01_liczby_rzeczywist..

Matura z matematyki 2010. Poziom podstawowy. Liczby rzeczywiste.
1
Liczby rzeczywiste
W tej lekcji powtórzymy najwa»niejsze wªasno±ci liczb rzeczywistych.
Prosimy o zapoznanie si¦ z regulaminem na ostatniej stronie.
1.1
Pot¦gi i pierwiastki
Przypomnijmy denicj¦ pot¦gi i pierwiastka oraz podstawowe wzory.
Denicja.
(a)
pot¦ga o wykªadniku naturalnym n ∈ N:
• dla n = 0 : a0 = 1 (o ile a 6= 0),
• dla n ∈ N+ : an = a · a · . . . · a (n czynników);
6= 0, n ∈ N+ );
(b)
pot¦ga o wykªadniku caªkowitym ujemnym: a−n =
(c)
pot¦ga o wykªadniku wymiernym: je±li a ≥ 0, m, n ∈ N+ , to:
m
• an =
1
(a
an
√
n
am ,
m
• a− n =
1
√
n m
a
.
Denicja.
√
n
(a)
dla a ≥ 0 :
a = b ⇐⇒ a = bn (n ∈ N+ );
(b)
dla a < 0 nie okre±lamy pierwiastka stopnia parzystego z liczby a. Mo»na
okre±li¢
tylko
√
√
pierwiastek stopnia nieparzystego. Je±li n jest liczb¡ nieparzyst¡, to n a = − n −a.
Prawa dziaªa« na pot¦gach i pierwiastkach.
Przy stosownych zaªo»eniach zachodz¡ wzory:
m
n
am · an = am+n , aan = am−n , (am )n = am·n , (a · b)n = an · bn , ( ab )n = abn ,
q√
√
q
√
√
√
√ √
√
√
na
n
n m
a = n·m a, n a · b = n a · n b, n ab = √
am = ( n a)m , ( n a)n = a.
n ,
b
1.2
Procenty
Procent jest to jedna setna pewnej wielko±ci. To po prostu skrócony zapis uªamka
p% =
1
100
.
p
100
W zadaniach na procenty wyró»niamy trzy typy czynno±ci:
• znajdowanie procentu danej liczby:
p% liczby x =
p
·x
100
TORUS Kursy matematyki http://torus.edu.pl/ [email protected] tel. 698 991 340
Matura z matematyki 2010. Poziom podstawowy. Liczby rzeczywiste.
• obliczanie, jakim procentem liczby x jest liczba y:
p% liczby x = y ⇐⇒ p% =
y
· 100%
x
• znajdowanie liczby x, której dany procent jest inn¡ liczb¡:
p% liczby x = a ⇐⇒
100a
p
x = a ⇐⇒ x =
100
p
Poj¦cie punktu procentowego
Poj¦cie punktu procentowego wprowadza si¦, aby okre±li¢ ró»nic¦ mi¦dzy dwiema warto±ciami
danej wielko±ci podanymi w procentach. Na przykªad:
• inacja, wzrastaj¡c z poziomu 5% do poziomu 6%, zwi¦kszyªa si¦ o 1 punkt procentowy (ale
o 20 procent);
• inacja, wzrastaj¡c z poziomu 5% do poziomu 25%, zwi¦kszyªa si¦ o 20 punktów procen-
towych (ale o 400 procent).
1.3
Logarytmy
Denicja logarytmu. Je±li a > 0, a 6= 1, b > 0, to:
loga b = c ⇐⇒ ac = b
Liczb¦ loga b nazywamy logarytmem przy podstawie a z liczby b. Logarytm przy podstawie 10
nazywamy logarytmem dziesi¦tnym i oznaczamy log a:
log a = log10 a
Prawa dziaªa« na logarytmach.
Przy stosownych zaªo»eniach zachodz¡ wzory:
loga (bc) = loga b + loga c,
1.4
loga
b
= loga b − loga c,
c
loga bn = n · loga b.
Zadania do rozwi¡zania
1. ‘rednia arytmetyczna liczb
2. Oblicz
1 √
· 3 −27
3
32
q
1 79 , −3−1 , x jest równa 3. Wyznacz x.
· 9.
3. Która z poni»szych liczb jest równa 2?
A. 0, 02 · 103 , B. 20−1 · 102 , C. (0, 2)−1 · 10, D. 102 : (0, 02)−1 .
√
√
4. Zapisz wyra»enie 2 50 − 4 8 w postaci pot¦gi.
5. Zapisz wyra»enie
1
√
√
8− 3 ·(2 5 )
0,25−1 :32
5
w postaci pot¦gi liczby 2.
