Zmienne losowe. Wartość oczekiwana.

MPI
Metody Probabilistyczne: Zestaw 3
Semestr zimowy 2016/2017
Kraków
20 października
Zmienne losowe. Wartość oczekiwana.
Zadanie 1. Znajdź wartość oczekiwaną liczby punktów stałych permutacji wybranej w
sposób jednostajny ze zbioru wszystkich permutacji na zbiorze n elementowym.
Zadanie 2. Jaka jest wartość oczekiwana liczby cykli w permutacji losowej n liczb?
Zadanie 3. Jaka jest wartość oczekiwana liczby zamian w algorytmie bąbelkowym sortowania losowej permutacji n liczb? Jaka jest oczekiwana liczba zamian w algorytmie przez
liniowe wstawianie?
Zadanie 4. W każdej paczce płatków śniadaniowych znajduje się jeden z n różnych
kuponów. Kupujemy paczkę co tydzień.
∗ Znaleźć oczekiwany czas pomiędzy zdobyciem j a j + 1 kuponu.
∗ Znaleźć oczekiwany czas zdobycia wszystkich kuponów.
Zadanie 5. Rzucamy n razy monetą, w której prawdopodobieństwo wypadnięcia orła
wynosi p. Sekwencją orłów (reszek) jest maksymalny podciąg składający się z samych
orłów (reszek). Znajdź wartość oczekiwaną liczby sekwencji (a) reszek. (b) orłów. (c)
orłów i reszek.
Zadanie 6. Urna zawiera n kul zawierających numery {1, 2, . . . , n}. Wybieramy losowo
z urny k kul. Jaka jest wartość oczekiwana sumy liczb w usuniętych kulach?
Zadanie 7. Na przyjęciu, na którym bawi się n par, serwowany jest zatruty bigos. Wiadomo, że przyjęcia nie przeżyło m osób. Jaka jest wartość oczekiwana liczby par, które
przeżyły przyjęcie?
Zadanie 8. Ocena z Metod Probabilistycznych wystawiana będzie zgodnie z następującą
procedurą: student rzuca (być może nieskończenie długo) kostką do gry aż do momentu,
gdy wypadnie 1 (wtedy gra jest przerywana i student otrzymuje ocenę 1) bądź też wypadnie liczba x i student godzi się na ocenę końcową x. Znajdź strategię dla studenta,
która w oczekiwaniu da mu najlepszą ocenę.
Zadanie 9. Dany jest zbiór n odważników oraz k osób. Osoba i ma przypisany pewien
zbiór Si ‘swoich’ odważników. Wiadomo również, że każdy odważnik jest w zbiorze pewnej
S
osoby, czyli ki=1 Si pokrywa cały zbiór odważników. Początkowo wszystkie odważniki
ustawione są na wadze szalkowej w taki sposób, że odważniki na szalce lewej są cięższe.
Wykaż, że istnieje pewien podzbiór osób o nastepującej własności: jeżeli każda osoba
z tego podzbioru przełoży wszystkie swoje odważniki (na prawą szalę jeżeli odważnik
znajduje się na szalce lewej bądź lewą szalę jeżeli odważnik znajduje się na szalce prawej)
to odważniki na szalce prawej będą cięższe.
Strona 1/1