METODY OPTYMALIZACJI METODY OPTYMALIZACJI

Transkrypt

METODY
METODYOPTYMALIZACJI
OPTYMALIZACJI
Tomasz M. Gwizdałła
2012/13
Informacje wstępne
Tomasz Gwizdałła
Katedra Fizyki Ciała Stałego UŁ
Pomorska 149/153, p.523B
tel. 6355709
[email protected]
http://www.wfis.uni.lodz.pl/staff/tgwizdalla
Metody optymalizacji
2012/13
Informacje wstępne
Prawdopodobny plan wykładu:
Wstęp.
Optymalizacja deterministyczna:
metody niegradientowe i gradientowe funkcji jednej i wielu
zmiennych
________________________________________________________
Programowanie liniowe
simplex , zagadnienie transportowe , zagadnienie plecakowe
Metody heurystyczne
symulowane wyżarzanie, poszukiwanie tabu, algorytm
ewolucyjny, algorytm mrówkowy
2012/13
Informacje wstępne
Literatura:
dowolna (porządna) książka dotycząca metod numerycznych, np.
J.Stoer, R.Bulirsch Wstęp do analizy numerycznej
A.Bjorck, G.Dahlquist Metody numeryczne
________________________________________________________
M.Sysło, N.Deo, J.Kowalik Algorytmy optymalizacji dyskretnej
Z.Michalewicz, D.Vogel Jak to rozwiązać czyli nowoczesna
heurystyka
Z.Michalewicz Algorytmy genetyczne + struktury danych =
programy ewolucyjne
2012/13
Podstawy
Pojęcie
Co to jest optymalizacja?
Istnieje wiele zagadnień opisywanych terminem optymalizacja:
optymalizacja matematyczna
(formuła)
optymalizacja oprogramowania
(efektywność kodu)
optymalizacja stron
(wyszukiwanie, pozycjonowanie)
optymalizacja systemu
(efektywność sprzętu)
optymalizacja wydajności
(zarządzanie zasobami)
optymalizacja ekonomiczna
(P/E)
programowanie liniowe
2012/13
Podstawy
Pojęcie
Co to jest optymalizacja?
Metoda wyznaczania najlepszego rozwiązania z punktu
widzenia określonego kryterium.
1. Najlepsze: szukamy wartości ekstremalnej.
2. Kryterium: musimy dysponować funkcją oceny.
2012/13
Podstawy
Dana jest funkcja
Sformułowanie
f : Aℝ
Szukamy takiej wartości x0 ∈ A ,że
∀ x ∈A f x  f  x 0  ∨ ∀ x ∈A f  x  f x 0 
zagadnienie maksymalizacji
∀ x ∈A f x  f x 0  ∨ ∀ x ∈A f x  f x 0 
zagadnienie minimalizacji
A - przestrzeń poszukiwań lub przestrzeń konfiguracyjna
zwykle jest to podzbiór przestrzeni Rn
Taki wybór znacznie ogranicza zakres analizowanych przez nas zagadnień,
pomijając np. tzw. zagadnienia multiobjective optimization (optymalizacji
wielokryterialnej), stanowiące bardzo istotną część współczesnych
problemów optymalizacyjnych.
2012/13
Podstawy
Sformułowanie
Pierwsze zagadnienie optymalizacyjne
2012/13
Podstawy
Sformułowanie
Pierwsze zagadnienie optymalizacyjne
Publius Vergilius Maro Eneida - Zagadnienie Elissy (Dydony) związane
z legendą dotyczącą założenia Kartaginy.
Koloniści osiadłszy na zamieszkanych przez Numidyjczyków
północnych wybrzeżach Afryki mogli zająć tyle miejsca, ile da się
objąć skórą wołu
Forma matematyczna:
Jak zmaksymalizować powierzchnię obszaru ograniczonego krzywą
o długości zależnej od pewnych dodatkowych czynników?
2012/13
Podstawy
Sformułowanie
Pierwsze sformułowane formalnie zagadnienie optymalizacyjne
2012/13
Podstawy
Sformułowanie
1697 – Johann Bernoulli – zagadnienie brachistochrony
Znaleźć na płaszczyźnie krzywą, łączącą nie leżące w pionie punkty A i B,
wzdłuż której musiałby poruszać się punkt materialny, aby pod działaniem
siły ciężkości przebyć drogę w najkrótszym czasie
p2
t=∫ p1
{
v= 2 g y
ds
=
dx
v
ds= 1
dy

2
 
dx
}
p2
=∫p1

2
1 y '
dx
2g y
2012/13
Podstawy
Sformułowanie
1697 – Johann Bernoulli – zagadnienie brachistochrony
Znaleźć na płaszczyźnie krzywą, łączącą nie leżące w pionie punkty A i B,
wzdłuż której musiałby poruszać się punkt materialny, aby pod działaniem
siły ciężkości przebyć drogę w najkrótszym czasie
p2
t=∫ p1
{
v= 2 g y
ds
=
dx
v
ds= 1
dy

