Pobierz

REGRESJA NIELINIOWA – LINEARYZOWANA
Funkcje nieliniową y=f(x) moŜna zlinearyzować w wyniku przekształcenia postaci
jednej lub obu zmiennych. Wówczas stosuje się opis regresji liniowej do równania
Y = AX + B. Zmienne X i Y są znanymi funkcjami zmiennych x i y, natomiast A i B zaleŜą od
stałych a i b wyjściowego równania (nieliniowego). Współczynniki te znajdujemy następująco:
n
n
n
n
i =1
i =1
∑ Wi ∑ Wi X iYi − ∑ Wi X i ∑ WiYi
i =1
A=
i =1
n

∑ Wi ∑ Wi X −  ∑ Wi X i 
i =1
i =1
i
=
1


n
n
n
n
2
2
i
n
n
∑ WiYi ∑ Wi X i2 − ∑ Wi X iYi ∑ Wi X i
B=
i =1
i =1
i =1
n
n
i =1
i =1
i =1

 i =1


n
2
∑ Wi ∑ Wi X i2 −  ∑ Wi X i 
gdzie wi jest wagą przekształcenia (transformacji):
1
Wi =
 ∂Υi

 ∂y i



2
Przedziały ufności parametrów A i B oblicza się podobnie jak w przypadku regresji zwykłej:
∆Α = t r ,α ⋅ Sr ⋅
∆B = t r ,α ⋅ Sr ⋅
ΣWi
2
2
ΣWi ΣWi X i − (ΣWi X i )
ΣWX i
2
ΣWi ΣWi X i − (ΣWi X i )
2
gdzie Sr to odchylenie resztowe obliczone ze wzoru S r =
∑ (Y
obl
2
−Y)
2
n−2
a Yobl oznacza wartości funkcji dla argumentów X obliczone w oparciu o uzyskane
równanie, czyli ze wzoru Yobl = AX + B , Y to eksperymentalne wartości funkcji
REGRESJA LINEARYZOWANA (WAśONA) w odniesieniu do równania:
Y = A⋅X
Współczynnik A regresji szczątkowej (dla której r = n-1):
n
∑ Wi X iYi
A=
i =1
n
∑ Wi X
1
∆Α = t r ,α ⋅ Sr ⋅
2
i
ΣWi X i
i =1
2
2
∑ (Yobl − Y )
gdzie Sr to odchylenie resztowe obliczone ze wzoru S r =
n −1
a Yobl oznacza wartości funkcji dla argumentów X obliczone w oparciu o uzyskane
równanie, czyli ze wzoru Yobl = AX , Y to eksperymentalne wartości funkcji
SCHEMAT SPOSOBU OBLICZEŃ:
Wyjściowe dane, czyli zbiory zmiennych x i y przekształcamy na ogół według
następującego schematu, gromadząc wyniki w postaci tablicy:
x X y Y
∑
W WX WY WX2 WXY WY2 Yobl (Yobl-Y)2 yobl
=… …
…
…
…
…
…
Przedziały ufności stałych regresji nieprzekształconej ∆a i ∆b znajdujemy na
podstawie znalezionych wcześniej wartości ∆A i ∆B oraz relacji wiąŜących stałe
przetransformowane regresji (A, B) i stałe wyjściowe (a, b), stosując metodę propagacji
błędów.
METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH
W celu numerycznego rozwiązania równania naleŜy je przedstawić w postaci f(x) = 0 i
określić ilość pierwiastków oraz przedziały, w których się one znajdują. Pierwiastki równania
