3. Funkcje !!!!!

1. Definicja funkcji f:X->Y. Definicja dziedziny, przeciwdziedziny, zbioru wartości.
Przykłady.
I definicja:
Funkcją nazywamy relację ⊂
1) ∀ ∊ ∃ ∊ 2) ∀ ∊ ∀ 1, 2 ∊ [(
Inaczej pisząc:
∀ ∊ ∃! ∊ × , jeśli spełnia następujące warunki:
1 ∧ 2) => 1 = 2]
⇔( , ) ∊ ⇔ ( ) = ⊂ × ⇔ : → II definicja:
Niech i będą dowolnymi niepustymi zbiorami. Jeśli każdemu elementowi zbioru został
przyporządkowany dokładnie jeden element zbioru , to mówimy wówczas, że zostało
określone odwzorowanie (przekształcenie) zbioru w zbiór . Możemy też powiedzieć w
takiej sytuacji, że została określona funkcja odwzorowująca (przekształcająca) zbiór w
zbiór . Będziemy to zapisywać w postaci : → .
Jeśli : → , to element zbioru przyporządkowany przez przekształcenie elementowi
zbioru będziemy nazywać wartością funkcji dla argumentu lub obrazem elementu
przy przekształceniu (odwzorowaniu) i będziemy oznaczać ( ).
Definiując funkcję wyznaczamy następujące zbiory:
• zbiór tych elementów, dla których funkcja została zdefiniowana, zwany zbiorem
argumentów funkcji lub dziedziną funkcji
• przeciwdziedzina czyli zbiór, do którego należą wartości funkcji
• zbiór ( ) wartości funkcji, tzn. zbiór tych elementów zbioru , dla których istnieje
∊ , takie że = ( );
O funkcjach : → mówimy również, że są określone na zbiorze o wartościach w
zbiorze .
Jeżeli przeciwdziedzina funkcji pokrywa się ze zbiorem wartości ( ),czyli gdy
( ) = , to będziemy mówić, że funkcja : → przekształca zbiór na zbiór .
Przykład:
: → , ( ) = dziedzina:
zbiór wartości: [0, ∞)
przeciwdziedzina:
2. Definicja funkcji monotonicznej1
Niech
⊂ ,
≠ ∅ oraz :
→ .
Mówimy, że funkcja jest rosnąca, gdy dla dowolnych ,
( ) < ( ).
Mówimy, że funkcja jest malejąca, gdy dla dow. ,
( ).
1
∈ takich, że
∈ takich, że
<
<
zachodzi
zachodzi ( ) >
Niektórzy autorzy zdefiniowaną poniżej funkcję rosnącą nazywają ściśle rosnącą, malejącą - ściśle malejącą,
zaś funkcje niemalejącą i nierosnącą rosnącą i malejącą odpowiednio.
Mówimy, że funkcja jest nierosnąca, gdy dla dow. ,
( ) ≥ ( ).
∈ takich, że
Mówimy, że funkcja jest niemalejąca, gdy dla dow. ,
( ).
∈ takich, że
<
<
zachodzi
zach.
( )≤
Definicja funkcji różnowartościowej
Funkcja : →
wartości tzn.
jest różnowartościowa jeśli różnym argumentom przyporządkowuje różne
∀ , ∈ ( ≠ ⇒ ( ) ≠ ( ))
lub równoważnie:
∀ , ∈ ( ( ) = ( ) ⇒ = )
Definicja funkcji „na”
Mówimy, że funkcja :
zapisujemy :
)*
→
odwzorowuje zbiór X na zbiór Y lub jest funkcją na, co
+, , gdy spełniony jest warunek:
∀ ∈ ∃ ∈ ( ) =
Używa się też następującej terminologii:
:
•
•
•
→
nazywamy:
injekcją, gdy jest różnowartościowa,
suriekcją: gdy jest na,
bijekcją, gdy jest różnowartościowa i na.
Przykłady
Funkcja rosnąca: ( ) = 2 + 3
Funkcja malejąca: /( ) = − , ale funkcja : \{0} →
jest ani rosnąca, ani malejąca.
określona wzorem ( ) =
4
5
Jest to natomiast funkcja malejąca przedziałami, tzn. |(78,9) oraz |(9,8) są funkcjami
malejącymi.