TORUS Kursy matematyki http://torus.edu.pl/ [email protected] tel. 698 991 340
Matura z matematyki 2010. Poziom podstawowy. Liczby rzeczywiste.
6. Zapisz w najprostszej postaci wyra»enie
√ x−y√
5− 3 2
√
√
, je±li x = 2 − 3 54, y = 2 − 45.
√
3
√
nie nale»y do zbioru liczb:
7. Liczba (221−12
3−3)2
A. niewymiernych B. rzeczywistych C. naturalnych D. caªkowitych.
8. Czy liczba
√ q
√
5 − 2 6 · 5 + 2 6 jest wymierna?
q
9. Oblicz 12 log6 4 + log6 18.
10. Oblicz log 5 + log 8 − 2 log 2.
11. Uporz¡dkuj w kolejno±ci rosn¡cej liczby: log3 9, log16 14 , log 51 25, log4 2.
12. Podaj przykªad liczb caªkowitych dodatnich a i b speªniaj¡cych nierówno±¢
13. Wyka», »e prawdziwa jest nierówno±¢
4
9
<
a
b
< 59 .
√
√
250 + 1 + 250 − 1 < 226 .
14. Jeden mikrometr to 10−6 metra. Jeden arkusz papieru ma grubo±¢ 140 mikrometrów. Ile
takich arkuszy trzeba uªo»y¢ jeden na drugim, aby otrzymana warstwa miaªa wysoko±¢ 1 m?
15. ›óªw porusza si¦ z pr¦dko±ci¡ 6, 48 · 10−3 km/h. Ile metrów przejdzie w ci¡gu sekundy?
16. Adrian potrzebuje 24 godzin na uporz¡dkowanie ogrodu. Sebastian potrzebuje 40 godzin na
uporz¡dkowanie tego samego ogrodu. Ile godzin zajmie im uporz¡dkowanie ogrodu, je»eli
b¦d¡ pracowa¢ razem?
17. Dwudziestu chªopców stanowi 62,5% klasy. Ile dziewcz¡t jest w tej klasie?
18. Cen¦ butów obni»ono najpierw o 30%, a nast¦pnie obni»ono o 20%. O ile procent obni»ono
w sumie cen¦ tych butów?
19. W poniedziaªek cen¦ pewnego towaru zwi¦kszono o 10%, w ±rod¦ zmniejszono o 20%, a w
pi¡tek zmniejszono jeszcze o 30%. Oblicz pocz¡tkow¡ cen¦ towaru, je±li ostatecznie p tych
zmianach wynosiªa 1232 zª.
20. Poparcie dla partii X w marcu 2009 wynosiªo 24%, a we wrze±niu 2009 wynosiªo 30%. O ile
procent wzrosªo poparcie dla partii X ? O ile punktów procentowych wzrosªo poparcie dla
partii X ?
21. Na pocz¡tku sierpnia ceny jabªek i gruszek w osiedlowym sklepie byªy takie same. W ci¡gu
miesi¡ca cena gruszek spadªa o 38%, a cen¦ jabªek dwukrotnie obni»ono o 20%. Które owoce
s¡ ta«sze po tych zmianach?
22. Jajko wa»y 56 gramów. 55% wagi jajka stanowi biaªko, 40% »óªtko, a reszt¦ stanowi skorupka.
Ile wa»y skorupka?
23. Antykwariat zakupiª dwie ksi¡»ki za 2050 zª, a na ich sprzeda»y zyskaª 30% tej kwoty. Za ile
zªotych zakupiª ka»d¡ z tych ksi¡»ek, je±li pierwsza daªa 33,2% zysku, a druga 25% zysku?
Po tej lekcji powiniene± umie¢:
• planowa¢ i wykonywa¢ obliczenia na liczbach rzeczywistych;
TORUS Kursy matematyki http://torus.edu.pl/ [email protected] tel. 698 991 340
Matura z matematyki 2010. Poziom podstawowy. Liczby rzeczywiste.
• oblicza¢ pot¦gi o wykªadnikach wymiernych oraz stosowa¢ prawa dziaªa« na pot¦gach o
wykªadnikach wymiernych i rzeczywistych;
• oblicza¢ pierwiastki, w tym pierwiastki nieparzystego stopnia z liczb ujemnych;
• bada¢, czy wynik oblicze« jest liczb¡ wymiern¡;
• stosowa¢ poj¦cie procentu i punktu procentowego w obliczeniach;
• zna¢ denicj¦ logarytmu i stosowa¢ w obliczeniach wzory na logarytm iloczynu, logarytm
ilorazu i logarytm pot¦gi o wykªadniku naturalnym.
TORUS Kursy matematyki http://torus.edu.pl/ [email protected] tel. 698 991 340