są oczywiście toŜsame z miejscami zerowymi funkcji f(x).
Przedziału, w którym znajdują się pierwiastki równania naleŜy więc szukać zgodnie z
warunkiem: f(a) ⋅f(b) < 0
METODA KOLEJNYCH PRZYBLIśEŃ
• sprowadzenie równania do postaci x = F(x)
• sprawdzenie załoŜenia F’(a)
< 1 i F’(b)
< 1, gdy nie jest spełnione szukamy innej postaci
równania x = G(x) (powstaje z przekształcenia równania wyjściowego f(x) = 0)
• szukanie pierwiastka:
xn+1= F(xn)
a+b
gdzie punkt startowy to x 0 =
2
• koniec gdy ∆x < ε
METODA NEWTONA
• wybór punktu startowego:
xo = a lub xo = b, f(xo)⋅f’’(xo) > 0,
tzn. f(a)⋅f’’(a) > 0 ⇒ xo = a lub f(b)⋅f’’(b) > 0 ⇒ xo = b
• szukanie pierwiastka
x n +1 = x n −
f (x n )
f ' (x n )
• koniec gdy ∆x
<ε
METODA SIECZNYCH
• wybór punktu startowego x0 oraz a:
xo = a lub xo = b, f(xo)⋅f’’(xo) < 0,
tzn. f(a)⋅f’’(a) < 0 ⇒ xo = a i xa= b lub f(b)⋅f’’(b) < 0 ⇒ xo = b i xa= a
• szukanie pierwiastka
x n +1 = x n −
xa − xn
f (x n )
f (x a ) − f (x n )
• koniec gdy ∆x
<ε
METODA BISEKCJI
a+b
,
2
• koniec gdy ∆x
<ε
• xo = a ∨ b
x1 =
x n +1 =
x n + x n −1
2
jeśli f ( x n ) ⋅ f ( x n −1 ) < 0
INTERPOLACJA NUMERYCZNA
INTERPOLACJA NEWTONA (dla nierównych odstępów argumentów)
ILORAZY RÓśNICOWE
x0
y0
f (x 0 , x 1 ) =
x1
y1
f ( x 0, x 1 , x 2 ) =
f (x1 , x 2 ) =
x2
y 2 − y1
x 2 − x1
y2
f (x1 , x 2 , x 3 ) =
f (x 2 , x 3 ) =
x3
y1 − y 0
x1 − x 0
f ( x 1, x 2 ) − f ( x 0, x 1 )
x2 − x0
f ( x 0, x 1 , x 2 , x 3 ) =
f ( x 1, x 2 , x 3 ) − f ( x 0, x 1 , x 2 )
x3 − x0
f ( x 2, x 3 ) − f ( x 1, x 2 )
x 3 − x1
y3 − y 2
x3 − x2
y3
INTERPOLACJA WPRZÓD
WnI = f ( x 0 ) + f ( x 0 , x 1 )( x − x 0 ) + f ( x 0 , x 1 , x 2 )( x − x 0 )( x − x 1 ) +
+ f ( x 0 , x 1 , x 2 , x 3 )( x − x 0 )( x − x 1 )( x − x 2 ) + ... + f ( x 0 , x 1 , x 2 ,...x n )( x − x 0 )( x − x 1 )( x − x 2 )...( x − x n −1 ) =
n
= f ( x 0 ) + ∑ f ( x 0 , x 1 ,....x j )( x − x 0 )( x − x 1 )...( x − x j−1 )
j=1
INTERPOLACJA WSTECZ
WnII = f ( x n ) + f ( x n , x n −1 )( x − x n ) + f ( x n , x n −1 , x n − 2 )( x − x n )( x − x n −1 ) +
+ f ( x n , x n −1 , x n −2 , x n −3 )( x − x n )( x − x n −1 )( x − x n − 2 ) + ...
+ f ( x n , x n −1 , x n −2 ,...x 0 )( x − x n )( x − x n −1 )( x − x n − 2 )...( x − x 1 ) =
n
= f ( x n ) + ∑ f ( x j , x j−1 , x j−2 ,...)( x − x j )( x − x j−1 )( x − x j−2 )...( x − x 1 )
j=1
