ( ab )n = abn , q√ √ q √ √ √ √ √ √ √ na n n m a = n·m a, n a · b = n a · n b, n ab = √ am = ( n a)m , ( n a)n = a. n , b 1.2 Procenty Procent jest to jedna setna pewnej wielko±ci. To po prostu skrócony zapis uªamka p% = 1 100 . p 100 W zadaniach na procenty wyró»niamy trzy typy czynno±ci: • znajdowanie procentu danej liczby: p% liczby x = p ·x 100 TORUS Kursy matematyki http://torus.edu.pl/ [email protected] tel. 698 991 340 Matura z matematyki 2010. Poziom podstawowy. Liczby rzeczywiste. • obliczanie, jakim procentem liczby x jest liczba y: p% liczby x = y ⇐⇒ p% = y · 100% x • znajdowanie liczby x, której dany procent jest inn¡ liczb¡: p% liczby x = a ⇐⇒ 100a p x = a ⇐⇒ x = 100 p Poj¦cie punktu procentowego Poj¦cie punktu procentowego wprowadza si¦, aby okre±li¢ ró»nic¦ mi¦dzy dwiema warto±ciami danej wielko±ci podanymi w procentach. Na przykªad: • inacja, wzrastaj¡c z poziomu 5% do poziomu 6%, zwi¦kszyªa si¦ o 1 punkt procentowy (ale o 20 procent); • inacja, wzrastaj¡c z poziomu 5% do poziomu 25%, zwi¦kszyªa si¦ o 20 punktów procen- towych (ale o 400 procent). 1.3 Logarytmy Denicja logarytmu. Je±li a > 0, a 6= 1, b > 0, to: loga b = c ⇐⇒ ac = b Liczb¦ loga b nazywamy logarytmem przy podstawie a z liczby b. Logarytm przy podstawie 10 nazywamy logarytmem dziesi¦tnym i oznaczamy log a: log a = log10 a Prawa dziaªa« na logarytmach. Przy stosownych zaªo»eniach zachodz¡ wzory: loga (bc) = loga b + loga c, 1.4 loga b = loga b − loga c, c loga bn = n · loga b. Zadania do rozwi¡zania 1. rednia arytmetyczna liczb 2. Oblicz 1 √ · 3 −27 3 32 q 1 79 , −3−1 , x jest równa 3. Wyznacz x. · 9. 3. Która z poni»szych liczb jest równa 2? A. 0, 02 · 103 , B. 20−1 · 102 , C. (0, 2)−1 · 10, D. 102 : (0, 02)−1 . √ √ 4. Zapisz wyra»enie 2 50 − 4 8 w postaci pot¦gi. 5. Zapisz wyra»enie 1 √ √ 8− 3 ·(2 5 ) 0,25−1 :32 5 w postaci pot¦gi liczby 2. TORUS Kursy matematyki http://torus.edu.pl/ [email protected] tel. 698 991 340 Matura z matematyki 2010. Poziom podstawowy. Liczby rzeczywiste. 6. Zapisz w najprostszej postaci wyra»enie √ x−y√ 5− 3 2 √ √ , je±li x = 2 − 3 54, y = 2 − 45. √ 3 √ nie nale»y do zbioru liczb: 7. Liczba (221−12 3−3)2 A. niewymiernych B. rzeczywistych C. naturalnych D. caªkowitych. 8. Czy liczba √ q √ 5 − 2 6 · 5 + 2 6 jest wymierna? q 9. Oblicz 12 log6 4 + log6 18. 10. Oblicz log 5 + log 8 − 2 log 2. 11. Uporz¡dkuj w kolejno±ci rosn¡cej liczby: log3 9, log16 14 , log 51 25, log4 2. 12. Podaj przykªad liczb caªkowitych dodatnich a i b speªniaj¡cych nierówno±¢ 13. Wyka», »e prawdziwa jest nierówno±¢ 4 9 < a b < 59 . √ √ 250 + 1 + 250 − 1 < 226 . 14. Jeden mikrometr to 10−6 metra. Jeden arkusz papieru ma grubo±¢ 140 mikrometrów. Ile takich arkuszy trzeba uªo»y¢ jeden na drugim, aby otrzymana warstwa miaªa wysoko±¢ 1 m? 15. óªw porusza si¦ z pr¦dko±ci¡ 6, 48 · 10−3 km/h. Ile metrów przejdzie w ci¡gu sekundy? 16. Adrian potrzebuje 24 godzin na uporz¡dkowanie ogrodu. Sebastian potrzebuje 40 godzin na uporz¡dkowanie tego samego ogrodu. Ile godzin zajmie im uporz¡dkowanie ogrodu, je»eli b¦d¡ pracowa¢ razem? 17. Dwudziestu chªopców stanowi 62,5% klasy. Ile dziewcz¡t jest w tej klasie? 18. Cen¦ butów obni»ono najpierw o 30%, a nast¦pnie obni»ono o 20%. O ile procent obni»ono w sumie cen¦ tych butów? 19. W poniedziaªek cen¦ pewnego towaru zwi¦kszono o 10%, w ±rod¦ zmniejszono o 20%, a w pi¡tek zmniejszono jeszcze o 30%. Oblicz pocz¡tkow¡ cen¦ towaru, je±li ostatecznie p tych zmianach wynosiªa 1232 zª. 20. Poparcie dla partii X w marcu 2009 wynosiªo 24%, a we wrze±niu 2009 wynosiªo 30%. O ile procent wzrosªo poparcie dla partii X ? O ile punktów procentowych wzrosªo poparcie dla partii X ? 21. Na pocz¡tku sierpnia ceny jabªek i gruszek w osiedlowym sklepie byªy takie same. W ci¡gu miesi¡ca cena gruszek spadªa o 38%, a cen¦ jabªek dwukrotnie obni»ono o 20%. Które owoce s¡ ta«sze po tych zmianach? 22. Jajko wa»y 56 gramów. 55% wagi jajka stanowi biaªko, 40% »óªtko, a reszt¦ stanowi skorupka. Ile wa»y skorupka? 23. Antykwariat zakupiª dwie ksi¡»ki za 2050 zª, a na ich sprzeda»y zyskaª 30% tej kwoty. Za ile zªotych zakupiª ka»d¡ z tych ksi¡»ek, je±li pierwsza daªa 33,2% zysku, a druga 25% zysku? Po tej lekcji powiniene± umie¢: • planowa¢ i wykonywa¢ obliczenia na liczbach rzeczywistych; TORUS Kursy matematyki http://torus.edu.pl/ [email protected] tel. 698 991 340 Matura z matematyki 2010. Poziom podstawowy. Liczby rzeczywiste. • oblicza¢ pot¦gi o wykªadnikach wymiernych oraz stosowa¢ prawa dziaªa« na pot¦gach o wykªadnikach wymiernych i rzeczywistych; • oblicza¢ pierwiastki, w tym pierwiastki nieparzystego stopnia z liczb ujemnych; • bada¢, czy wynik oblicze« jest liczb¡ wymiern¡; • stosowa¢ poj¦cie procentu i punktu procentowego w obliczeniach; • zna¢ denicj¦ logarytmu i stosowa¢ w obliczeniach wzory na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm pot¦gi o wykªadniku naturalnym. TORUS Kursy matematyki http://torus.edu.pl/ [email protected] tel. 698 991 340