Stan przejściowy w gałęzi szeregowej RC przy wymuszeniu stałym

Stan przejściowy w gałęzi szeregowej RC
przy wymuszeniu stałym
Ładowanie kondensatora
W1
R
i
uR
W2
U
uC
U = Ri + uC ⇒ i =
C
U − uC
R
dq = idt ∧ dq = CduC
⇓
i=C
RC
duC
dt
duC
+ uC = U
dt
Dla U = 0 — równanie różniczkowe liniowe jednorodne
T
duC
duC
+ uC = 0 ⇒
= − dt
dt
uC
T
gdzie T = RC — stała czasowa obwodu
t
1
t
ln uC = −
dt + A = − + ln A
T
T
∫
0
−t
Be T
uC =
Niech B = B(t), zatem
duC & − t B − t
= Be T − e T
dt
T
B&T e
−
t
T
=U
⇓
t
t
et T
B =U
dt + D = Ue T + D
T
∫
0
t
⎛ t
⎞ −t
−
uC = ⎜Ue T + D ⎟e T = U + De T
⎜
⎟
⎝
⎠
Warunek początkowy: t = 0 ⇒ uC(0) = 0
0 = U + D ⇔ D = −U
uC = U − Ue
−
t
T
t
⎛
−
= U ⎜1 − e T
⎜
⎝
t → ∞ ⇒ uC → U
⎞
⎟
⎟
⎠
t
−
duC
d ⎛⎜
i=C
= CU
1− e T
dt
dt ⎜
⎝
u, i
u
T
⎞ C −t U −t
⎟ = Ue T = e T
⎟ T
R
⎠
C
U
U/R
u
R
i
t=0
t
Rozładowanie kondensatora
W1
R
i
uR
U
uC
W2
uC + Ri = 0 ⇒ uC = − Ri = − RC
duC
dt
duC
= − dt ⇒ ln uC = − t + A
uC
T
T
uC =
−t
Be T
C
Warunek początkowy: t = 0 ⇒ uC(0) = U
B =U
uC
−t
= Ue T
uC
−t
U
i=−
=− e T
R
R
u, i
T
U
u
C
t=0
u
−U/R
i
t
R
−U
Energia wydzielona na rezystorze
⎛ U −t
W = Ri 2dt = R⎜ − e T
⎜ R
0
0 ⎝
∞
∫
∞
∫
2
⎞
⎟ dt = 1 CU 2 = 1 Cu (0 )2
C
⎟
2
2
⎠