Nierównosci cykliczne I seria 1. Udowodnij, ˙ze dla dowolnych liczb

Nierówności cykliczne I seria
1. Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich x, y, z zachodzi nierówność
x
y
z
3
+
+
≥ .
y+z z+x x+y
2
2. Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich x, y, z zachodzi nierówność
x2
y2
z2
x+y+z
+
+
≥
.
y+z z+x x+y
2
Jak można uogólniać te nierówności dla wiekszej
liczby zmiennych?
,
Nierówności cykliczne II seria
3. Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich x1 , x2 , . . . , xn zachodzi nierówność
x1
x2
xn
n
+
+ ... +
≥
.
x2 + . . . + xn x3 + . . . + x1
x1 + . . . + xn−1
n−1
4. Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich x1 , x2 , . . . , xn zachodzi przynajmniej jedna
z nierówności
x1
x2
xn
n
+
+ ... +
≥
x2 + x3 x3 + x4
x1 + x2
2
lub
x1
x2
xn
n
+
+ ... +
≥
xn + xn−1 x1 + xn
xn−1 + xn−2
2
5. Problemem Shapiro nazywamy pytanie, dla jakich n nierówność
x1
x2
xn
n
+
+ ... +
≥
x2 + x3 x3 + x4
x1 + x2
2
zachodzi dla wszystkich liczb dodatnich xi .
Udowodnij, że jeśli w problemie Shapiro istnieje kontrprzykÃlad dla n, to istnieje kontrprzykÃlad dla n + 2.
UWAGA KontrprzykÃladem dla n = 14 jest ciag
,
2 1001
1004 1 1006 4
1007 7 1004 6 1001 5
,
,
,
,
,
, 1,
,
, 0,
,
,
,
,
1000 1000 1000 1000 1000 1000
1000 1000
1000 1000 1000 1000
dla którego wartość powyższego wyrażenia wynosi 6, 999998254.
Jak w świetle zadań z tej serii można próbować uogólnić nierówność 2.?
Nierówności cykliczne III seria
6. Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a i b zachodzi nierówność
a + b a2 + b2 a3 + b3
a 6 + b6
·
·
≤
.
2
2
2
2
7. Niech a, b, c bed
zaś ma , mb i mc dÃlugościami jego odpo,
, a, dÃlugościami boków trójkata,
wiednich środkowych. Udowodnij, że
³m
³ 1 1 1 ´2
mb mc ´
a
9 2 + 2 + 2 ≥ (ma + mb + mc )
+ +
.
a
b
c
a b c