INTERPOLACJA DLA WĘZŁÓW RÓWNOODLEGŁYCH
TABLICA RÓśNIC SKOŃCZONYCH (PROGRESYWNYCH)
x
y
x0
y0
∆y
∆2y
∆3y
∆4y
∆y0
x1
∆2y0
y1
∆3y0
∆y1
x2
∆2y1
y2
∆y2
x3
y3
x4
y4
∆4y0
3
∆ y1
∆2y2
∆y3
PIERWSZY WZÓR INTERPLACYJNY NEWTONA (interpolacja wprzód)
PnI = y 0 +
q
q(q − 1) 2
q (q − 1)(q − 2) 3
q(q − 1)(q − 2)...(q − n + 1) n
∆ y0
∆y 0 +
∆ y0 +
∆ y 0 + ... +
1!
2!
3!
n!
gdzie q =
x − x0
a h to skok między argumentami
h
DRUGI WZÓR INTERPLACYJNY NEWTONA (interpolacja wwstecz)
PnII = y n +
q
q(q + 1) 2
q (q + 1)(q + 2) 3
q(q + 1)(q + 2)...(q + n − 1) n
∆y n −1 +
∆ y n −2 +
∆ y n −3 + ... +
∆ y0
1!
2!
3!
n!
gdzie q =
x − xn
a h to skok między argumentami
h
CAŁKOWANIE NUMERYCZNE
Przedział całkowania <a,b> dzieli się na n równych podprzedziałów o szerokości h
h=
b−a
n (skok).
W następnym kroku oblicza się wartości funkcji dla poszczególnych argumentów w przedziale całkowania:
x0=a
y0
x
f(x)=y
x1
y1
x2
y2
…………..
…………..
xn-2
yn-2
xn-1
yn-1
xn=b
yn
WZÓR TRAPEZÓW (dowolna liczba podprzedziałów)
b
y
y
o
n
∫ f ( x )dx = h( 2 + y1 + y2 + y3 + ... + yn−1 + 2 )
a
oszacowanie błędu: R = −
b−a 2
⋅ ∆ y śr
12
∆2 yśr oznacza średnią arytmetyczną z róŜnic skończonych drugiego stopnia
METODA SIMPSONA (parzysta liczba podprzedziałów)
b
h
∫ f ( x )dx = 3 [ yo + yn + 2( y2 + y4 + y6 + ... + yn−2 ) + 4( y1 + y3 + y5 + ... + yn−1 )]
oszacowanie
a
R=−
błędu:
b−a 4
⋅ ∆ y śr
180
∆4 yśr oznacza średnią arytmetyczną z róŜnic skończonych czwartego stopnia
WZÓR NEWTONA (liczba podprzedziałów podzielna przez 3)
b
3h
∫ f ( x )dx = 8 [ yo + y n + 2( y3 + y6 + y9 + ... + y n−3 ) + 3( y1 + y2 + y 4 + y5 + ... + yn−2 + yn−1 )]
a
oszacowanie błędu:
R=−
b−a 4
⋅ ∆ y śr
80
ZWIĘKSZENIE DOKŁADNOŚCI – EKSTRAPOLACJA RICHARDSONA
Dla metody trapezów
C = 4/3⋅C(h) – 1/3⋅C(2h)
Dla metody Simpsona i Newtona
C = 16/15⋅C(h) – 1/16⋅C(2h)
gdzie C oznacza wartość rzeczywistą całki, C(h) wartość całki dla odstępu h, a C(2h) wartość całki dla odstępu dwa
razy większego.
Przykładowo, jeŜeli chcemy obliczyć wartość rzeczywistą całki C w przedziale całkowania od 1 do 10, to jest
10
wartość ∫ f ( x )dx i wybieramy w pierwszym kroku odstęp między argumentami h=1, obliczamy wartość całki
1
C(h), a następnie obliczamy wartość całki dla odstępu dwa razy większego, czyli w tym przypadku 2h=2 i
wstawiamy otrzymane wartości C(h) i C(2h) do odpowiedniego wzoru.