Teoria mnogości Teoria mnogości zajmuje się badaniem ogólnych

Teoria mnogości Teoria mnogości zajmuje się badaniem ogólnych

AlgTM wykład II
Teoria mnogości
Teoria mnogości zajmuje się badaniem ogólnych właściwości zbiorów.
Jeśli element x należy do zbioru X - piszemy x ∈ X,
jeśli nie należy - piszemy x ∈
/ X.
Zbiór pusty oznaczany ∅, to zbiór do którego nie należy żaden element.
Uwaga. Istnieje tylko jeden zbiór pusty.
Inkluzja (zawieranie się)
A ⊆ B ⇔ (∀x x ∈ A ⇒ x ∈ B)
Uwaga. Dla dowolnego zbioru A zachodzi A ⊆ A oraz ∅ ⊆ A.
Dla dowolnych zbiorów A, B i C zachodzi implikacja (A ⊆ B ∧ B ⊆ C) ⇒ A ⊆ C.
Zbiory równe
A = B ⇔ ∀x (x ∈ A ⇔ x ∈ B) ⇔ (A ⊆ B ∧ B ⊆ A)
Inkluzja właściwa A ( B ⇔ (A ⊆ B ∧ A 6= B).
Przykłady zapisu zbiorów
1. {x ∈ R : x > 0} = (0, +∞)
2. {2k : k ∈ Z}
3. A = {∅, 1, 3, {1, 2}} - elementami zbioru mogą być zbiory
Podstawowe działania wykonywane na zbiorach:
suma
A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}
iloczyn
A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}
różnica
A \ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈
/ B}
Uwaga: Następujące warunki są równoważne:
A⊆B ⇔ A∪B =B ⇔ A∩B =A ⇔ A\B =∅
W zastosowaniach teorii zbiorów ograniczamy się na ogół do rozważania tylko takich zbiorów,
które są podzbiorami pewnego ustalonego zbioru zwanego przestrzenią (uniwersum).
Niech X będzie ustaloną przestrzenią. Dopełnieniem zbioru A nazywamy zbiór X \ A.
Ozn. A0 . Dopełnienie zbioru zależy od uniwersum.
1
AlgTM wykład II
Własności działań na zbiorach
A, B, C - dowolne zbiory
1. A ∪ ∅ = A
A∩∅=∅
2.
A∪A=A
A∩A=A
3.
A∪B =B∪A
4.
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
idempotentność
A∩B =B∩A
przemienność
łączność
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
5.
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
rozdzielność
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
6.
A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C)
prawa de Morgana
A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C)
Własności dopełnienia
X0 = ∅
∅0 = X
A ∪ A0 = X
A ∩ A0 = ∅
(A0 )0 = A
(A ∪ B)0 = A0 ∩ B 0
(A ∩ B)0 = A0 ∪ B 0
prawa de Morgana
Zbiór potęgowy 2X = {A : A ⊆ X} (składa się z wszystkich podzbiorów danego zbioru)
Uwaga. ∅ ∈ 2X i X ∈ 2X dla dowolnego zbioru X.
Uwaga. Jeśli zbiór X ma n ∈ N elementów, to zbiór 2X ma 2n elementów.
Produkt – iloczyn kartezjański zbiorów
Symbolem (x, y) oznaczamy uporządkowaną parę elementów x i y.
(x1 , y1 ) = (x2 , y2 ) ⇔ x1 = x2 ∧ y1 = y2 .
Uwaga. (x, y) = (y, x) ⇔ x = y
Def. Iloczynem
kartezjańskim zbiorów X i Y nazywamy zbiór

X ×Y =

 {(x, y) : x ∈ X ∧ y ∈ Y }
jeśli X 6= ∅ i Y 6= ∅

 ∅
jeśli X = ∅ lub Y = ∅
Uwaga. Jeżeli X, Y - niepuste zbiory oraz X 6= Y to X × Y 6= Y × X.
Uwaga. Jeżeli zbiór X ma n ∈ N elementów, zbiór Y ma m ∈ N elementów,
to zbiór X × Y ma m · n elementów.
Uwaga. Dla dowolnych zbiorów X, Y , Z zachodzi równość X × (Y Z) = (X × Y ) (X × Z),
gdzie oznacza ∪, ∩ lub \.
2
AlgTM wykład II
Uogólnienie - produkt skończonej liczby zbiorów
Podobnie jak pary uporządkowane można zdefiniować n-elementowe układy (a1 , a2 , . . . , an ) jako
obiekty rozróżniające swoje kolejne współrzędne.
Niech X1 , X2 , ... , Xn - zbiory niepuste (n ∈ N, n ­ 2), wtedy definiujemy
n
Y
X1 × X2 × ... × Xn =
Xi = {(x1 , ..., xn ) : x1 ∈ X1 ∧ ... ∧ xn ∈ Xn }
i=1
Stosujemy oznaczenie
X
× X {z
× ... × X} = X n
|
n razy
Indeksowane rodziny zbiorów, uogólnione sumy i iloczyny zbiorów
Niech X 6= ∅, T 6= ∅.
Def. Indeksowaną rodziną podzbiorów zbioru X nazywamy funkcję
f : T → 2X .
Elementy zbioru T nazywamy indeksami.
Funkcja f przyporządkowuje każdemu t ∈ T pewien zbiór. Oznaczmy go przez At . At ⊆ X.
Indeksowaną rodzinę zbiorów oznaczać będziemy przez (At )t∈T .
Niech (At )t∈T - dowolna indeksowana rodzina podzbiorów zbioru X.
Def. Uogólnioną sumą zbiorów At , t ∈ T nazywamy zbiór
[
At = {x ∈ X : ∃t ∈ T x ∈ At }.
t∈T
Def. Uogólnionym iloczynem zbiorów At , t ∈ T nazywamy zbiór
\
At = {x ∈ X : ∀t ∈ T x ∈ At }.
t∈T
Uwaga: Własności uogólnionej sumy i iloczynu można zapisać następująco:
x∈
[
At ⇔ ∃t ∈ T x ∈ At ,
x∈
\
At ⇔ ∀t ∈ T x ∈ At
t∈T
t∈T
Uogólniona suma rodziny zbiorów jest najmniejszym zbiorem zawierającym wszystkie zbiory
tej rodziny.
Uogólniony iloczyn rodziny zbiorów jest największym zbiorem zawartym w każdym zbiorze tej
rodziny.
3