Podobnie funkcja
1
( ) = :2 ;<= < 0>
2;<= ≥ 0
nie
jest nierosnąca przedziałami.
Funkcja różnowartościowa. :
→ , ( ) = = + ?, = ≠ 0,
Suriekcja – funkcja logarytmiczna ( ) = <@/
3. Definicja wykresu funkcji
Niech ,
⊂ . Wykresem funkcji :
→
AB = {( , ) ∈
nazywamy zbiór:
; ∈ ,
= ( )}
Przykład
( ) = 5 + 1 ,
AB = {( , ) ∈
=
∖ {0},
; ∈ ,
=
=
2
+ 1}
4. Definicja funkcji odwrotnej. Przykłady.
Niech , będą niepustymi zbiorami. Funkcję 74 : →
bijekcji : → , gdy ∀ ∊ ∀ ∊ ( ( ) = ⟺ Dla każdej bijekcji :
→
nazywamy funkcją odwrotną do
( ) = ).
74
istnieje dokładnie jedna funkcja odwrotna
Przykłady:
• Niech : → będzie funkcją określoną wzorem ( ) = 2 ; jest to funkcja
różnowartościowa przekształcająca zbiór liczb rzeczywistych R na R; funkcja odwrotna
określona jest wzorem: 74 ( ) = 1/2
• Niech /: G → G będzie funkcją przekształcającą zbiór G liczb rzeczywistych
nieujemnych w G określoną wzorem /( ) = ; funkcja g jest różnowartościowa i
funkcja odwrotna /74 określona jest wzorem /74 ( ) = √ .
5. Definicja złożenia funkcji (superpozycji)
Niech , , I będą niepustymi zbiorami. Niech dane będą funkcje : → , /: → I. Dla
każdego elementu ∈ istnieje wówczas dokładnie jeden element J ∈ I taki, że J =
/( ( )). Funkcje i / wyznaczają więc nową funkcję ℎ: → I określoną w następujący
sposób: ℎ( ) = /( ( )) dla każdego ∈ .
Funkcję ℎ nazywamy superpozycją lub złożeniem funkcji
Z definicji mamy więc:
i / i oznaczamy symbolem / ∘ .
(/ ∘ ) = /M ( )N;<=O=ż;P/@ ∈
Przykłady
( )=
+ 1,
/( ) =
( ∘ /)( ) = M/( )N = (2 + 1) = (2 + 1) + 2 = 4
+ 4 + 3.
6. Definicja obrazu
Niech :
→ , R ⊂ .Obrazem zbioru R wyznaczonym przez funkcję
nazywamy zbiór
(R) = { ∈ :∃ ∈ ( ∈ RS = ( ))}.
Przykład
( )=
R = {1}, (R) = {1}
T = {−1,1}, (T) = {1}
Własności
Niech :
→ ,R⊂ , T⊂
1. Monotoniczność R ⊂ T ⇒ (R) ⊂ (T)
2. (R ∪ T) = (R) ∪ (T)
3. (R ∩ T) ⊂ (R) ∩ (T)
4. Jeżeli jest różnowartościowa, to (R ∩ T) = (R) ∩ (T)
5. (R)\ (T) ⊂ (R\T)
6. Jeżeli jest różnowartościowa, to (R)\ (T) = (R\T)
Kontrprzykłady.
Ad 4.
( )=
R = {1}, (R) = {1}
T = {−1}, (T) = {1}
(R ∩ T) = ({1} ∩ {−1}) = ({∅}) = ∅
(R) ∩ (T) = {1} ∩ {1} = {1}
Dla 6.