1 2
x= k  −sin  
2
1
x= k 2  1−cos  
2
2
 
dx
}
p2
=∫p1

2
1 y '
dx
2g y
parametryczne równanie cykloidy
Ale, czy zagadnieniem optymalizacyjnym nie jest zasada Fermata (1662)
2012/13
Podstawy
Elementy definiujące zagadnienie
Trudności napotykane w fazie poszukiwania optimum
1. Rozmiar przestrzeni poszukiwań
2. Skomplikowanie modelu
3. Niejednoznaczność funkcji oceny
4. Ograniczenie przestrzeni poszukiwań przez więzy
5. Osoba rozwiązująca problem
6. Niepewność informacji
7. Wielość celów
2012/13
Podstawy
Rozmiar przestrzeni poszukiwań (1)
Rozważmy dwuwymiarowy model Isinga na sieci o krawędzi L
(dopuszczalne wartości spinów {-1,1}, ilość spinów N=L2)
Spróbujmy przejrzeć wszystkie możliwe konfiguracje i załóżmy,
że analiza pojedynczej konfiguracji trwa 1ns.
Krawędź
Ilość
spinów
4
16
65536
6.5e-5
6
36
6.87 e10
68.7
8
64
1.84 e19
1.8e10 (571)
10
100
1.27 e30
1.27e21 (4e13)
Ilość
Czas obliczeń w
konfiguracji sekundach (latach)
2012/13
Podstawy
Rozważmy dwuwymiarowy model Isinga na sieci o krawędzi L
(dopuszczalne wartości spinów {-1,1}, ilość spinów N=L2)
Spróbujmy przejrzeć wszystkie możliwe konfiguracje i załóżmy,
że analiza pojedynczej konfiguracji trwa 1ns.
Krawędź
Ilość
spinów
4
16
65536
6.5e-5
6
36
6.87 e10
68.7
8
64
1.84 e19
1.8e10 (571)
10
100
1.27 e30
1.27e21 (4e13)
Ilość
Czas obliczeń w
konfiguracji sekundach (latach)
Tu przekroczyliśmy
wiek Wszechświata
(14 mld. lat
~4.4 e17 s)
2012/13
Podstawy
Rozważmy teraz graf (dla uproszczenia nieskierowany) obrazujący
połączenia między N miastami i spróbujmy znaleźć w nim najkrótszy cykl
Hamiltona - TSP.
2012/13
Podstawy
Złożoność obliczeniowa dla zachłannego rozwiązania modelu Isinga.
1E+32
1E+30
1E+28
1E+26
1E+24
1E+22
1E+20
1E+18
1E+16
1E+14
1E+12
1E+10
1E+08
100000
0
10000
100
1
0
20
40
60
80
100
120
2012/13
Podstawy
Złożoność obliczeniowa dla zachłannego rozwiązania modelu Isinga
i problemu komiwojażera.
1E+160
1E+152
1E+144
1E+136
1E+128
1E+120
1E+112
1E+104
1E+96
1E+88
1E+80
1E+72
1E+64
1E+56
1E+48
1E+40
1E+32
1E+24
1E+16
1E+08
1
0
20
40
60
80
100
120
2012/13
Podstawy
A może zmienna ciągła, np. f  x =cos  x  cos  50 x 
1.5
1
0.5
0
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-0.5
-1
-1.5
n
f  x =10 n∑i=1  x 2i −10 cos  2  x i  
2012/13
Podstawy
Model
Model jest fundamentalnym pojęciem związanym z teorią optymalizacji
ponieważ zawiera matematyczny opis rozwiązywanego problemu.
Model rozwiązania, nie jego reprezentacja.
W sytuacjach, kiedy pełny opis problemu może zawierać elementy trudne
do analizy, np. nieciągłości, zdarza się stosować opis przybliżony.
Rozwiązanie najlepsze vs. rozwiązanie lepsze.
model
rozwiązanie
dokładny
przybliżony
dokładne
ideał
który
przybliżone
lepszy
czasami musi
wystarczyć
2012/13
Podstawy
Problemy z funkcją oceny
Funkcja oceny jest związana z modelem, jednak nawet w jego ramach
mogą występować problemy z jej prawidłowym określeniem.
Funkcja oceny może zmieniać się w czasie.
Odzwierciedlenie pełnej, poprawnej i aktualnej wiedzy.
Sprzężenie zwrotne (czyżby cybernetyka).
2012/13
Podstawy
Ograniczenia, czyli więzy
Więzy wprowadzają problemy poprzez wprowadzenie znaczących
ograniczeń na podprzestrzeń dopuszczalnych rozwiązań przestrzeni
poszukiwań.
Jak zapisać więzy matematycznie?
W większości przypadków więzy czynią podprzestrzeń rozwiązań
niewypukłą.
Jak zaimplementować więzy w algorytmie:
- kara
- powrót do obszaru prawidłowego.
2012/13

METODY OPTYMALIZACJI METODY OPTYMALIZACJI

Transkrypt

Podobne dokumenty

Zagadnienia egzaminacyjne sp_II_st IG

Optymalizacja podatkowa najnowsze zmiany 01.04.2016 r.

REFERENT DS. OPTYMALIZACJI PROCESÓW - Effect

Optymalizacja w budowie maszyn WM

młodszy inżynier produkcji - stażysta

HTL-STREFA S.A Kierownik Produkcji Działu Montażu

Specjalista ds. optymalizacji procesów

Program konferencji

streszczenie - MiNI PW - Politechnika Warszawska