Pakiet algebry symbolicznej Maple

dr hab. Antoni C. Mituś
dr Grzegorz Pawlik
Instytut Fizyki PWr
Wrocław, 03.05.2010
Pakiet algebry symbolicznej Maple
Lista 5: Analiza matematyczna (II): Ekstrema funkcji dwóch zmiennych. Elementy analizy
wektorowej i fourierowskiej. Równania różniczkowe zwyczajne.
1. Dana jest funkcja f (a, b) =
N
∑
(yi − a xi − b)2 . Znaleźć wzory na współczynniki a i b, dla których
i=1
ma ona ekstremum.
2. Zbadać lokalne ekstrema funkcji f (x, y) = x3 − x y + x y 2 .
⃗ y, z) = [x2 , y −
3. Zdefiniować pole wektorowe: (a) w kartezjańskim układzie współrzędnych: A(x,
⃗ θ, ϕ) = [r, sin(θ), cos(ϕ)]
z, xz 3 ] oraz wyznaczyć je w punkcie o współrzędnych (1, 3, 5); (b) A(r,
w sferycznym układzie współrzędnych oraz wyznaczyć je w punkcie o współrzędnych (1, 3, 5).
4. Wyznaczyć gradient pola skalarnego U (x, y, z) = x2 yz − z 3 .
5. Obliczyć rotację i dywergencję pola wektorowego ⃗u(x, y, z) = [xy, −yz, z 2 ].
6. Obliczyć rotację pola wektorowego zadanego w sferycznym układzie współrzędnych: ⃗u(r, θ, ϕ) =
[r, ϕ, 1].
7. Znaleźć postać ∇ · ⃗v , ∇ × ⃗v oraz ∇f we współrzędnych: (a) kartezjańskich; (b) sferycznych; (c)
cylindrycznych.
8. Sprawdzić następujące tożsamości: (a) ∇ · (∇ × ⃗v ) = 0; (b) ∇ × (∇f ) = ⃗0; (c) ∇ · (∇f ) = ∇2 f .
9. Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję f (x) = x(π − x) dla 0 < x < π i narysować na jednym
wykresie kilka pierwszych członów rozwinięcia oraz funkcję f (x).
10. Rozwiązać równanie y ′ = sin(x2 ) przy warunku początkowym y(0) = 1/2. Wyznaczyć y(1).
Narysować wykres y(x).
11. Rozwiązać układ równań:
dx
dt
= 2x + 4y + e−2t ,
dy
dt
= 4x + 2y + e−2t , gdy x(0) = y(0) = 0.
12. Na cząstkę o masie m > 0 działa siła F (t) = −kv(t) (k > 0). Wyznaczyć zależność położenia
od czasu x(t) oraz obliczyć lim x(t).
t→∞
13. Rozwiązać równanie x′′ = −2x − x′ dla warunków początkowych x(0) = 1, x′ (0) = 2. Podać
wartości x(3), x′ (3).
14. Narysować wykres rozwiązania równania różniczkowego y ′′ + 2y = sin(2x) dla warunków początkowych y(0) = 1 oraz y ′ (0) = 0.
15. (*) Rozwiązać równanie różniczkowe dla przypadku oscylatora harmonicznego z siłą wymuszającą:
d2 x(t)
= −kx(t) + F cos(Ωt).
m
dt2
Przyjąć: m = 1/2, k = 1, F = 1. Jak zmienia się amplituda drgań w zależności od Ω? Jak
zmieni się ona po wprowadzeniu siły tłumienia równej −|γ| dx(t)
dt ?
16. Narysować wykres zależności położenia x i prędkości v od czasu oraz portret fazowy dla oscylatora anharmonicznego z siłą F (x) = −x − x2 − x3 , dla warunków początkowych x(0) = 0,
v(0) = 1, masa m = 1. Obliczyć okres ruchu.