( ) = |> |>
R = {3}, (R) = {3}
T = {−3}, (T) = {3}
(R)\ (T) = ({3})\ ({−3}) = {3}\{3} = ∅
({3}\{−3}) = ({3}) = {3}
7. Definicja i własności przeciwobrazu zbioru za pomocą funkcji W: X → Y. Przykłady.
Niech : → , Z ⊂ . Przeciwobrazem zbioru Zwyznaczonym przez funkcję
zbiór
74 (Z)
= { ∈ : ( ) ∈ Z}
Przykład:
nazywamy
74
,
({13
2 ∊ :
∊ 2133
∊ 2 ∊ :
13
20
01,13
Własności:
: → , Z ⊂ , [ ⊂
1) Z ⊂ [
74 Z ⊂ 74 [ [monotoniczność]
74
74
2
Z∪[
Z ∪ 74 [ 74
74
3
Z∩[
Z ∩ 74 [ 74
74
4
Z/[
Z / 74 [ 74
5
/[
/ 74 [ Własności
ci obrazu i przeciwobrazu:
Niech : →
1 dla dowolnego zbioru R ⊂ , R ⊂ 74 R 2) jeżeli jest różnowartoś
żnowartościowa, to R
01 R
74
3) dla dowolnego zbioru Z ⊂ ,
Z ⊂ Z
74
4) jeżeli zbiór Z ⊂
, to
Z
Z
Funkcje elementarne
Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: stałe, potęgowe,
potęgowe, wykładnicze,
logarytmiczne, trygonometryczne oraz cyklometryczne.
Funkcje, które można
na otrzymać z podstawowych funkcji elementarnych za pomocą
pomoc
skończonej liczby działańń arytmetycznych oraz operacji złożenia
zło enia funkcji nazywamy
funkcjami elementarnymi (np. wielomianu, funkcje wymierne, moduł).
m
Własności
Funkcja stała
Niech ,
będą niepustymi zbiorami.
Funkcją stałą nazywa sięę funkcję
taką, że
Funkcja potęgowa
Funkcja postaci Dla =
*
, gdzie a jest daną liczbą rzeczywistą.
0 funkcja jest określona
ślona dla
•
=
•
wykładnik = dodatni, parzysty,
0
0; poza tym warto wyróżnić
ż ć kilka przypadków:
•
wykładnik = dodatni, nieparzysty
•
wykładnik = ujemny, parzysty
•
wykładnik = ujemny, nieparzysty
Funkcja wykładnicza
Funkcja postaci:
Dla
Jeśli
,
∈
gdzie
funkcja wykładnicza o podstawie
funkcja
jest stała.
.
jest rosnąca, dla
jest malejąca.
Funkcja logarytmiczna
funkcja
ustalonego
, określona
okreś
wzorem
(dla pewnego
). Jest funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej.
Funkcja logarytmiczna jest
•
•
•
•
ściśle monotoniczna: dla
malejąca,
różnowartościowa.
ciągła,
różniczkowalna
funkcja ta jest rosnąca, dla
funkcja jest
Logarytmy o różnych podstawach:
jasnoniebieski ma podstawę 1/2,
czerwony ma podstawę 2, zielony podstawę
,ciemnoniebieski ma podstawę 10
Funkcje trygonometryczne
Funkcje sinus i cosinus określone
ślone są
s dla każdej liczby rzeczywistej.
Tangens jest określony
lony w zbiorze powstałym ze zbioru wszystkich liczb rzeczywistych przez
usunięcie liczb mających
cych postać
, gdzie
jest liczbą całkowitą.
Cotangens jest określony w zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych poza liczbami postaci
, gdzie jest liczbą całkowitą.
Tangens ma asymptoty pionowe w punktach postaci
postaci
.
Sinus i cosinus są ograniczone:
ograniczone przyjmują wartości z przedziału
cotangens przyjmują dowolne wartości
warto rzeczywiste
Wykresy
Sinus:
Cosinus:
, a cotangens w punktach
. Tangens i
Tangens:
Cotangens
Funkcje cyklometryczne
Funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych ograniczonych do pewnych przedziałów.
Funkcje trygonometryczne rozpatrywane na tych przedziałach są
s różnowartoś
żnowartościowe i mają
funkcje odwrotne.
Arcus sinus jest funkcjąą rosnącą.
rosnącą Jej dziedziną jest
Arcus cosinus jest funkcjąą malejącą.
maleją Jej dziedziną jest
, a zbiorem wartości
wartoś
, a zbiorem wartości
warto
Arcus tangens jest funkcjąą rosnącą.
rosną Jej dziedziną jest
Arcus cotangens jest funkcjąą malejącą.
malej
Jej dziedziną jest
, a zbiorem wartości
, a zbiorem wartości
warto